Định lí Brunn Minkowski là một trong những kết quả chính trên vật lồi (chứng minh khoảng năm 1890). Với vật lồi K, L ∈ Kn, hàm số
t7→ pn
V (tK + (1−t)L), t ∈ [0,1],
lõm. Từ Hệ quả ta sẽ được bất đẳng thức với thể tích hỗn hợp, đặc biệt trong bất đẳng thức đẳng cấu.
Đầu tiên ta cần kết quả phụ sau.
Bổ đề 2.3.1. [1, Lemma 3.4.1] Với α ∈ (0,1) và r, s, t > 0, α
r + 1−α s
αrt + (1−α)st1t
≥ 1.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi r = s.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Đào
Chứng minh. Hàm số x 7→ lnx là lõm ngặt, do đó ta có ln
n α
r + 1−αs
[αrt + (1−α)st]
1 t
o
= 1t ln (αrt + (1−α)st) + ln αr + 1−αs
≥ 1t (αlnrt + (1−α) lnst) + αln1r + (1−α) ln 1s
= 0.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi r = s (có thể sử dụng logarit từ cơ số luôn luôn dương). Tính đơn điệu chặt của logarit bây giờ chứng tỏ kết quả.
Bất đẳng thức quan trọng dưới đây hiểu như bất đẳng thức Brunn Minkowski. Nó có nhiều ứng dụng liên quan đến hình học, giải tích và lí thuyết xác suất.
Định lí 2.3.2. (Brunn Minkowski) [1, Theorem 3.4.2] Với vật lồi K, L ∈ Kn và α ∈ (0,1),
pn
V (αK + (1−α)L) ≥ αpn
V (K) + (1−α)pn
V (L),
với dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi K và L nằm trên siêu phẳng song song hoặc K và L là trùng nhau.
Chú ý. K và L là trùng nhau khi và chỉ khi K = αL + x hoặc L = αK +x, với bất kì x ∈ Rn, α ≥ 0. Bao gồm các điểm có nghĩa là K và L luôn luôn trùng nhau, nếu K hoặc L là một điểm.
Chứng minh. Ta chia bốn trường hợp.
Trường hợp 1: K và L nằm trên các siêu phẳng song song. Khi đó αK + (1−α)L cũng nằm trong siêu phẳng, do đó V(K) =V(L) = 0 và V(αK + (1−α)L) = 0.
Trường hợp 2: Ta có dimK ≤ n−1 và dimL ≤ n−1, nhưng K và L không nằm trên các siêu phẳng song song, có nghĩa làdim(K+L) =n.
Khi đó dim(αK + (1−α)L) =n, với mọi α ∈ (0,1), do đó pn
V (αK + (1−α)L) > 0 =αpn
V (K) + (1−α)pn
V (L), với mọi α ∈ (0,1).
Trường hợp 3: Ta có dimK ≥ n−1 và dimL = n (hoặc ngược lại).
Khi đó, với x ∈ K, ta được
αx+ (1−α)L ⊂αK + (1−α)L, và do đó
(1−α)nV (L) = V (αx+ (1−α)L) ≤ V (αK + (1−α)L). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi K = x.
Trường hợp 4: Ta có dimK = dimL = n. Ta có thể giả sử V(K) = V(L) = 1. Đó là, với dạng tổng quát K, L sau
K¯ := 1 pn
V (K)K, L¯ := 1 pn
V (L)L, và
¯
α := αpn
V (K) αpn
V (K) + (1−α) pn
V (L). Khi đó
n
q
V α¯K¯ + (1−α) ¯¯ L
≥1.
Kéo theo bất đẳng thức Brunn Minkowski, hoàn toàn chứng minh
Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Đào
được. Hơn nữa, K và L là trùng nhau khi và chỉ khi K,¯ L¯ là trùng nhau.
Do đó, ta giả sử V(K) =V(L) = 1 và ta có chứng minh V (αK + (1−α)L) ≥ 1,
với dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi K, L là tịnh tiến của nhau. Bởi vì thể tích là phép biến hình bất biến, ta có thể giả sử rằng K và L có trọng tâm tại 0, tại điểm mà trọng tâm của vật lồi M, n-chiều là điểm c ∈ Rn thỏa mãn
hc, ui = 1 V (M)
Z
M
hx, uidx,
với mọi u ∈ Sn−1. Đẳng thức khi đó để K = L.
Bây giờ ta chứng minh Định lí Brunn Minkowski bằng phương pháp quy nạp trên n. Với n = 1, bất đẳng thức Brunn Minkowski theo từ tính tuyến tính của thể tích 1-chiều và ta có đẳng thức mà tương ứng thực sự trên R1 hai vật lồi bất kì (khoảng đóng) là trùng nhau. Bây giờ giả sử n ≥ 2 và sự khẳng định Định lí Brunn Minkowski là đúng trong (n-1)-chiều. Cho véc tơ đơn vị u ∈ Sn−1 và kí hiệu bởi
Eη := {hã, ui = η}, η ∈ R.
Siêu phẳng theo hướng u với khoảng cách η từ gốc. Hàm số
f : [−hK(−u), hK(u)] → [0,1], β 7→ V (K ∩ {hã, ui ≤ β}),
là tăng ngặt và liên tục. Vì
V (K ∩ {hã, ui ≤ β}) = Z β
−hK(−u)
v(K ∩ Eη)dη,
từ Định lí của Fubini và vìη 7→v(K ∩Eη)là liên tục trên (−hK(−u), hK(u)), hàm số f khả vi trên (−hK(−u), hK(u)) và f0(β) = v(K ∩Eβ). Vì f
là khả nghịch, hàm số nghịch đảo β : [0,1] → [(−hK(−u), hK(u))], cũng tăng ngặt và liên tục thỏa mãnβ(0) = −hK(−u), β(1) = hK(u) và
β0(τ) = 1
f0(β(τ)) = 1
v K ∩Eβ(τ), τ ∈ (0,1).
Tương tự, với vật L ta được một hàm sốγ : [0,1] →[−hL(−u), hL(u)]
với
γ0(τ) = 1
v L∩Eγ(τ), τ ∈ (0,1). Bởi vì
α K ∩Eβ(τ)
+(1−α) L∩Eγ(τ)
⊂ (αK + (1−α)L)∩Eαβ(τ)+(1−α)γ(τ), với α, τ ∈ [0, 1], ta được từ giả thuyết quy nạp
V (αK + (1−α)L)
= R∞
−∞v((αK + (1−α)L)∩Eη)dη
= R1
0 v (αK + (1−α)L)∩Eαβ(τ)+(1−α)γ(τ)
(αβ0(τ) + (1−α)γ0(τ))dτ
≥ R1
0 v α K ∩Eβ(τ)
+ (1−α) L∩Eγ(τ)
α
v(K∩Eβ(τ)) + 1−α
v(L∩Eγ(τ))
dτ
≥ R1 0
h α n−1
q
v K ∩Eβ(τ)
+ (1−α) n−1 q
v L∩Eγ(τ)in−1
×
α
v(K∩Eβ(τ)) + 1−α
v(L∩Eγ(τ))
dτ.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Đào
Chọn r := v K ∩Eβ(τ)
, s := v L∩Eγ(τ)
vàt:= n−11 , ta được từ Bổ đề 2.3.1 hàm tích phân lớn hơn hoặc bằng 1, cần tìm bất đẳng thức.
Giả sử
V (αK + (1−α)L) = 1.
Khi đó ta phải đẳng thức trong sự thiết lập cuối, mà kéo theo rằng tích phân bằng 1, với mọi τ. Lại từ Bổ đề 2.3.1 sinh ra
v K ∩ Eβ(τ)
= v L∩Eγ(τ)
, với mọiτ ∈ [0,1].
Ngoài ra β0 = γ0, do đó hàm số β−γ là hằng số. Bởi vì trọng tâm tại điểm của K tại gốc, ta được
0 = Z
K
hx, uidx =
Z β(1) β(0)
ηv(K ∩Eη)dη =
Z β(1) β(0)
ηf0(η)dη = Z 1
0
β(τ)dτ,
ở đó biến số thay đổi η = β(τ) được sử dụng. Tương tự, 0 =
Z 1 0
γ(τ)dτ.
Do đó,
Z 1 0
(β(τ)−γ(τ))dτ = 0, và mặt khác β = γ. Đặc biệt, ta được
hK(u) = β(1) = γ(1) = hL(u).
Vì u bất kì,V(αK+ (1−α)L) = 1kéo theo hK = hL, và do đó K = L.
Ngược lại K = L kéo theo V(αK + (1−α)L) = 1.
Chú ý. Định lí 2.3.2 kéo theo rằng hàm số f (t) := pn
V (tK + (1−t)L).
là lõm trên [0, 1]. Cho x, y, α ∈ [0,1], khi đó f (αx+ (1−α)y) = pn
V ([αx+ (1−α)y]K + [1−αx−(1−α)y]L)
= pn
V (α[xK + (1−x)L] + (1−α) [yK + (1−y)L])
≥ αpn
V (xK + (1−x)L) + (1−α)pn
V (yK + (1−y)L)
= αf (x) + (1−α)f (y).
Như một hệ quả của Định lí 2.3.2, ta được bất đẳng thức cho thể tích hỗn hợp được chứng minh đầu tiên bởi Minkowski.
Định lí 2.3.3. [1, Theorem 3.4.3] Với K, L ∈ Kn, V(K, ..., K, L)n ≥ V(K)n−1V (L).
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi dimK ≤ n−2 hoặc K và L nằm trong hai siêu phẳng song song hoặc K và L trùng nhau.
Chứng minh. Với dimK ≤ n−1, bất đẳng thức xây dựng từ mặt bên phải bằng 0. Hơn nữa, ta có dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi cũng có dimK ≤ n−2 hoặc K và L nằm trên hai siêu phẳng song song. Do đó, bây giờ ta giả sử dimK = n.
Từ Định lí 2.3.2 nó kéo theo rằng hàm số
f (t) := V(K +tL)n1, t∈ [0,1],
Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Đào
là lõm. Mặt khác
f+(0) ≥ f (1)−f (0) = V(K +L)1n −V(K)n1. Vì
f+(0) = 1
nV(K)1n−1.nV (K, ..., K, L), ta có
V(K)n1−1.nV (K, ..., K, L) ≥ V(K +L)n1 −V(K)n1 ≥ V(L)n1. Ở đó sử dụng phần cuối bất đẳng thức Brunn Minkowski (với t= 12).
Điều này dẫn đến sự khẳng định. Đẳng thức xây dựng khi và chỉ khi đẳng thức xây dựng theo bất đẳng thức Brunn Minkowski, sinh ra rằng K và L trùng nhau.
Hệ quả 2.3.4 (Bất đẳng thức đẳng cấu). [1, Corollary 3.4.4] Cho K ∈ Kn là một vật lồi có số chiều n. Khi đó,
F (K) F (B(1))
n
≥
V (K) V (B(1))
n−1
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi K là hình cầu.
Chứng minh. Đặt L := B(1) trong Định lí 2.3.3 và cho V(K, ...K, B(1))n ≥ V(K)n−1V (B(1)), hoặc tương đương,
nnV(K, ..., K, B (1))n
nnV(B(1), ..., B(1), B (1))n ≥ V(K)n−1 V(B(1))n−1.
Bất đẳng thức đẳng cấu biểu diễn rằng, giữa mọi vật lồi có thể tích cho trước (diện tích mặt được cho trước), hình cầu có diện tích mặt nhỏ nhất (thể tích lớn nhất).
Sử dụng V(B(1)) = kn và F(B(1)) = nkn, viết lại bất đẳng thức có dạng
V(K)n−1 ≤ 1
nnknF(K)n.
Với n = 2 và sử dụng thuật ngữ chung A(K) cho diện tích (thể tích trong R2) và L(K) cho chiều dài biên (diện tích mặt trong R2), ta được
A(K) ≤ 1
4πL(K)2, và với n = 3,
V(K)2 ≤ 1
36πF(K)3.
Thay đổi K và B(1) trong chứng minh trên sinh ra một bất đẳng thức tương tự cho thể tích hỗn hợp V(B(1), ..., B(1), K), do đó ta được hệ quả sau cho độ rộng trung bình B¯(K).
Hệ quả 2.3.5. [1, Corollary 3.4.5] Cho K ∈ Kn là một vật lồi. Khi đó,
B¯(K) B¯(B(1))
n
≥ V (K) V (B(1)). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi K là một hình cầu.
Chú ý. Từ B¯(K) không lớn hơn đường kính của K, hệ quả kéo theo một bất đẳng thức cho đường kính. Sử dụng Định lí 2.3.2 và đạo hàm hai lần, ta được một dạng bất đẳng thức chung dạng phương trình bậc hai.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Đào
Định lí 2.3.6. [1, Theorem 3.4.6] Với K, L ∈ Kn, V(K, ..., K, L)2 ≥ V (K, ..., K, L, L)V (K).
(2.3.1) Chứng minh ngược lại như một bài tập. Có trường hợp dấu bằng không được hiểu hoàn toàn. Đẳng thức xây dựng cho những vật trùng nhau, nhưng ở đó cũng có vật không trùng nhau (với những điểm trong) nhưng đẳng thức vẫn xảy ra.
Thay thế K hoặc L trong (2.3.1) bởi hình cầu đơn vị, ta được bất đẳng thức đặc biệt hơn, ví dụ (trong R3)
πB¯(K)2 ≥F (K), hoặc
F(K)2 ≥ 6πB¯(K)V (K).