a. Thủ tục tổng quát
Nếu thì chúng ta có thể phân dãy x(n)N thành hai dãy x1(n) và x2(n) như sau:
4.1
Vậy ta có thể tính X(k)N như sau:
4.2 Chúng ta biết rằng: 4.3 Vậy ta có: 4.4 Nếu k là chẵn thì (-1)k = 1 Nếu k là lẻ thì (-1)k = -1
Vậy chúng ta có thể phân X(k)N thành hai trường hợp k chẵn và k lẻ như sau: Với k chẵn ta có X(2r). Với k lẻ ta có X(2r +1). Cụ thể như sau: 4.5 Và: 4.6
4.7
Thay vào biểu thức (10.4.2.2) và (10.4.2.3) ta có:
4.8
Chúng ta có thể đặt:
4.9
Nhận xét:
+Ta thấy rằng thuật toán FFT phân tần số và FFT phân thời gian có số lượng các bước giống hệt nhau, vì vậy số phép toán (phép nhân và phép cộng) là giống hệt nhau dẫn đến hiệu quả của hai thuật toán này là giống hệt nhau.
+ Đối với thuật toán FFT phân tần số, đầu vào của đồ hình dạng cánh bướm, dãy x(n) sẽ sắp xếp thứ tự theo mã nhị phân tự nhiên (mã 8 4 2 1), còn đầu ra của đồ hình cánh bướm, dãy X(k) sẽ sắp xếp theo luật đảo bit của đầu vào. Còn đối với thuật toán FFT phân thời gian thì ngược lại, dãy ra X(k) sẽ sắp xếp thứ tự theo mã nhị phân tự nhiên, còn dãy vào x(n) sẽ sắp xếp theo quy luật đảo bit.
+ Như vậy hai thuật toán FFT phân thời gian và phân tần số cũng không có gì là khác nhau, nên ta dùng thuật toán nào cũng hiệu quả giống nhau về mọi phương diện.
+ Ngoài ra thuật toán FFT phân tần số cũng có tác dụng khác như thuật toán FFT phân thời gian, như là sử dụng khái niệm đại số nhị phân để biểu diễn các dãy x(n)N và X(k)N
(thuật toán Sande) hoặc như là thuật toán Singleton,…
+ Dựa trên cơ sở tính đối xứng và tính tuần hoàn của hàm còn tồn tại một vài thuật toán khác nữa như thuật toán Winograd.