Phơng pháp: Lập phơng trình hoành độ giao điểm
Giải phơng trình, từ đó tìm ra toạ độ các giao điểm Dạng 4: Tơng giao giữa đờng thẳng và Parabol
Phơng pháp: Cho đờng thẳng có phơng trình y = ax + b (a 0) và Parabol y = Ax2 (A 0). Xét phơng trình hoành độ giao điểm Ax2 = ax + b (1). Ta có số giao điểm của hai đồ thị phụ thuộc vào số nghiệm của phơng trình này
- Đờng thẳng cắt Parabol khi và chỉ khi phơng trình (1) có nghiệm
- Đờng thẳng không cắt Parabol khi và chỉ khi phơng trình (1) vô nghiệm - Đờng thẳng tiếp xúc Parabol khi và chỉ khi phơng trình (1) có nghiệm kép
Các dạng toán
Bài 1 : Cho (P) 2
2 1x
y và đờng thẳng (d) y=a.x+b .Xác định a và b để đờng thẳng (d) đI qua
điểm A(-1;0) và tiếp xúc với (P).
Bài 2 : Cho (P) y x2 và đờng thẳng (d) y=2x+m a) Vẽ (P)
b) Tìm m để (P) tiếp xúc (d)
Bài 3: Xác định giá trị của m để hai đờng thẳng có phơng trình
1 )
( ) (
2 1
y mx d
m y x
d cắt nhau tại một
điểm trên (P) y2x2
Bài 4: Cho (P) y 2x2
a) Vẽ (P)
b) Trên (P) lấy điểm A có hoành độ x=1 và điểm B có hoành độ x=2 . Xác định các giá trị của m và n để đờng thẳng (d) y=mx+n tiếp xúc với (P) và song song với AB
Bài 5: Cho (P) y x2
a) Vẽ (P)
b) Gọi A và B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lợt là -1 và 2 . Viết phơng trình đờng thẳng AB
c) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P) Bài 6: Cho (P)
4 x2
y và đờng thẳng (d) 2 2
x y
a) Vẽ (P) và (d)
b) Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d)
c) Tìm toạ độ của điểm thuộc (P) sao cho tại đó đờng tiếp tuyến của (P) song song với (d) Bài7 : Cho (P)
4 x2
y và đờng thẳng (d) đi qua điểm I( ;1 2
3 ) có hệ số góc là m a) Vẽ (P) và viết phơng trình (d)
b) T×m m sao cho (d) tiÕp xóc (P)
c) Tìm m sao cho (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt Bài 8: Cho (P) 2
4 1x
y và điểm I(0;-2) .Gọi (d) là đờng thẳng qua I và có hệ số góc m.Vẽ (P) .
CMR (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B mR
a) Tìm giá trị của m để đoạn AB ngắn nhất Bài 9: Trong hệ toạ độ xoy cho Parabol (P) 2
4 1x
y và đờng thẳng (d) y mx 2m 1 a) Vẽ (P)
b) Tìm m sao cho (P) và (d) tiếp xúc nhau.Tìm toạ độ tiếp điểm c) Chứng tỏ rằng (d) luôn đi qua một điểm cố định
Bài 10: Cho hàm số y x2 (P) a) Vẽ (P)
b) Gọi A,B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lợt là -1 và 2. Viết phơng trình đờng thẳng AB
c) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P) Bài 11: Cho điểm A(-2;2) và đờng thẳng (d1) y=-2(x+1)
a) §iÓm A cã thuéc (d1) ? V× sao ? b) Tìm a để hàm số y a.x2 (P) đi qua A
c) Xác định phơng trình đờng thẳng (d2) đi qua A và vuông góc với (d1)
d) Gọi A và B là giao điểm của (P) và (d2) ; C là giao điểm của (d1) với trục tung . Tìm toạ độ của B và C . Tính diện tích tam giác ABC
Bài 12: Cho (P)
4 x2
y và (d) y=x+m a) Vẽ (P)
b) Xác định m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
c) Xác định pt đờng thẳng (d') song song với đờng thẳng (d) và cắt (P) tại điẻm có tung độ bằng -4
d) Xác định phơng trình đờng thẳng (d'') vuông góc với (d') và đi qua giao điểm của (d') và (P) Bài 13: Cho parabol y= 2x2. (p)
a. tìm hoành độ giao điểm của (p) với đờng thẳng y= 3x-1.
b. tìm toạ độ giao điểm của (p) với đờng thẳng y=6x-9/2.
c. tìm giá trị của a,b sao cho đờng thẳng y=ax+b tiếp xúc với (p) và đi qua A(0;-2).
d. tìm phơng trình đờng thẳng tiếp xúc với (p) tại B(1;2).
e. biện luận số giao điểm của (p) với đờng thẳng y=2m+1. ( bằng hai phơng pháp đồ thị và
đại số).
f. cho đờng thẳng (d): y=mx-2. Tìm m để +(p) không cắt (d).
+(p)tiếp xúc với (d). tìm toạ độ điểm tiếp xúc đó?
+ (p) cắt (d) tại hai điểm phân biệt.
+(p) cắt (d).
Bài 14: cho hàm số (p): y=x2 và hai điểm A(0;1) ; B(1;3).
a. viết phơng trình đờng thẳng AB. tìm toạ độ giao điểm AB với (P) đã cho.
b. viết phơng trình đờng thẳng d song song với AB và tiếp xúc với (P).
c. viết phơng trình đờng thẳng d1 vuông góc với AB và tiếp xúc với (P).
d. chứng tỏ rằng qua điểm A chỉ có duy nhất một đờng thẳng cắt (P) tại hai điểm phân biệt C,D sao cho CD=2.
Bài 15: Cho (P): y=x2 và hai đờng thẳng a,b có phơng trình lần lợt là y= 2x-5
y=2x+m
a. chứng tỏ rằng đờng thẳng a không cắt (P).
b. tìm m để đờng thẳng b tiếp xúc với (P), với m tìm đợc hãy:
+ Chứng minh các đờng thẳng a,b song song với nhau.
+ tìm toạ độ tiếp điểm A của (P) với b.
+ lập phơng trình đờng thẳng (d) đi qua A và có hệ số góc bằng -1/2. tìm toạ độ giao điểm của (a) và (d).
Bài 16: cho hàm số y x 2
1
(P)
a. vẽ đồ thị hàm số (P).
b. với giá trị nào của m thì đờng thẳng y=2x+m (d) cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt A,B.
khi đó hãy tìm toạ độ hai điểm A và B.
c. tính tổng tung độ của các hoành độ giao điểm của (P) và (d) theo m.
Bài 17: cho hàm số y=2x2 (P) và y=3x+m (d)
a. khi m=1, tìm toạ độ các giao điểm của (P) và (d).
b. tính tổng bình phơng các hoành độ giao điểm của (P) và (d) theo m.
c. tìm mối quan hệ giữa các hoành độ giao điểm của (P) và (d) độc lập với m.
Bài 18: cho hàm số y=-x2 (P) và đờng thẳng (d) đI qua N(-1;-2) có hệ số góc k.
a. chứng minh rằng với mọi giá trị của k thì đờng thẳng (d) luôn cắt đồ thị (P) tại hai điểm A,B. tìm k cho A,B nằm về hai phía của trục tung.
b. gọi (x1;y1); (x2;y2) là toạ độ của các điểm A,B nói trên, tìm k cho tổng S=x1+y1+x2+y2 đạt giá trị lớn nhất.
Bài 19: cho hàm số y= x
a. tìm tập xác định của hàm số.
b. t×m y biÕt:
+ x=4
+ x=(1- 2)2 + x=m2-m+1 + x=(m-n)2
c. các điểm A(16;4) và B(16;-4), điểm nào thuộc đồ thị hàm số, điểm nào không thuộc đồ thị hàm số? tại sao.
d. không vẽ đồ thị hãy tìm hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với đồ thị hàm sè y= x-6
Bài 20: cho hàm số y=x2 (P) và y=2mx-m2+4 (d)
a.tìm hoành độ của các điểm thuộc (P) biết tung độ của chúng y=(1- 2)2.
b.chứng minh rằng (P) với (d) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt. tìm toạ độ giao điểm của chúng. với giá trị nào của m thì tổng các tung độ của chúng đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 21: cho hàm số y=2x2 (P) và y=3x+m (d)
a. khi m=1, tìm toạ độ các giao điểm của (P) và (d).
b. tính tổng bình phơng các hoành độ giao điểm của (P) và (d) theo m.
c. tìm mối quan hệ giữa các hoành độ giao điểm của (P) và (d) độc lập với m.
Bài 22: trên hệ trục toạ độ Oxy cho các điểm M(2;1); N(5;-1/2) và đờng thẳng (d) y=ax+b.
a. tìm a và b để đờng thẳng (d) đI qua các điểm M, N.
b. xác định toạ độ giao điểm của đờng thẳng MN với các trục Ox, Oy.
Bài 23: cho hàm số y= mx-m+1 (d).
a. chứng tỏ rằng khi m thay đổi thì đờng thẳng (d) luôn đI qua điểm cố định. tìm điểm cố định Êy.
b. tìm m để (d) cắt (P) y=x2 tại 2 điểm phân biệt A và B, sao cho AB= 3. Bài 24: cho hàm số y=x2 (P) và y=3x+m2 (d).
a. chứng minh với bất kỳ giá trị nào của m đờng thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
b. gọi y1, y2 kà các tung độ giao điểm của đờng thẳng (d) và (P) tìm m để có biểu thức y1+y2= 11y1.y2
Bài 25:
a. viết phơng trình đờng thẳng tiếp xúc với (P) y=2x2 tại điểm A(-1;2).
b. cho hàm số y=x2 (P) và B(3;0), tìm phơng trình thoả mãn điều kiện tiếp xúc với (P) và đi qua B.
c. cho (P) y=x2. lập phơng trình đờng thẳng đi qua A(1;0) và tiếp xúc với (P).
d. cho (P) y=x2 . lập phơng trình d song song với đờng thẳng y=2x và tiếp xúc với (P).
e. viết phơng trình đờng thẳng song song với đờng thẳng y=-x+2 và cắt (P) y=x2 tại điểm có hoành độ bằng (-1).
f. viết phơng trình đờng thẳng vuông góc với (d) y=x+1 và cắt (P) y=x2 tại điểm có tung độ bằng 9.
Bài 26:
a) Vẽ đồ thị (P): y = -2x2 .
b) Lấy 3 điểm A, B, C trên (P), A có hoành độ là –2, B có tung độ là – 8, C có hoành độ là – 1. Tính diện tích tam giác ABC.Em có nhận xét gì về cạnh AC của tam giác ABC
Bài 27:
a) Vẽ đồ thị hàm số : y = -2x2
b) Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm A(1; 4) và B(-2; 1) Bài 28: Cho hàm số y = x2 và y = x + 2
a) Vẽ đồ thị của các hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy b) Tìm tọa độ các giao điểm A,B của đồ thị hai hàm số trên bằng phép tính c) Tính diện tích tam gicsc OAB
Bài 26: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): yk 1 x 4 (k là tham số) và parabol (P): y x 2.
a) Khi k2, hảy tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P);
b) Chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của k thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt;
c) Gọi y1; y2 là tung độ các giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P). Tìm k sao cho: y1y2 y y1 2 .
Bài 29: Cho hàm số : y = 2 2 1x
a) Nêu tập xác định, chiều biến thiên và vẽ đồ thi của hàm số.
b) Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm ( 2 , -6 ) có hệ số gúc a và tiếp xúc với đồ thị hàm số trên .
Bài 30: Cho hàm số : 4 x2
y và y = - x – 1
a) Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một hệ trục toạ độ .
b) Viết phương trình các đường thẳng song song với đường thẳng y = - x – 1 và cắt đồ thị hàm số
4 x2
y tại điểm có tung độ là 4 .
Bài 31: Cho đường thẳng (d) cú phương trỡnh: y = 3(2m + 3) – 2mx và Parapol (P) cú phương trình y = x2.
a) Định m để hàm số y = 3(2m + 3) – 2mx luôn luôn đồng biến.
b) Biện luận theo m số giao điểm của (d) và (P).
c) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm có hoành độ cùng dấu.
Bài 32: : Trong mặt phẳng toạ độ cho điểm A (–1; 2) và đường thẳng (d1): y = –2x +3 a) Vẽ (d1). Điểm A có thuộc (d1) không ? Tại sao ?
b) Lập phương trình đường thẳng (d2) đi qua điểm A và song song với đường (d1).
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng (d1) và (d2).
Bài 33: Cho cỏc đường thẳng cú phương trỡnh như sau: (d1): y = 3x + 1, (d2): y = 2x – 1 và (d3): y = (3 – m)2. x + m – 5 (với m ≠ 3).
a) Tìm tọa độ giao điểm A của (d1) và (d2).
b) Tìm các giá trị của m để các đường thẳng (d1), (d2), (d3) đồng quy.
c) Gọi B là giao điểm của đường thẳng (d1) với trục hoành, C là giao điểm của đường thẳng (d2) với trục hoành. Tính đoạn BC
Bài 34: Cho hàm số: y = 2x2 (P)
a) Vẽ đthị (P)
b) Chứng minh rằng Đthị (P) nhận Oy là trục đối xứng c) Bằng đồ thị hãy tìm Max, Min của P khi 2x1 Bài 35: Cho hàm số: y = - x2 (P)
a) Vẽ (P)
b) Tìm trên (P) những điểm cách đều hai trục tọa độ
c) Tìm trên (P) mhững điểm mà khoảng cách từ nó tới Oy gấp hai lần khoảng cách từ nó tới Ox
d) Vẽ (d) có phương trình y = 2x+1 và xác định giao điểm của (P) và (d) Bài 36: Cho y = x2 (P)
a) Xác định giao của y = 2 với (P) và tính độ dài đoạn thẳng trên y = 2 bị chắn bởi (P)
b) Cmr y = 2x +3 (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm tọa độ trung điểm của AB
c) Không tính giá trị hàm số, hãy giải thich tại sao trên (P) điểm có hoành độ là 2 thấp hơn điểm có hoành độ là 5 và -6?
Bài 37: Cho hàm số yx2 x x 1 x (P) a) Vẽ đồ thị (P)
b) Cmr phương trình x2 x x 1xmluôn có một nghiệm duy nhất với mọi m
Bài 38: Cho hàm số y = 2x2 (P)
a) Tìm m để đồ thị hàm số y = x – 2m +2 cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B b) Tìm m để xA + 2xB = 4
c) Tỡm m để hiệu hai tung độ của A, B bằng ẵ
Bài 39: Cho hàm số y = 3x2 (P) và đường thẳng (d) có phương trình y = 2x + 3m -1 a) Tìm m để (P) cắt (d) tại một điểm duy nhất (trong t/hợp này ta nói d là tiếp tuyến của (P))
b) Tìm m để (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt A, B ở cùng một nửa mặt phẳng bờ Oy. Khi đó A, B nằm trong những góc phần tư nào của mp tọa độ?
Bài 40: Cho hàm số y = 2x2 (P) và (d) có phương trình y = 2mx +3 a) Cmr (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B.
b) Hạ AHOx, BGOx. Cmr OH.OG không phụ thuộc vào m.
c) Hạ AQOy, BPOy. Cmr OQ.OP không phụ thuộc vào m.
d) Khi m = ẵ , hóy tớnh diện tớch hỡnh AHGB
Bài 41: Cho hàm số y = x2 (P) . Viết phương trình đường thẳng d biết rằng:
a) d song song với y = 2x -4 và cắt (P) tại một điểm duy nhất. Xác định giao điểm này
b) d đi qua (2,0) và cắt (P) tại một điểm duy nhất
c) d tạo với Ox một góc 450 và cắt (P) tại hai điểm phân biệt Bài 42: Cho hàm số y = 4x2 (P)
a) Vẽ (P)
b) Tìm trên (P) những điểm cách (0; 2) một khoảng 3 đơn vị c) Xác định các điểm A và B trên (P) sao cho xA= -1 và xB = 2
d) Tìm trên cung AB của (P) điểm M sao cho diện tích tam giác AMB nhỏ nhất.
Bài 43: Tìm tập hợp các điểm M trên mặt phẳng tọa độ sao cho:
a) Từ đó kẻ được hai đường thẳng mà mỗi đường thẳng chỉ cắt (P) tại một điểm duy nhất và hai đường thẳng này vuông góc với nhau
b*) Từ đó chỉ kẻ được một đường thẳng mà đường thẳng này chỉ cắt (P) tại một điểm duy nhất
Bài 44: Cho hàm số y = -2x2.
a) Tìm PT đthẳng (d) sao cho (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt và nhận (0, - 2) là trung điểm
b) Tìm PT đthẳng (d) sao cho (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt và khoảng cách giữa hai điểm này là 4
c) Tìm trên (P) điểm cách (0; 2) một khoảng nhỏ nhât.