Chương 2. Một số tập lồi đặc biệt trong R n
2.4. Nón nửa xác định dương
Định nghĩa 2.4. Tập tất cả các ma trận đối xứng dương của M chiều đặc biệt gọi là nón nửa xác định dương
SM+ = {A∈ SM :A 0}
= {A∈ SM :yTAy ≥ 0 ∀kyk= 1}
= \
kyk=1
{A∈ SM : hyyT, Ai ≥ 0}
được lập thành từ giao điểm một số vô hạn các nửa không gian trong biến véc tơ A, mỗi một nửa không gian có biên chứa gốc trong đẳng cấu RM(M+1)2 .
Ma trận xác định dương (hạng đầy) bao gồm nón phần trong, intSM+ = {A ∈ SM : A 0}
= {A ∈ SM : yTAy > 0 ∀kyk = 1}
= {A ∈ SM : rankA = M}
trong tất cả các ma trận nón nửa xác định dương (có ít nhất một giá trị riêng) nằm trên biên hình nón biên.
∂SM+ = {A ∈ SM : min{λ(A)i, i = 1. . . M} = 0}
= {A ∈ SM+ : hyyT, Ai = 0vớikyk= 1}
= {A ∈ SM+ : rankA < M}
trong đó λ(A) ∈ Rm là giá trị riêng của A. Các ma trận đối xứng nửa xác định dương trong SM+ có M giá trị riêng 0 tại gốc.
Biên của nón nửa xác định dương
Với bất kì ma trận Anón nửa xác định dương có hạng ρ, khi đó phải tồn tại ma trận Y có hạng ρ thỏa mãn A biểu thị như là phép nhân ngoài trong Y.
A = Y.YT ∈ SM+, rankA = ρ, Y ∈ RM×ρ. Khi đó biên của nón nửa xác định dương có thể biểu diễn
∂SM+ = {A∈ SM+ :rankA < M}}= {Y YT :Y ∈ RM×M−1}.
Bởi vì biên của vật lồi bất kì là thu được với bao đóng của nó, từ đó
chúng ta có
SM+ = {A∈ SM+ :rankA = M}= {Y YT : Y ∈ RM×M, rankY = M}
= {Y.Y T : Y ∈ RM×M}.
Tập con hạng ρ của nón nửa xác định dương
Cho cùng một lí do (bao đóng), điều này áp dụng tổng quát hơn; cho 0≤ ρ ≤M
{A ∈ SM+, rankA = ρ} = {A∈ SM+, rankA≤ ρ}.
Dễ dàng đưa ra nhận xét, chúng ta cho thỏa mãn tập nón không lồi tổng quát có tên: tập con hạng ρ của nón nửa xác định dương. Cho ρ ≤M là tập con, không lồi nếu M > 1, nó ở trên biên nón nửa xác định dương.
Không gian con tiếp xúc với tập con mở hạng ρ
Khi tập con nón nửa xác định dương
M(ρ) := {A ∈ SM+ : rankA = ρ}
khi đó chúng ta có thể ghi rõ là không gian con tiếp xúc tới nón nửa xác định dương tại điểm đặc biệt của đa tạp M(ρ). Tổng quát, không gian RM tiếp xúc tới đa tạp M(ρ) tại B ∈ M(ρ)
RMB := {XB +BXT : X ∈ RM×M} ⊆ SM
có số chiều
dim svecRM(B) =ρ
M − ρ−1 2
= ρ(M −ρ) + ρ(ρ+ 1)
2 .
Không gian con tiếp xúc RM không chứa điểm trong của nón nửa xác định dương SM+ nó có hạng vượt quá ρ.
Mặt của PSD nón
Mỗi một và mọi mặt của nón nửa xác định dương, có số chiều ít hơn số chiều của nón điều này là rõ ràng. Bởi vì mỗi một và mọi mặt của nón nửa xác định dương chứa gốc mỗi mặt thuộc không gian con của số chiều giống nó. Cho ma trận các định dương A ∈ SM+, định nghĩa F SM+ 3 A như mặt nhỏ nhất chứa A của nón nửa xác định dương SM+. Khi đó A có bậc chéo được Q∧QT là tương đương với
F SM+ 3 A
= {X ∈ SM+ : N (X) ⊇ N (A)}
= {X ∈ SM+ : hQ I − ∧∧+
QT, Xi = 0}
≃S+rankA
nó là đẳng cấu với nón lồi S+rank. Do đó chiều của mặt nhỏ nhất cho bởi ma trận A là
dimF SM+ 3 A
= rank(A) (rank(A) + 1) 2
trong đẳng cấuRM(M+1)2 , tại một và mọi mặt của SM+ là đẳng cấu với nón nửa xác định dương có số chiều giống như của mặt.
Nhận xét 2.2. Không phải tất cả chiều được trình bày và duy nhất mặt 0-chiều là gốc. Nón nửa xác định dương có không mặt.
Hướng cực trị của nón nửa xác định dương
Do nón nửa xác định dương là điểm, đây là phép tương ứng 1−1 của mặt một chiều với hướng cực trị có số chiều M bất kì;
Cho M > 0
{yyT ∈ SM :y ∈ RM} ⊂ ∂SM+
Tập tốt của hướng cực trị cho nón nửa xác định riêng, nói chung là một tập con của biên. Cho ma trận 2-chiều
{yyT ∈ S2 : y ∈ R2} = ∂S2+
trong khi đó cho ma trận 1-chiều, trong trường hợp ngoại lệ, {yyT ∈ S : y 6= 0}= intS+
Mỗi và mọi hướng cực trị yyT làm góc tương tự với ma trận đồng nhất trong đẳng cấu R
M(M+1)
2 , phụ thuộc bất kì trên chiều, viết tắt,
∠ yyT, I
= arccos hyyT, Ii
kyyTkFkIkF = arccos 1
√m
với ∀y ∈ RM. Nón nửa xác định dương
Định nghĩa 2.5. Nón tròn: một nón lồi đóng nhọn có siêu mặt trực giao với trục của nó, nón này là bất biến với phép quay. Siêu mặt bậc hai là giao của nón với siêu phẳng bất kì. Trong không gian 3 chiều giao của mặt phẳng vuông góc tới tất cả vòng tròn hình nón của vòng quay tích là giới hạn tiết diện của đường tròn. Một trong những ví dụ nổi bật của hình nón tròn là nón Lorentz. Ngoài ra chúng ta tìm kiếm rằng nón nửa xác định dương và nón của ma trận khoảng cách Euclide là nón tròn nhưng chỉ trong số chiều thấp.
Nón nửa xác định dương có tồn tại của vòng quay trục là tia (cơ sở 0) qua ma trận độc lập I. Xét tập của hướng cực trị chuẩn hóa của nón
nửa xác định dương: đối với một số dương tùy ý a ∈ R+ {y.yT ∈ SM :kyk = √
a} ⊂ ∂SM+.
Khoảng cách từ mỗi một hướng cực trị đến trục của vòng quay là bán kính
R := inf
c ky.yT −cIkF = a r
1− 1 M
nó là khoảng cách từ y.yT tới Ma I, độ dài của véc tơ y.yT − MaI. Bởi vì khoảng cách R từ trục của vòng quay tới một và mọi hướng cực trị chuẩn hóa là độc lập, hướng cực trị giả trên giới hạn của siêu phẳng trong đẳng cự đẳng cấu R
M(M+1)
2 .
Chú ý: Mặc dù nón nửa xác định dương có một số đặc trưng của hình nón tròn. Tuy nhiên, người ta đã chứng minh được rằng nón nửa xác định dương không phải là nón tròn.