4 PHƯƠNG PHÁP TẬP TÍCH CỰC
4.4 HÀM MỤC TIÊU KHÔNG LỒI
Có thể dùng phương pháp tập tích cực giải bài toán qui hoạch toàn
phương không lồi với ma trận Hessian C có các giá trị riêng âm.
Như đã thấy ở Chương 3, nếu C là ma trận không xác định thì
bài toán (Dq) có thể có nghiệm vô hạn. Khi đó, có thể chọn hướng
dq thỏa mãn aTi dq = 0 với mọi i ∈ Sq sao cho hoặc dTqCDq < 0
hoặc (Cxq + p)Tdq < 0, dqTCdq = 0. Nếu với mọi i /∈ Sq, aTi dq ≥ 0
thì hàm mục tiêu của bài toán ban đầu (4.1) - (4.3) không bị chặn
dưới. Trái lại, tìm được i /∈ Sq, aTi dq < 0. Khi đó với α > 0 đủ lớn
xq + αdq ∈/ D. Trong trường hợp này chọn được αq lớn nhất để cho
xq+1 = xq +αqdq ∈ D và tiếp tục thuật toán từ điểm lặp mới xq+1.
>Tóm lại, chương này đã trình bày phương pháp tập tích cực giải
bài toán qui hoạch toàn phương (lồi và không lồi) với ràng buộc bất đẳng thức và nêu các ví dụ số minh họa.
KẾT LUẬN
Tối ưu hóa nghiên cứu bài toán tìm cực trị của hàm số, với những điều kiện nhất định đặt lên các biến số. Về tính toán, bài toán với ràng buộc tuyến tính nói chung đơn giản hơn so với ràng buộc phi tuyến. Tuy nhiên, trừ khi hàm mục tiêu là tuyến tính, việc giải lớp bài toán này cũng không phải là đơn giản. Luận văn đề cập tới cách giải bài toán qui hoạch toàn phương (tìm cực tiểu của hàm bậc hai) với các ràng buộc tuyến tính.
Luận văn đã đề cập tới các điều kiện tối ưu (cần và đủ) và trình bày quan hệ đối ngẫu trong qui hoạch toàn phương lồi, tương tự như các quan hệ đối ngẫu trong qui hoạch tuyến tính. Với hàm toàn phương không lồi, nói chung ta chỉ tìm được điểm thoả mãn điều kiện cần tối ưu (điểm KKT). Với hàm toàn phương lồi thì điểm cực tiểu địa phương tìm được sẽ là điểm cực tiểu toàn cục.
Bài toán qui hoạch toàn phương với ràng buộc đẳng thức tuyến tính (tìm cực tiểu trên một tập afin) được đưa về bài toán tìm cực tiểu tự do của hàm toàn phương với số biến bằng số chiều của tập afin đó. Đáng chú ý là phương pháp rút gọn biến và phương pháp khử suy rộng, dùng phân tích ra thừa số Cholesky và phân tích QR (dùng cơ sở trực giao trong không gian hạch - null space).
Với bài toán có ràng buộc bất đẳng thức tuyến tính, ta dùng phương pháp tập tích cực dạng gốc, đưa về giải một dãy bài toán ràng buộc đẳng thức. Có một số phương pháp giải khác nhưng không được nêu ra trong luận văn do số trang có hạn: phương pháp tập tích cực dạng đối ngẫu và gốc - đối ngẫu ...
Tác giả luận văn hy vọng sẽ có dịp được tìm hiểu và nghiên cứu sâu hơn về bài toán qui hoạch toàn phương không lồi của quy hoạch phi tuyến, đặc biệt là về các tính chất định tính và cách giải trên máy những bài toán cụ thể.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Trần Vũ Thiệu, Bùi Thế Tâm, Các phương pháp tối ưu hoá. Nxb
Giao thông Vận tải. Hà Nội, 1998.
[2] Trần Vũ Thiệu, Nguyễn Thị Thu Thủy, Nhập môn tối ưu phi
tuyến. Nxb Đại học Thái Nguyên, 2010.
[3] R. Fletcher,Practical Methods of Optimization, 2nd edition, John
Siley & Sons. 1987. 229-255
[4] J. Nocedal and S. J. Sright (1999), Numerical Optimization,
Springer, 440-486.
[5] J. J. Strodiot, Numerical Methods in Optimization, Namur - Bel-
gium, 2002.
[6] S. Sun and Y-X. Yuan,Optimization Theory and Methods - Non-