20.1 Tiếp tuyến tại một điểm thuộc đường tròn
. 20.1. Cho đường tròn(C) : (x+ 2)2+ (y−3)2 = 25. Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) tại điểm A(−5; 7).
. 20.2. Cho đường tròn (C) :x2+y2−4x+y−12 = 0 và đường thẳng ∆ :x+ 2y+ 4 = 0. Viết phương
trình các tiếp tuyến của(C) tại các giao điểm của(C)và ∆.
20.2 Tiếp tuyến với đường tròn biết tiếp tuyến song song, vuông góc với đường thẳngcho trước; có hệ số góc k cho trước cho trước; có hệ số góc k cho trước
. 20.3. Viết phương trình tiếp tuyến với đường trònx2+y2+ 10x−2y+ 6 = 0 biết tiếp tuyến song song
với đường thẳng 2x+y−7 = 0.
ĐS.2x+y−1 = 0,2x+y+ 19 = 0. . 20.4. Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn x2+y2−2x+ 4y = 0 biết tiếp tuyến vuông góc với
đường thẳngx−2y+ 9 = 0.
ĐS. 2x+y−5 = 0,2x+y+ 5 = 0. . 20.5. Viết phương trình tiếp tuyến với đường trònx2+y2−4x−6y+ 1 = 0 biết tiếp tuyến có hệ số góc k= 2.
ĐS. 2x−y−1−√60 = 0,2x−y−1 +√
20.3 Tiếp tuyến xuất phát, đi qua, kẻ từ một điểm cho trước
. 20.6. Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn x2+y2+ 2x−4y = 0 biết tiếp tuyến đi qua điểm A(4; 7).
ĐS.2x−y−1 = 0, x−2y+ 10 = 0. . 20.7. Cho đường tròn(C) :x2+y2+x−3y−3 = 0. Gọi M, N là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ
điểm A(1;−2) đến(C). Tính độ dài đoạn thẳngM N.
ĐS.3. . 20.8. (B, 2006) Cho đường tròn (C) :x2+y2−2x−6y+ 6 = 0và điểm M(−3; 1). Gọi T1 và T2 là các
tiếp điểm của các tiếp tuyến kể từ điểm M đến (C). Viết phương trình đường thẳng T1T2.
ĐS.2x+y−3 = 0. . 20.9. (Minh hoạ, A, 2009) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình x2+y2−6x+ 5 = 0. Tìm điểm M thuộc trục tung sao cho quaM kẻ được hai tiếp tuyến của (C) mà góc
giữa hai tiếp tuyến đó bằng60◦.
Đáp số. M1(0;√
7)và M2(0;−√7). . 20.10. (Dự bị 2, A, 2008) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độOxy, cho đường tròn (C)có phương trình
x2+y2 = 1. Tìm các giá trị thực của tham số m để trên đường thẳng y=m tồn tại đúng hai điểm mà từ
mỗi điểm đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến với (C)sao cho góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng 60◦.
. 20.11. (D, 2007) Cho đường tròn(C) : (x−1)2+ (y+ 2)2= 9 và đường thẳngd: 3x−4y+m= 0. Tìm
m để trêndcó duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến P A, P B tới(C) sao cho tam
giácABC đều (A, B là hai tiếp điểm).
Đáp số.m= 19, m=−41.
.20.12. (Dự bị 1, khối D, 2006) Cho đường thẳngd:x−y+1 = 0và đường tròn(C) :x2+y2+2x−4y= 0.
Tìm toạ độ điểmM thuộc đường thẳngdmà qua đó ta kẻ được hai tiếp tuyến với đường tròn (C)tại Avà
B sao cho AM B\ = 60◦.
Đáp số. M1(3; 4)và M1(−3;−2). . 20.13. (Đề minh hoạ, D, 2009) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho đường tròn(C) có phương
trình (x−4)2+y2 = 4 và điểmE(4; 1). Tìm toạ độ điểm M trên trục tung sao cho từ M kẻ được hai tiếp
tuyếnM A, M B đến đường tròn(C) (với A, B là các tiếp điểm) sao cho đường thẳng AB qua đểmE.
20.4 Tiếp tuyến tạo với đường thẳng cho trước một góc α
. 20.14. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn x2+y2 = 25, biết rằng tiếp tuyến đó hợp với đường
thẳngx+ 2y−1 = 0 một gócα màcosα= √2
5.
Đáp số. y±5 = 0;4x+ 3y±25 = 0. . 20.15. Viết phương trình tiếp tuyến của đường trònx2+y2 = 8, biết rằng tiếp tuyến đó hợp với trục Ox một góc45◦.
20.5 Tiếp tuyến chung của hai đường tròn
. 20.16. (Dự bị 2006) Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn
(C1) :x2+y2−4y−5 = 0và (C2) :x2+y2−6x+ 8y+ 16 = 0.
Hướng dẫn. (C1) và (C2) ngoài nhau và có bán kính bằng nhau.
ĐS.2x+y+ 3√
5−2 = 0; 2x+y−3√
5−2 = 0;y =−1; 4x−3y−3 = 0. . 20.17. (Dự bị 2002) Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn
(C1) :x2+y2−10 = 0 và(C2) :x2+y2+ 4x−2y−20 = 0.
Hướng dẫn. (C1) và (C2) cắt nhau và có bán kính bằng nhau.
ĐS.x+ 7y−5 + 25√
2 = 0;x+ 7y−5−25√
2 = 0. . 20.18. (CĐ Y tế Thanh Hoá, 2005) Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn
(C1) :x2+y2−4x−2y+ 4 = 0và (C2) :x2+y2+ 4x+ 2y−4 = 0.
ĐS. x= 1, y = 2,4x−3y−10 = 0,−3x−4y+ 5 = 0. 20.6 Vài bài khác
. 20.19. (Dự bị 2, B, 2008) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hai điểm A(3; 0) và B(0; 4).
Chứng minh rằng đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với đường tròn đi qua trung điểm của các
cạnh tam giácOAB.
. 20.20. (Đại học Ngoại ngữ, 2000) Trong mặt phẳng cho ba điểm A(−1; 7), B(4;−3), C(−4;−1). Viết
phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Đáp số. (x+ 1)2+ (y−2)2 = 5. . 20.21. Cho đường tròn(S) có phương trìnhx2+y2 = 16và tam giác đềuABC nội tiếp đường tròn, biết A(0; 4). Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của tam giác.
Đáp số. B(2√
3;−2) và C(2√
3;−2). . 20.22. Cho đường tròn(C) :x2+y2−6x+ 2y+ 6 = 0 và điểm M(1; 3). Viết phương trình đường thẳng
đi quaM và cắt đường tròn tại hai điểm A, B sao choM A=AB.
Mục lục
1 Các Khái niệm về vectơ 1
1.1 Định nghĩa . . . 1
2 Hai vectơ cùng phương 1 2.1 Giá của một vectơ . . . 1
2.2 Hai vectơ cùng phương . . . 1
3 Hai vectơ cùng hướng 1 4 Độ dài của một vectơ, hai vectơ bằng nhau 1 4.1 Độ dài của một vectơ . . . 1
4.2 Hai vectơ bằng nhau . . . 2
5 Tổng của hai vectơ 2 5.1 Quy tắc ba điểm . . . 2
5.2 Quy tắc hình bình hành . . . 2
5.3 Tính chất . . . 2
6 Hiệu của hai vectơ 3 6.1 Vectơ đối của hai vectơ . . . 3
7 Tính chất 3 7.1 Hiệu của hai vectơ . . . 3
7.2 Hiệu của hai vectơ chung điểm đầu . . . 3
8 Tích của một số thực với một vectơ 4 9 Tính chất 4 9.1 Điều kiện để hai vectơ cùng phương . . . 5
9.2 Điều kiện để ba điểm thẳng hàng . . . 5
9.3 Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương . . . 6
9.4 Tìm tập hợp điểm . . . 8
10 Trục toạ độ 8 11 Toạ độ của một vectơ trên trục - độ dài đại số của một vectơ 8 11.1 Toạ độ của một vectơ trên trục . . . 8
11.2 Độ dài đại số của một vectơ . . . 9
12 Hệ trục toạ độ 9 13 Toạ độ của một vectơ 9 13.1 Toạ độ của một vectơ . . . 9
13.2 Toạ độ của một điểm . . . 9
13.3 Các phép toán về vectơ . . . 9
13.4 Toạ độ của một vectơ khi biết toạ độ hai điểm . . . 10
13.5 Toạ độ trung điểm của một đoạn thẳng . . . 10
14 Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0◦ đến 180◦ 11
14.1 Nửa đường tròn đơn vị . . . 11
14.2 Định nghĩa . . . 11
14.3 Quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc phụ nhau. . . 12
14.4 Quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau. . . 12
15 Tích vô hướng của hai vectơ 13 15.1 Góc giữa hai vectơ . . . 13
15.2 Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ . . . 13
15.3 Bình phương vô hướng của một vectơ . . . 14
15.4 Tính chất của tích vô hướng . . . 14
15.5 Công thức hình chiếu . . . 15
15.6 Phương tích của một điểm đối với một đường tròn . . . 16
15.7 Biểu thức toạ độ của tích vô hướng . . . 16
16 Hệ thức lượng trong tam giác 18 16.1 Định lí côsin trong tam giác . . . 18
16.2 Định lí sin trong tam giác . . . 18
16.3 Công thức trung tuyến . . . 18
16.4 Diện tích của tam giác . . . 19
17 Phương trình đường thẳng 20 17.1 Phương trình tham số của đường thẳng . . . 20
17.2 Phương trình tham số của đường thẳng . . . 21
18 Phương trình tổng quát của đường thẳng 21 18.1 Phương trình đoạn thẳng theo đoạn chắn . . . 21
18.2 Khoảng cách . . . 27
19 Đường tròn 28 19.1 Phương trình đường tròn . . . 28
19.2 Vị trí tương đối của một điểm và một đường tròn . . . 28
19.3 Vị trí tương đối của một đường thẳng và một đường tròn . . . 29
20 Tiếp tuyến của đường tròn 31 20.1 Tiếp tuyến tại một điểm thuộc đường tròn . . . 31
20.2 Tiếp tuyến với đường tròn biết tiếp tuyến song song, vuông góc với đường thẳng cho trước; có hệ số góck cho trước . . . 31
20.3 Tiếp tuyến xuất phát, đi qua, kẻ từ một điểm cho trước . . . 32
20.4 Tiếp tuyến tạo với đường thẳng cho trước một góc α . . . 32
20.5 Tiếp tuyến chung của hai đường tròn . . . 33
20.6 Vài bài khác . . . 33
Sắp chữ bằng LATEX bởi Trần Văn Toàn,
Giáo viên trường THPT chuyên Lương Thế Vinh, Biên Hoà, Đồng Nai.