CHƯƠNG 2. ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP CHIA TỈ LỆ ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN CÓ LỜI VĂN ĐIỂN HÌNH Ở TIỂU HỌC
2.4. Các ứng dụng của phương pháp chia tỉ lệ trong giải toán ở tiểu học
Ta hãy cùng xét một số ví dụ nhƣ sau:
Ví dụ 1: Hai kho chứa 45 tấn thóc. Số thóc trong kho thứ nhất nhiều gấp 4 lần số thóc ở kho thứ hai. Hỏi mỗi kho chứa bao nhiêu tấn thóc?
Phân tích - Bài toán cho biết gì?
(Cả hai kho chứa 45 tấn thóc và số thóc ở kho thứ nhất gấp 4 lần số thóc ở kho thứ hai).
- Ta có thể vẽ sơ đồ tóm tắt bài toán này nhƣ thế nào?
Số thóc kho thứ nhất:
Số thóc kho thứ hai:
Dựa vào sơ đồ ta thấy: Nếu số thóc ở kho thứ hai là một phần thì số thóc ở kho thứ nhất là 4 phần nhƣ thế. Vậy số thóc ở hai kho gồm mấy phần?
1 + 4 = 5 (phần)
Một phần này gồm bao nhiêu tấn thóc ? 45 : 5 = 9 (tấn)
4 phần gồm bao nhiêu tấn thóc?
4 x 9 = 36 (tấn)
- Số thóc ở kho thứ nhất là bao nhiêu? Ở kho thứ hai là bao nhiêu?
(Kho thứ nhất 36 tấn, kho thứ hai 9 tấn) - Bài toán này thuộc dạng nào?
(Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó).
Lời giải
Tổng số phần bằng nhau là:
1 + 4 = 5 (phần) Số thóc ở kho thứ hai là:
? 45 tấn
?
23 45 : 5 = 9 (tấn) Số thóc ở kho thứ nhất là:
45 - 9 = 36 (tấn) hoặc 4 x 9 = 36 (tấn)
Đáp số: Kho thứ nhất chứa 36 tấn Kho thứ hai chứa 9 tấn.
Ví dụ 2: Quyển truyện có 60 trang, số trang bạn Thuận đã đọc bằng số trang chƣa đọc. Tính số trang bạn Thuận đã đọc và số trang chƣa đọc ở quyển truyện đó.
Phân tích - Bài toán cho biết gì?
(Cả quyển truyện có 60 trang và số trang đã đọc bằng số trang chƣa đọc)
- Bài toán yêu cầu tìm gì?
(Số trang bạn Thuận đã đọc và số trang bạn Thuận chƣa đọc) - Trong bài toán số 60 đƣợc gọi là gì và phân số đƣợc gọi là gì?
(60 là tổng số trang sách đã đọc và chƣa đọc, là tỉ số của trang sách đã đọc và chƣa đọc)
- Bài toán này thuộc dạng toán gì?
(Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó) Tóm tắt
Số trang sách đã đọc:
Số trang sách chƣa đọc:
Lời giải
Tổng số phần bằng nhau là:
1 + 3 = 4 (phần) Số sách Thuận đã đọc là:
60 : 4 = 15 (trang)
60 trang
24
Số sách Thuận chƣa đọc là:
60 - 15 = 45 (trang)
Đáp số: Đã đọc: 15 trang Chƣa đọc: 45 trang
Ví dụ 3: Một hình chữ nhật có chu vi là 350m, chiều rộng bằng chiều dài. Tìm chiều dài, chiều rộng hình chữ nhật đó.
Phân tích
- Từ chu vi của hình chữ nhật là 350 m, ta có thể biết đƣợc gì?
( Nửa chu vi hình chữ nhật hay tổng số đo chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đó bằng: 350 : 2 = 175 (m)
- Tỉ số chiều rộng bằng chiều dài có thể hiểu nhƣ thế nào?
(Nếu chiều rộng đƣợc chia làm 3 phần bằng nhau thì chiều dài là 4 phần nhƣ thế)
- Bài toán yêu cầu tìm gì?
(Tìm chiều rộng và chiều dài của hình chữ nhật)
- Ta có thể giải bài oán này theo dạng toán nào? (Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó)
Tóm tắt
Chiều rộng:
Chiều dài:
Lời giải
Nửa chu vi hình chữ nhật là:
350 : 2 = 175 (m) Tổng số phần bằng nhau là:
3 + 4 = 7 (phần) Một phần có số mét là:
175 : 7 = 25 (m)
? 350: 2 (m)
?
25
Chiều rộng của hình chữ nhật đó là:
25 x 3 = 75 (m)
Chiều dài của hình chữ nhật là:
175 - 75 = 100 (m)
Đáp số: Chiều rộng: 75 m Chiều dài: 100 m
Ví dụ 4: Cường và Điệp có cả thảy 56 tấm ảnh, trong đó số ảnh của Cường bằng số ảnh của Điệp. Hãy tính số ảnh của từng ngời.
Phân tích
Bài toán này đòi hỏi ta tìm số ảnh của mỗi người mà tổng số ảnh của hai người bằng 56 và số ảnh của Cường đúng bằng số ảnh của Điệp.
Vì = nên ta có thể coi số ảnh của Cường là 4 phần bằng nhau và số ảnh của Điệp là 3 phần nhƣ thế.
Ta có sơ đồ:
Số ảnh của Cường:
Số ảnh của Điệp:
Nhận dạng: Bài toán thuộc dạng toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó.
Lời giải Cách 1:
Tổng số phần bằng nhau là:
4 + 3 = 7 (phần) Số ảnh ở một phần có là:
56 : 7 = 8 (ảnh) Số ảnh của Cường là:
8 x 4 = 32 (ảnh)
?
?
56 ảnh
26 Số ảnh của Điệp là:
8 x 3 = 24 (ảnh)
Đáp số: Cường có 32 ảnh Điệp có 24 ảnh.
Cách 2:
Số phần bằng nhau là:
4 + 3 = 7 (phần) Số ảnh của Cường là:
56 : 7 x 4 = 32(ảnh) Số ảnh của Điệp là:
56 - 32 = 24 (ảnh)
Đáp số: Cường có 32 ảnh Điệp có 24 ảnh.
2.4.2. Ứng dụng của phương pháp chia tỉ lệ để giải các bài toán về tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của chúng
Bài toán tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của chúng cũng có 4 dạng nhƣ trên:
- Tỉ số cho dưới dạng số này gấp số mấy lần số kia.
- Tỉ số cho dưới dạng số này bằng 1 phần mấy số kia.
- Tỉ số cho dưới dạng m
n
- Tỉ số không nguyên.
Ta cùng đi xem xét một số ví dụ sau:
Ví dụ 1: Hiệu của hai số là 30. Số thứ nhất gấp 3 lần số thứ hai. Tìm hai số đó.
Phân tích - Bài toán cho biết gì?
(Hiệu của hai số là 30, số thứ nhất gấp 3 lần số thứ hai) - Bài toán yêu cầu tìm gì?
27 (Tìm mỗi số)
- Nếu số thứ nhất đƣợc chia làm 3 phần bằng nhau thì số thứ hai là một phần. Vậy hiệu số 30 tương ứng với bao nhiêu phần như thế? (3 - 1 = 2 phần)
- Biểu diễn hiệu số 30 trong sơ đố sau:
Số thứ nhất:
Số thứ hai:
(Học sinh vẽ)
Số thứ nhất:
Số thứ hai:
- Một phần gồm bao nhiêu đơn vị? (30 : 2 = 15) - 3 phần gồm mấy đơn vị? (15 x 3 = 45)
- Vậy số thứ nhất là bao nhiêu? Số thứ hai là bao nhiêu?
(Số thứ nhất là 45, số thứ hai là 15) - Bài toán thuộc dạng toán nào?
(Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó) Lời giải
Hiệu số phần bằng nhau là:
3 - 1 = 2 (phần) Số thứ hai là:
30 : 2 = 15 Số thứ nhất là:
15 x 3 = 45 Hoặc 15 + 30 = 45
Đáp số: Số thứ nhất là 45 Số thứ hai là 15
Ví dụ 2: Giá tiền cuốn sách Tiếng Việt hơn cuốn sách Toán là 1200 đồng.
Tìm giá tiền mỗi cuốn sách đó? Biết giá tiền cuốn sách Toán bằng giá tiền cuốn sách Tiếng Việt.
?
?
?
? 30
?
28 Phân tích - Bài toán cho biết gì ?
(Giá tiền cuốn sách Tiếng Việt hơn cuốn sách Toán là 1200 đồng. Giá tiền cuốn sách Toán bằng giá tiền cuốn sách Tiếng Việt)
- Bài toán yêu cầu tìm gì?
(Giá tiền mỗi cuốn sách) - Nhận dạng bài toán?
(Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó) Tóm tắt
Giá tiền sách Tiếng Việt:
Giá tiền sách Toán:
Lời giải
Hiệu số phần bằng nhau là:
5 - 4 = 1 (phần) Giá tiền cuốn sách Toán là:
1200 : 1 x 4 = 4800 (đồng) Giá tiền cuốn sách Tiếng Việt là:
4800 + 1200 = 6000 (đồng)
Đáp số: Sách Toán: 4800 đồng
Sách Tiếng Việt: 6000 đồng.
Ví dụ 3: Hiệu hai số bằng 58. Lấy số lớn chia cho số nhỏ, ta được thương bằng 5 và dƣ 2. Tìm hai số đó?
Phân tích - Yêu cầu của bài toán là gì?
(Tìm mỗi số)
- Hai số đó có quan hệ nhƣ thế nào với nhau?
1200 đ
?
?
29
(Hiệu của chúng bằng 58, lấy số lớn chia cho số nhỏ ta được thương bằng 5 và dƣ 2)
- Lấy số lớn chia cho số nhỏ ta được thương bằng 5 và dư 2 có thể hiểu như thế nào?
(Nếu coi số nhỏ là một phần thì số lớn là 5 phần nhƣ thế thêm 2 đơn vị) - Bài toán thuộc dạng nào?
(Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số) Tóm tắt
Số nhỏ:
Số lớn:
Lời giải Số nhỏ là:
(58 - 2) : (5 - 1) = 14 Số lớn là:
4 + 58 = 72
Đáp số: Số nhỏ: 14 Số lớn: 72.
Ví dụ 4: Hai đội vận tải đƣợc giao vận chuyển một số hàng. Biết số hàng của đội một bằng số hàng của đội hai và hơn đội hai 60 tấn hàng. Hỏi mỗi đội đã vận chuyển đƣợc bao nhiêu tấn hàng?
Phân tích
Bài toán này yêu cầu ta tìm số hàng của đội một và đội hai vận chuyển, mà đội hai chuyển kém hơn đội một 60 tấn hàng và số hàng của đội một bằng 4
7số hàng của đội hai.
?
? 30
58 2
?
? 30
2 2
30
Ta thấy: Tỉ số giữa số hàng của đội một và số hàng của đội hai là: 4
7 : 2
5 =
10 7
Từ đây ta có thể giải bài toán theo cách này tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số:
Tóm tắt Theo bài ra ta có sơ đồ:
Số hàng của đội một:
Số hàng của đội hai:
Lời giải
Hiệu số phần bằng nhau là:
10 - 7 = 3 (phần) Số hàng của đội một là:
60 : 3 x 10 = 200 (tấn) Số hàng của đội hai là:
200 - 60 = 140 (tấn)
Đáp số: Đội một: 200 tấn Đội hai: 140 tấn.
2.4.3. Ứng dụng của phương pháp chia tỷ lệ để giải các bài toán về cấu tạo của số tự nhiên
Ví dụ 1. Khi viết thêm chữ số 8 vào bên trái một số tự nhiên có hai chữ số thì số đó tăng gấp 26 lần. Tìm số tự nhiên đó?
Phân tích
- Khi viết thêm chữ số 8 vào bên trái một số tự nhiên có hai chữ số có nghĩa là ta đã thêm vào số cũ bao nhiêu đơn vị?
(800 đơn vị)
- Bài toán cho biết gì?
(Viết thêm 8 vào bên trái một số tự nhiên có hai chữ số thì số đó tăng gấp 26 lần)
60 tấn
31 - Bài toán yêu cầu tìm gì?
(Tìm số tự nhiên đã cho)
- Muốn tìm số tự nhiên đã cho cần làm gì?
(Xác lập mối quan hệ giữa số tự nhiên đã cho và số mới sau khi viết thêm số 8 vào bên trái)
- Ta có thể hiểu mối quan hệ đó bằng sơ đồ không?
- Vẽ sơ đồ tóm tắt bài toán trên?
Tóm tắt Số tự nhiên đã cho:
Số mới:
Lời giải
Hiệu số phần bằng nhau là:
26 - 1 = 25 (phần) Số cần tìm là:
800 : 25 = 32 Đáp số: 32
2.4.4. Ứng dụng của phương pháp chia tỷ lệ để giải các bài toán về cấu tạo phân số
Khi giải các bài toán về cấu tạo phân số, ta thường dùng các tính chất sau của phân số:
- Tính chất 1. Khi cộng thêm vào cả tử và mẫu số của một phân số với cùng một số tự nhiên thì hiệu giữa tử số và mẫu số của phân số đó không thay đổi.
- Tính chất 2. Khi bớt đi ở cả tử và mẫu số của một phân số cùng một số tự nhiên thì hiệu giữa tử số và mẫu số của phân số đó không thay đổi.
- Tính chất 3. Nếu ta cộng thêm vào tử số, đồng thời bớt đi ở mẫu số của phân số với cùng một số tự nhiên thì tổng của tử số và mẫu số của phân số đó không thay đổi.
- Tính chất 4. Nếu ta bớt đi ở tử số và cộng thêm vào mẫu số của phân số với cùng một số tự nhiên thì tổng của tử số và mẫu số của phân số đó không đổi.
26 phần 800
32
Ví dụ 1. Khi bớt đi ở tử số và thêm vào ở mẫu số của phân số với cùng một số tự nhiên ta đƣợc một phân số bằng . Tìm số tự nhiên đó?
Phân tích - Bài toán yêu cầu gì?
(Tìm số tự nhiên bớt đi ở tử số và thêm vào mẫu số của phân số ) - Để tìm đƣợc số tự nhiên đó ta cần biết gì?
(Tử số hoặc mẫu số của phân số sau khi bớt ở tử số và thêm vào mẫu số với cùng một số tự nhiên)
- Ta tìm tử số hoặc mẫu số của phân số mới bằng cách nào?
(Tỉ số giữa tử số và mẫu số của phân số mới bằng . Dựa vào tính chất 4, ta tìm thêm tổng giữa tử số và mẫu số của phân số mới nữa để giải theo cách tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó).
Lời giải
Khi bớt đi ở tử số và thêm vào mẫu số của một phân số với cùng một số tự nhiên thì tổng của tử số và mẫu số của phân số đó không thay đổi.
Tổng của tử số và mẫu số là: 143 + 57 = 200. Ta có sơ đồ Tử số mới:
Mẫu số mới:
Tử số của phân số mới là:
200 : (7 + 13) x 7 = 70 Số tự nhiên cần tìm là:
143 - 73 = 70
Đáp số: 70
2.4.5. Ứng dụng của phương pháp chia tỷ lệ để giải bài toán về cấu tạo số thập phân
Khi giải các bài toán phần này, ta thường áp dụng hai tính chất sau đây của số thập phân:
200
33
- Tính chất 1. Khi dời dấu phẩy của một số thập phân từ phải qua trái một, hai hoặc ba hàng thì số đó giảm đi 10, 100 hoặc 1000 lần.
- Tính chất 2. Khi dời dấu phẩy của một số thập phân từ trái qua phải một, hai hoặc ba hàng thì số đó tăng lên gấp 10, 100 hoặc 1000 lần.
Ví dụ 1. Khi cộng thêm một số tự nhiên với một số thập phân có một chữ số ở phần thập phân. Do sự sơ xuất một học sinh đã bỏ quên dấu phẩy của số thập phân và đặt phép tính nhƣ cộng hai số tự nhiên nên kết quả tăng lên 310,5 đơn vị. Tìm số thập phân đó?
Phân tích
Bài toán này yêu cầu tìm số thập phân có chữ số ở phần thập phân mà khi cộng do sơ xuất học sinh đã bỏ quên dấu phẩy. Do bỏ quên dấu phẩy ở số thập phân có một chữ số ở phần thập phân nên số thập phân đó đã đƣợc tăng lên 10 lần. Số tự nhiên (hay số thứ nhất trong phép cộng) vẫn giữ nguyên nên kết quả phép tính tăng thêm 310,5 đơn vị là do số thập phân tăng lên 10 lần.
Ta có sơ đồ tóm tắt nh sau:
Phép cộng đúng:
Phép cộng sai:
Nhìn vào sơ đồ ta thấy 310,5 tương ứng với 9 phần bằng nhau và một phần chính là số thập phân phải tìm.
Lời giải
Hiệu số phần bằng nhau là:
10 - 1 = 9 (phần) Số thập phân cần tìm là:
310,5 : 9 = 34,5
Đáp số: 34,5 310, 5
STN STN STP
STP 10 phần
34
2.4.6. Ứng dụng của phương pháp chia tỷ lệ để giải các bài toán về chuyển động đều
Các tính chất hay sử dụng khi giải các bài toán về chuyển động đều:
- Trên cùng một quãng đường đi thì vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỷ lệ nghịch.
- Trên cùng một thời gian thì quãng đường và vận tốc là hai đại lượng tỷ lệ thuận.
- Khi vận tốc không đổi thì quãng đường và thời gian là hai đại lượng tỷ lệ thuận.
Ví dụ 1: Người ta dự định đi xe đạp từ nhà với vận tốc 14 km/h để đi lên tới huyện lúc 10 giờ. Do đường ngược gió nên mỗi giờ chỉ đi được 10 km và tới huyện lúc 10 giờ 36 phút. Tính quãng đường từ nhà lên huyện?
Phân tích - Bài toán yêu cầu tìm gì?
(Quãng đường từ nhà lên huyện)
- Muốn tìm được qũang đường từ nhà lên huyện ta cần biết những gì?
(Ta cần biết vận tốc và thời gian đi từ nhà lên huyện)
- Trong hai đại lƣợng cần biết đó, đại lƣợng nào đã cho và đại lƣợng nào cần phải tìm?
(Vận tốc đi từ nhà đến huyện đã biết, ta còn phải tìm thời gian đi từ nhà lên huyện)
- Với vận tốc dự định và vận tốc thực đi, thời điểm tới huyện theo dự định và thời điểm tới huyện thực đi đã biết ta có thể tìm thời gian người đó đi từ nhà lên huyện nhƣ thế nào?
(Vận dụng tính chất" Trên cùng một quãng đường đi thì vận tốc và thời gian là hai đại lƣợng tỷ lệ nghịch", ta tìm đƣợc tỷ số giữa thời gian dự định với thời gian đi thực. Mặt khác, ta cũng tìm đƣợc tỷ số giữa thời gian dự định đi và thời gian đi thực. Biết tỷ số và biết hiệu, ta tìm đƣợc hai khoảng thời gian chƣa biết đó)
Lời giải
35
Tỷ số giữa vận tốc dự định và vận tốc thực đi là:
14 : 10 = 75
Tỷ số giữa thời gian dự định và thời gian thực đi là: . (Vì vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỷ lệ nghịch trên cùng một quãng đường đi)
Hiệu số giữa thời gian dự định đi với thời gian thực đi là:
10 giờ 36 phút - 10 giờ = 36 phút Ta có sơ đồ:
Thời gian dự định đi:
Thời gian thực đi:
Thời gian dự định đi là:
36 : (7 -5) x 5 = 90 (phút) = 1,5 (giờ) Quãng đường đi từ nhà lên huyện là:
14 x 1,5 = 21(km)
Đáp số: 21 km.
Ví dụ 2. Hàng ngày, cứ đúng giờ quy định, Hoà đi với vận tốc không đổi để đến trường kịp giờ truy bài. Một hôm, vẫn đúng giờ ấy Hoà đi với vận tốc 50m/phút nên đến trường chậm giờ truy bài mất 2 phút. Hoà tính rằng nếu đi đƣợc 60 m mỗi phút thì lại đến sớm đƣợc 1 phút. Tính thời gian cần thiết mà thường ngày Hoà vẫn đi từ nhà đến trường và khoảng cách giữa nhà và trường.
Phân tích
Hoà đi từ nhà với vận tốc 50m/phút, thì đi hết khoảng thời gian cần thiết, Hoà mới đi đến được điểm A, mà từ A đến trường, Hoà còn phải đi hết 2 phút nữa. Nếu đi với vận tốc 60km/phút thì Hoà phải đến trường sớm hơn một phút, nghĩa là nếu Hoà không dừng lại ở trường mà lại tiếp tục đi cho đến hết khoảng thời gian cần thiết thì Hoà sẽ đến được điểm B mà đi từ trường đến B
36 phút
Nhà Trường
A B
36
mất 1 phút. Như vậy thời gian để Hoà đi đến trường với vận tốc 60 m/phút sẽ ít hơn so với thời gian Hoà cũng đi từ nhà đến trường nhưng với vận tốc 50m/phút là:
2 + 1 = 3 (phút)
Tỉ số giữa thời gian Hoà đi với vận tốc 60 m/phút và thời gian Hoà đi với vận tốc 50m/phút là: t2
t1 = v1𝑣2 = 56
(Vì trên cùng một quãng đường thì vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỷ lệ nghịch). Biết hiệu, biết tỷ số ta có thể tìm đƣợc thời gian Hoà đi từ nhà đến trường theo vận tốc 60m/phút hoặc 50 m/phút.
Thời gian cần thiết mà thường ngày Hoà vẫn đi từ nhà đến trường sẽ hơn thời gian Hoà đi với vận tốc 60m/phút là 1 phút (hoặc kém thời gian 50 m/phút là 2 phút). Từ đó, ta có thể tính ra đƣợc những yêu cầu của đề:
Lời giải
Tỉ số giữa thời gian Hoà đi với vận tốc 60 m/phút và thời gian Hoà đi với vận tốc 50 m/phút để đến trường là:
t2
𝑡1 = 𝑣1𝑣2 = 5060 = 56
(Vì trên cùng một đoạn đường đi, vận tốc và thời gian của hai đại lượng tỉ lệ nghịch)
Hiệu số giữa thời gian Hoà đi với vận tốc 50 m/phút và thời gian Hoà đi với vận tốc 60 m/phút để đến trường là:
2 + 1 = 3 (phút) Ta có sơ đồ:
Thời gian để Hoà đi với vận tốc 60m/phút:
Thời gian để Hoà đi với vận tốc 50m/phút:
Thời gian để Hoà đi với vận tốc 60m/phút là:
2 : (6 - 5) x 5 = 15 (phút)
Thời gian cần thiết mà hàng ngày Hoà vẫn đi là:
3 p