Ổn định ngõ vào ngõ ra

C. Định nghĩa ổn định từ lý thuyết hệ thống

C.2. Ổn định ngõ vào ngõ ra

Phương pháp này xem xét mô tả hệ thống có dạng

( ) yH u

Với H là hàm số (thường là không tuyến tính) đặc trưng cho vectơ ngõ ra y có kích thước q đối với vectơ ngõ vào u kích thước m.

Vectơ ngõ vào u thuộc về không gian vectơ tuyến tính của vectơ tín hiệu Lme. Ví dụ tín hiệu mở rộng giới hạn hoặc tín hiệu diện tích khả tích, nghĩa là tất cả các hàm cắt uT của những tín hiệu như thế này (Đặt về 0 đối với T ) thì được giới hạn hoặc khả tích (điều này cho phép bao gồm các tín hiệu “đang phát triển” như hàm dốc …, rất thú vị khi phân tích ổn định hệ thống)

 Định nghĩa: Một hàm liên tục : 0,  0, thuộc về lớp K nếu đó là hàm tăng và (0) 0 .

 Định nghĩa: Một hàm lên tục : 0, 0,  0, thuộcvề lớp KL nếu với mỗi giá trị cố định s, hàm ( , )r s thuộc về lớp K theo r và với mỗi giá trị cố định r, hàm ( , )r s giảm theo s và

( , )r s 0

  khi s .

 Một hàm H: Lme  Lqe là L ổn định nếu tồn tại một hàm lớp K (.) xác định từ 0,, và hằng số không âm  sao cho

(Hu) L (u L) (4)

Đó là độ lợi giới hạn ổn định L nếu tồn tại 2 hằng số không âm sao cho

(Hu) L ( u L)

Với tất cả u L me và 0,.

Chú ý rằng nếu L là không gian của tín hiệu không bị chặn, thì định nghĩa tương tự như mô hình ổn định ngõ vào bị chặn ngõ ra bị chặn. Những định nghĩa ở trên mô tả một hệ thống. Bất phương trình (4) và (5) chỉ được định nghĩa cho một tập con của vectơ ngõ vào;

điều này được cho phép trong khái niệm ổn đinh tín hiệu bé L, khi mà tiên chuẩn của ngõ vào bị ràng buộc.

Xét một hệ thống không tự động với ngõ vào:

. ( , , ) xf t x u (6)

Chú ý sự dịch chuyển trong miền phân tích, trong ổn định ngõ vào/ ngõ ra, ngõ vào không được giả sử như là một hàm theo thời gian, nhưng được giả sử thuộc về một lớp biết trước được diễn tả bởi quy ước.

Hệ thống như (6) được gọi là ổn định trạng thái ngõ vào cục bộ nếu tồn tại một hàm lớp KL  .,. , một hàm lớp K (.), và hằng số k1, k2 dương sao cho mọi trạng thái ban đầu x t( )0 với x t( )0 k1 và mọi ngõ vào u(t) với supt t0 u t( ) k2, nghiệm x(t) tồn tại và thỏa mãn:

 

0

0 0

( ) ( ) , sup ( )

t t

x t x t t t u



  

 

 

    

  (7)

với mọi t t 0 0.

Nó được gọi là trạng thái ổn định ngõ vào nếu trạng thái ngõ vào địa phương được giữ cho phần còn lại của không gian ngõ vào và ngõ ra, và bất phương trình (7) thỏa mãn với mọi trạng thái ban đầu x(to) và mọi ngõ vào bị chặn u(t). Tính chất này được đưa ra bởi Lyapunov.

Tiếp theo ta xem xét hệ thống (6) với ngõ ra y được xác định như sau:

( , , ) y h t x u (8)

Một hệ thống (6) được gọi là ổn định ngõ vào - ngõ ra nếu tồn tại một hàm lớp KL , một hàm lớp K , và hằng số dương k1, k2 sao cho trạng thái đầu x t( )0 với x t( )0 k1 và mọi ngõ vào u(t) với

0 2

supt t u t( ) k , nghiệm x(t) tồn tại và ngõ ra y(t) thỏa mãn:

 

0

0 0

y( ) ( ) , sup ( )

t t

t x t t t u



  

 

 

    

  (9) với mọi t t 0 0.

Nó được gọi là ổn định ngõ vào tới ngõ ra nếu trạng thái ngõ vào địa phương được giữ cho phần còn lại của không gian ngõ vào

và ngõ ra, và bất phương trình (9) thỏa mãn với mọi trạng thái ban đầu x(to) và mọi ngõ vào bị chặn u(t).

Khẳng định đầu tiên mô tả hiệu ứng giảm của điều kiện đầu, trong khi hàm  trong khẳng định thứ 2 là biên khuếch đại cho ngõ vào qua hệ thống. Trong trường hợp tín hiệu khả tích, hệ số khuyếch đại tối đa từ một ngõ vào cho trước đến một ngõ ra cho trước được đặt là độ lợi L2 của hệ thống. Độ lợi này có thể dễ dàng tính được, tổng quát, cho hệ thống tuyến tính, khi nó bằng với giá trị cực đại đơn ( giá trị lớn nhất trong hàm truyền 2 mức suy dọc theo trục ảo, hoặc H) của hàm truyền. Một trong những thành quả chính của thiết kế điều khiển là giảm thiểu độ lợi này, nếu ngõ vào đại diện cho một tín hiệu nhiễu. Tồn tại một số lý thuyết liên quan tới Lyapunov và ổn định ngõ vào đến ngõ ra, và một số công cụ chính để thiết lập ổn định ngõ vào đến ngõ ra đến từ phương pháp Lyapunov. Tuy nhiên, ổn định ngõ vào - ngõ ra mô tả ở tính chất tổng quát của một hệ thống, nên nó là dạng tiêu chuẩn, nó không phù hợp để nghiên cứu những điểm cân bằng khác. Kết quả của ổn định ngõ vào đến ngõ ra mặc dù đôi khi được sử dụng trong phân tích ổn định để thành lấp kết quả ổn định Lyapunov trong một cái nhìn tổng quát. Cho một công dụng phức tạp hơn của mô hình ổn định ngõ vào-ngõ ra, khi mà tính chất ngõ vào-ngõ ra được xác định bởi điểm cân bằng động, xem [63]