cho HS tìm ra hướng giải quyết ở phần (b) thì từ kết quả mp(BDA’) song song với
mp(CB’D’) và việc cần tìm ra tỉ số (1) gợi cho ta nghĩ đến kết quả của định lý Talet
trong không gian.
Thật vậy, xét hai cát tuyến AD’ và AC’ cắt hai mặt phẳng (BDA’) và (CB’D’) lần lượt tại các điểm I, D’ và G, G’⇒ ta có tỉ số:
1 ' ' AI AG ID =GG = (do AI=ID’) ⇒ 1 ' ' 2 IG D G =
Tương tự, xét hai cát tuyến BC’ và AC’ cắt hai mặt phẳng (BDA’) và (CB’D’) lần lượt tại các điểm J, B và G, G’⇒ ta có tỉ số:
' ' ' 1 ' C J C G JB = G G = (do BJ=JB’)⇒ ' 1 2 JG BG =
Lại có: BI=D’I ⇒ IG=JG’=1 2 BG=
1
2 D’G’
Vậy đẳng thức (1) được chứng minh
Từ phân tích trên, GV có thể thiết kế các HĐ giải bài toán như sau:
HĐ1:
- Vẽ hình và phân tích đề bài
HĐ2: Hướng dẫn tìm lời giải
HĐTP1: Chứng minh mp(BDA’) song song với mp(CB’D’)
- Chứng minh: 1 ' ' 2 IG D G = HĐTP3: Chứng minh: IG=1 2 GB; JG’= 1 2 G’D’ HĐTP4: Kết luận HĐ3: Tìm hiểu lời giải
- Yêu cầu HS tự trình bày lời giải chi tiết vào vở ghi. Sau đó, xem lại nội dung các bước giải, đã sử dụng kiến thức nào ở từng bước, cách tìm ra sao…?
HĐ4: Nghiên cứu lời giải
Hướng 1: Có thể chuyển bài toán sang ngôn ngữ vectơ, chứng minh G, G’
thuộc AC’ tức là chứng minh A, G, G, C’ thẳng hàng. Từ đó, đi xác định x, y sao cho: uuurAG x AC= uuuur' và uuuurAG'= y ACuuuur'. Việc xác định nhờ khai triển vectơ uuurAG,uuuurAC'
qua ba vectơ không đồng phẳng uuurAB a AD b AA= ,uuur= ,uuur'=c. Từ đó tính được x =1 3 Làm tương tự đối với việc tìm y.
Hướng 2: Có thể chuyển sang ngôn ngữ tọa độ bằng cách chọn hệ trục tọa
độ sao cho: A(0,0,0); B(x,0,0); D(0,y,0); A’(0,0,z).
Hướng 3: Sử dụng phép chiếu song song
Ví dụ 10: Phân tích lời giải Bài toán 1 (T7 - SGK)
Cho hai điểm B, C cố định trên đường tròn (O, R) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó. Chứng minh rằng trực tâm tam giác ABC nằm trên một đường tròn cố định. I H O C B A K A' H'
SGK đã trình bày chi tiết lời giải của bài toán nhờ sử dụng phép tịnh tiến. GV có thể phân tích để dẫn đến lời giải sử dụng phép tịnh tiến như sau:
Trong toàn bộ giả thiết của bài toán, điểm A đã biết quỹ đạo là đường tròn (O, R). Khi A thay đổi, thì trực tâm H cũng thay đổi.
Nhận xét rằng:
+ Với mỗi điểm A thuộc (O, R) thì xác định duy nhất một điểm H.
+ A thay đổi, H thay đổi nhưng phương của AH thì không đổi (luôn vuông góc với BC).
Từ những nhận xét trên, hướng cho ta có thể sử dụng phép tịnh tiến để giải quyết bài toán (vì phương của đường thẳng được bảo toàn qua phép tịnh tiến). Cụ thể là: ta cần tìm một phép tịnh tiến theo vectơ vr nào đó sao cho Tvr biến điểm A thành điểm H. Từ đó suy ra uuurAH= vr, dẫn đến lời giải như SGK.
Ngoài ra có thể phân tích để dẫn đến lời giải nhờ sử dụng phép đối xứng trục như sau:
Giả sử H’= AH∩(O, R). Khi đó, điểm H’ thay đổi theo sự thay đổi của A, H.
Tuy nhiên:
+ Với mỗi điểm A xác định duy nhất điểm H, do vậy xác định duy nhất điểm H’.
+ H’H≡ AH luôn có phương vuông góc với BC. Hơn nữa, HK=H’K.
Từ hai nhận xét trên, dẫn đến việc ta có thể sử dụng phép đối xứng trục để giải bài toán.
Thật vậy, quỹ đạo của điểm H’ là (O, R). Suy ra quỹ đạo của điểm H là đường tròn đối xứng với (O, R) qua BC. Nói cách khác, H là ảnh của H’ qua phép đối xứng trục BC.
Tương tự như vậy, GV có thể hướng dẫn HS giải bài toán nhờ sử dụng phép đối xứng tâm.
Ví dụ 11: Phân tích lời giải Bài toán 2 (T17 - SGK)
Cho đường tròn (O, R) và hai điểm A, B cố định. Với mỗi điểm M, ta xác định điểm
I O A B M' O' M
Phân tích để dẫn đến lời giải sử dụng phép đối xứng tâm:
Hai điểm A, B cố định nên đường thẳng AB cố định.
Điểm M thay đổi trên (O) nên điểm M’ cũng thay đổi và nó phụ thuộc vào điểm M bởi đẳng thức: MMuuuuur'= MAuuur+MBuuur.
Từ cách xác định điểm M’ suy ra:
+ Với mỗi điểm M ta xác định duy nhất điểm M’.
+ MM’ luôn đi qua trung điểm I của đoạn AB, và IM=IM’. Từ đó dẫn đến hướng sử dụng phép đối xứng tâm để giải bài toán.
Thật vậy, nếu ta xét phép đối xứng tâm I thì qua ĐI điểm M có ảnh là điểm M’. Suy ra quỹ tích của M’ là đường tròn (O’) - ảnh của (O) qua ĐI.
Ví dụ 12: Phân tích lời giải Bài toán 3 (T17 - SGK)
Cho hai đường tròn (O, R) và (O’, R’) cắt nhau tại hai điểm A và B. Hãy dựng một đường thẳng d đi qua A cắt (O, R) và (O’, R’) lần lượt tại M và M1 sao cho A là trung điểm của MM1.
d M B A O' O M1
+ Đã biết d qua điểm A cố định, để dựng được d ta cần biết thêm một yếu tố nữa: điểm M hoặc điểm M1 hoặc biết phương của d.
+ Từ tính chất A là trung điểm của MM1, nhìn nhận theo góc độ biến hình thì
M và M1 là ảnh của nhau qua phép đối xứng tâm A. Từ đó, định hướng có thể giải bài toán bằng cách sử dụng phép đối xứng tâm.
Vậy ta xác định được điểm M1→ d qua A, M1. Dẫn đến cách giải như SGK.
Ví dụ 13: Hệ thống bài tập tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (có hướng dẫn)
Bài toán 1:
Cho hình thoi ABCD, tâm O, cạnh bằng a và AC = a. Từ trung điểm H của cạnh
AB dựng SH ⊥ (ABCD) và SH = a. a. Tính khoảng cách từ điểm H đến mp(SCD). b. Tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SCD). a a a O O' A D C B S H I J K K' a.
Sau khi yêu cầu HS vẽ hình, phân tích đề bài và định hướng cách làm.
HĐ1: Giải bài toán phụ
- Trước tiên, GV yêu cầu HS giải bài toán phụ sau:
+ Hãy dựng đường thẳng d đi qua H và vuông góc với mp(SCD)?
HS sẽ gặp khó khăn, vì khó có thể tìm được hai đường thẳng cắt nhau a và
b cùng thuộc mp(SCD) để có thể dựng đường thẳng d đi qua H thoả mãn d ⊥ a và d ⊥ b. Hoặc không xác định được một đường thẳng d’ nào đó (khác d) vuông góc
với mp(SCD) để có thể xác định phương của đường thẳng d.
HĐTP1: Hãy chỉ ra một mặt phẳng (P) chứa H và vuông góc với mp(SCD)?
Hãy chứng minh câu trả lời của mình.
(TL: mp(P) ≡ mp(SHC) vì: SH ⊥ CD và CH ⊥ CD)
HĐTP2: Xác định giao tuyến của mp(SCD) và mp(SHC)?
(TL: SC)
HĐTP3: Hãy suy nghĩ và đưa ra giải pháp? Chứng minh giải pháp của mình là đúng.
(TL: Giải pháp: Có thể dựng đường thẳng d qua H và vuông góc với đường thẳng SC - là giao tuyến của mp(SCD) và mp(SHC). Khi đó theo định lí về quan hệ vuông góc, d chính là đường thẳng cần dựng). HĐ2: Tìm lời giải HĐTP1: Hãy xác định d(H, (SCD))? (TL: Từ H hạ HK ⊥ SC thì HK trùng d. Khi đó, d(H, (SCD)) = HK ) HĐTP2: Tính d(H, (SCD)) TL: 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 4 7 3 3 3 4 a HK = HS + HC = a + = a + a = a → 3 7 a HK =
HĐ3: Trình bày lời giải
HĐ4: Yêu cầu HS xem lại các bước chính giải bài toán, lưu ý sử dụng kiến
thức nào ở từng bước lập luận. Từ đó hãy học cách tìm lời giải bài toán. b. Hướng dẫn:
- Để tính d(O,(SCD)) có thể đưa về tính khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng ∆ đi qua O và song song với mp(SCD).
∆ là đường thẳng đi qua 3 điểm I, J, O. Trong đó I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC.
Đặt O’ = IJ ∩ (SCH). Qua O’ hạ O’K’ ⊥ SC thì O’K’= d(O’, (SCD))
= d(O, (SCD))
Biết cách xác định d(O, (SCD)) thông qua d(O’, (SCD)) là đã cơ bản tìm được lời giải của bài toán. Đến đây, việc tính O’K’ được đưa về bài toán hình học phẳng quen thuộc. Xét cụ thể trong mp(SHC).
Dễ tính được: 1 3 ' ' . ' 2 2 7 a O K = HK = S H C K O' K'
HĐ5: Hãy đọc lại đề bài và xem lại lời giải một lần nữa. Chú ý:
Ngoài ra, có thể giải theo cách lập luận sau:
( , ( )) 1 ( , ( )) 2 1 3 ( , ( )) . ( , ( )) 2 2 7 d O SCD OC d A SCD AC a d O SCD d A SCD = = → = = Bài toán 2:
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang, ·ABC BAD= · =900, BA = BC
= a, AD = 2a. Cạnh bên SA ⊥ (ABCD) và SA = a . Gọi H là hình chiếu vuông góc
của A lên SB. Tính d(H, (SCD)) theo a.
a a A B C D S H Hướng dẫn:
- Việc tính d(H, (SCD)) có thể quy về tính khoảng cách từ một điểm nào đó thuộc đường thẳng qua H và song song với mp(SCD) (Điều này khó có thể thực hiện được).
- Có thể liên hệ công thức tính thể tích như sau:
VH.SCD = .SSCD.h (h: Khoảng cách từ điểm H đến mp(SCD)) VD.SHC = .SSHC.h’ (h’: Khoảng cách từ điểm D đến mp(SHC))
Bằng tính toán ta tính được:
h’=d(D, (SHD))=d(A, (SHC))=d(A, (SBC))=AH=a SSCD= .SC.CD= .2a.a =a2 SSHC=SSBC - SBHC= .SB.BC - .BH.BC=1 2.a.a - a.a= a 2 Từ đó suy ra: VH.SCD=VD.SHC⇔ SSCD.h=S ⇒ h= Bài toán 3:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A với BC = 2a, góc
·
ABC = 600, gọi M là trung điểm của cạnh BC. Biết SA = SC = SM = a . Tính
O B C M' A S M HĐ1:
- Vẽ hình và phân tích đầu bài
HĐ2: Định hướng tìm lời giải d(S, (ABC)) = d(S, (ACM)).
Sử dụng giả thiết SA = SC = SM, hãy cho biết khoảng cách từ điểm S đến
mp(ACM) được xác định như thế nào?
Gợi ý: Liên hệ với tính chất của trục đường tròn.
(TL: Khoảng cách từ điểm S đến mp(ACM) chính là khoảng cách từ điểm S đến tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ACM).
HĐ3:
Xác định O (tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ACM) và tính SO.
Gợi ý: Tách bộ phận phẳng và xác định được: SO = SC - CO = 4a
⇒ SO = 2a HĐ4 : Trình bày lời giải.
HƯỚNG DẪN TỰ HỌC
Bài tập 1: Cho mp(P), một đường thẳng AB cắt mp(P) tại điểm O sao cho O
là trung điểm của đoạn AB. CMR: A và B cách đều mp(P).
Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác cân đỉnh A, AB = a,
·
BAC =α, SA=SB=SC= . Tính khoảng cách từ S đến mp(ABC). Tìm điều kiện của
α để bài toán có nghĩa?
Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng a, SA = a và vuông góc với mp(ABCD).
a. Hãy dựng đường thẳng đi qua A và vuông góc với mp(SBC). Tính khoảng
cách từ A đến mp(SBC).
Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và
AC = 2a, SA = a và vuông góc với đáy.
a. CMR: (SAB) ⊥ (SBC), tính khoảng cách từ A đến mp(SBC).
b. Gọi O là trung điểm của AC. Tính khoảng cách từ O đến mp(SBC).
Bài tập 5 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA= a và SA vuông góc với đáy.
a. Tìm trên mp(ABC) một điểm cách đều 3 đỉnh S, B, C. Tính khoảng cách chung ấy và khoảng cách từ điểm đó đến mp(SBC).
b. Tìm trên mp(SBC) một điểm cách đều 3 điểm B, C, M. Với M là trung điểm của cạnh CD. Tính khoảng cách chung ấy.
Ví dụ 14: Các HĐ dạy học hợp tác theo nhóm nhằm giúp HS tìm quy trình xác định thiết diện của một hình cắt bởi một mặt phẳng
HĐ1 :
- Chia nhóm: Cả lớp chia thành 4 nhóm, 2 nhóm làm chung một nhiệm vụ. - GV phân nhiệm vụ cho các nhóm, các thành viên trong nhóm hợp tác, trao đổi để hoàn thành nhệm vụ học tập.
Nhiệm vụ 1:
Bài 1a: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, các cạnh bên bằng nhau. Mặt phẳng α đi qua A và vuông góc với SC. Xác định thiết diện của khối chóp khi cắt bởi α .
Bài 2a: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và
B. SA vuông góc với ABCD. M thuộc cạnh AB sao cho AM=x, x nằm trong đoạn AB, α là mặt phẳng qua M và vuông góc với AB. Tìm thiết diện của khối chóp khi cắt bởi mặt phẳng α .
Nhiệm vụ 2:
Bài 1b: Cho hình chóp S.ABCDE và ba điểm A’ thuộc SA, B’ thuộc SB, C’ thuộc SC sao cho A’B’ không song song với AB, B’C’ không song song với BC. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(A’B’C’).
Bài 2b: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Trên AB, CC’, C’D’, AA’ lần lượt lấy M, N, P, Q sao cho AM=C’N=C’P=AQ=x, x nằm trong đoạn OA. Xác định thiết diện của hình lập phương cắt bởi (MNPQ).
GV yêu cầu các nhóm điền các bước tạo ra thiết diện theo trình tự trước sau vào bảng sau: Bài 1 Bài 2 Bước 1: Bước 1: Bước 2: Bước 2: Bước 3: Bước 3: Bước 4: Bước 4: Bước 5: Bước 5: HĐ3:
Nhiệm vụ 1: Đề xuất quy trình xác định thiết diện cắt bởi mặt phẳng α thỏa mãn tính chất: α qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
Nhiệm vụ 2: Đề xuất quy trình xác định thiết diện nhờ vào giao tuyến gốc
(giao tuyến giữa mặt phẳng α và mặt phẳng đáy).
HĐ4:
- Yêu cầu các nhóm cử đại diện trình bày, các thành viên so sánh, đối chiếu kết quả. GV chính xác theo kết quả sau:
* Quy trình xác định thiết diện cắt bởi mặt phẳng α thỏa mãn tính chất: α
qua điểm A và vuông góc với một đường thẳng d cho trước
Bước 1: Xác định mặt phẳng β tạo bởi điểm A và đường thẳng d. Trongβ
dựng đường thẳng a qua A và vuông góc với d.
Bước 2: Xác định đường thẳng b cắt a và b vuông góc với d
Bước 3: Khi đó mặt phẳng α xác định bởi hai đường thẳng a và b. Từ đó, xác định thiết diện.
* Quy trình xác định thiết diện nhờ vào giao tuyến gốc (giao tuyến giữa mặt
phẳng α và mặt phẳng đáy)
Bước 1: Xác định giao tuyến d của mặt phẳng α với mặt phẳng đáy.
Bước 2: Xác định giao điểm của α với các cạnh của đáy.
Bước 3: Xác định giao tuyến của α với các mặt bên. Từ đó, xác định thiết diện.
HĐ5:
- Yêu cầu HS xem lại một lần nữa cách xây dựng quy trình, từ đó học cách học. Chú ý
Thực tế cho thấy, khó có thể xây dựng được nhiều thuật toán, đặc biệt là với các nội dung hình học. Song, chúng ta có thể tập dượt cho HS đề xuất, thiết lập các quy trình tựa thuật toán để giải quyết cùng một vấn đề, cùng một dạng toán khi dạy
học các nội dung về hình học không gian. Như thế, sẽ phát huy khả năng học tập của HS, đồng thời là phương tiện để bồi dưỡng phương pháp tự học có hiệu quả. Dưới đây là một số quy trình có thể xây dựng được:
- Quy trình xác định giao điểm của một đường thẳng d và một mp(P).
+ Xác định một mp(Q) bất kì chứa d
+ Xác định giao tuyến d’ của mp(P) và mp(Q)
+ Xác định giao điểm I của đường thẳng d và đường thẳng d’. Khi đó I là giao điểm của đường thẳng d và mp(P).
- Quy trình xác định giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau, phân biệt
(P) và (Q).
+ Để xác định giao tuyến của mp(P) và mp(Q) ta chỉ cần xác định hai điểm chung phân biệt A và B. ta tìm một điểm chung và phương của đường giao tuyến. Hoặc:
+ Để xác định giao tuyến của mp(P) và mp(Q) ta tìm một điểm chung và phương của đường giao tuyến.
- Quy trình xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo
nhau a và b.
+ Xác định m(Q) chứa b và song song với a (hoặc ngược lại). + Xác định mp(P) qua a và vuông góc với mp(Q)
+ Gọi J=(P)∩b. Sau đó xác định đường thẳng c qua J và vuông góc