Lý thuyết xoáy – Phương pháp xoáy rời rạc

Chương 1 TỔNG QUAN VỀ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU KHÍ ĐỘNG LỰC HỌC

1.2. Các phương pháp nghiên cứu khí động học cánh quay

1.2.3. Lý thuyết xoáy – Phương pháp xoáy rời rạc

Bài toán phân tích cánh quay theo lý thuyết xoáy [40] dùng để tính toán trường dòng chảy chảy bao qua cánh quay, đặc biệt là trường vận tốc cảm

ứng, bằng việc sử dụng các định luật động lực học chất lỏng chi phối sự phát triển, vận động và ảnh hưởng của màn xoáy thay thế cho các bề mặt mang (lá cánh): định luật Biot-Savart, lý thuyết Kelvin, và các định luật Helmholdz.

Vận tốc v x  cảm ứng bởi một sợi xoáy có cường độ  được cho theo định luật Biot-Savard:      

4 3

x y dl y v x

x y





 

    (1.14)

Trong đó: x, y – lần lƣợt là các véc tơ tọa độ của điểm xác định vận tốc và điểm trên sợi xoáy.  – cường độ sợi xoáy tại điểm y.

Tích phân đƣợc lấy dọc theo toàn bộ chiều dài của sợi xoáy và chiều dài vi phân đoạn xoáy dl tiếp tuyến với sợi xoáy ở y.

Đối với sợi xoáy thẳng, cường độ không đổi, vận tốc cảm ứng tại các điểm trên đường tròn có trục đối xứng là sợi xoáy có phương vuông góc với mặt phẳng tạo bởi sợi xoáy và điểm đó có độ lớn nhƣ nhau:

2 i

v r

 

 (1.15)

ri – là khoảng cách vuông góc với sợi xoáy (bán kính đường tròn).

Trong chất lưu thực, độ nhớt làm tiêu tán vận tốc vô hạn tại đường tâm xoáy. Khi đó một ống tròn có bán kính mặt cắt ngang nhỏ nhƣng hữu hạn, trục ống trùng với đường tâm xoáy, bên trong ống từ bán kính đến tâm, vận tốc cảm ứng giảm dần về không đƣợc gọi là lõi xoáy.

Lý thuyết Stoke chỉ ra sự cân bằng thông lƣợng của xoáy qua một mặt phẳng S với lưu số vận tốc trên đường biên của mặt phẳng đó.

Lý thuyết lưu số vận tốc Kelvin chỉ ra: Với chất lưu không nhớt và không chịu nén, mật độ phân bố đều, lưu số vận tốc   v dl. không đổi và dịch chuyển theo chất lỏng.

Các định luật Helm-Holtz về xoáy nhƣ sau: Một sợi xoáy không thể bắt đầu và kết thúc trong chất lưu, nó phải có dạng một đường kín hoặc kéo dài vô tận (khi xuất phát từ bề mặt rắn); Cường độ xoáy của mỗi sợi xoáy không đổi dọc theo chiều dài của nó; Trong lòng chất lưu mà tạo thành một sợi xoáy, tại đó sợi xoáy được tạo thành liên lục và có cường độ duy trì không đổi khi nó dịch chuyển ra xa.

Từ các định luật này, lý thuyết xoáy xây dựng các phương pháp xác định trường dòng chảy qua cánh, trong đó có bài toán về cánh quay.

Liên hệ với lực nâng L của một mặt cắt cánh là một lưu số vận tốc  xung quanh mặt cắt LU, với U là vận tốc dòng chảy tự do. Do đó lá cánh của cánh quay có thể đƣợc thay thế bởi một sợi xoáy chạy dọc theo sải lá cánh có cường độ thay đổi được xác định tương ứng sự phân bố lực nâng dọc theo sải lá cánh. Hơn nữa, khi xét đến sự phân bố lực nâng theo chiều dây cung lá cánh thì lá cánh phải đƣợc thay thế bởi một màn xoáy gồm các sợi xoáy dọc theo sải và xếp liên tục trên mặt trung bình của cánh. Tại mỗi vị trí mặt cắt, các sợi xoáy của màn xoáy có cường độ khác nhau phụ thuộc vào sự phân bố lực nâng trên mặt cắt lá cánh.

Xét trường hợp phân bố tải trọng không đổi dọc theo sải, đồng thời không tính đến sự phân bố lực nâng theo chiều dây cung, khi đó lá cánh đƣợc thay thế chỉ bằng một sợi xoáy có cường độ không đổi. Sợi xoáy sẽ gồm đoạn liên kết trên lá cánh và kéo dài trong dòng chảy xuất phát từ gốc và đầu mút lá cánh (hình 1.8). Từ các mút lá cánh, các xoáy đƣợc kéo dài ra thành các đường xoắn ốc và đan xen lẫn nhau. Các xoáy gốc lá cánh cũng tương tự như xoáy đầu mút, chúng tạo thành các đường xoắn ốc đan xen nhưng có đường kính xoắn ốc nhỏ hơn. Ngoài thành phần vận tốc cảm ứng dọc trục do đoạn xoáy liên kết gây ra, thành phần chạy vòng của các xoáy xoắn ốc cũng cảm ứng tạo ra vận tốc cảm ứng dọc trục bên trong dòng chảy theo chiều ngƣợc lại với lực kéo. Và thành phần dọc trục của các xoáy xoắn ốc cảm ứng tạo ra chuyển động xoắn của của dòng chảy bao.

Hình 1.8 Dòng chảy chứa các sợi xoáy chảy ra từ các đầu lá cánh trong chế độ chảy bao dọc trục

Trường hợp tiếp theo, khi lực khí động thay đổi theo sải tương ứng với lưu số vận tốc bao quanh lá cánh thay đổi theo sải, dẫn đến phải tồn tại vô số các sợi xoáy đƣợc kéo dài từ mép sau lá cánh. Dòng chảy khi đó sẽ chứa trong nó các màn xoáy xoắn ốc kéo ra từ mép sau các lá cánh.

Trường hợp tổng quát, khi có xét đến cả sự phân bố lực nâng theo chiều dây cung lá cánh và theo sải lá cánh thì mỗi lá cánh không chỉ đƣợc thay thế bằng một xoáy liên kết mà là vô số xoáy liên kết. Tại mép sau lá cánh không chỉ có các xoáy dọc chảy ra mà còn có các xoáy ngang bị tách ra do sự biến đổi cường độ của các xoáy liên kết.

Lý thuyết xoáy cho cánh quay đã phát triển qua nhiều phiên bản từ đơn giản đến phức tạp nhƣ lý thuyết xoáy theo mô hình đĩa cánh quay, lý thuyết xoáy với số lượng hữu hạn các lá cánh và lý thuyết xoáy theo phương pháp số (phương pháp xoáy rời rạc).

Trong đó, mô hình lý thuyết xoáy theo đĩa cánh quay chủ yếu đƣợc xem xét cho chế độ bay treo, xoáy thay thế các lá cánh đƣợc phân bố toàn bộ đĩa cánh quay, số lá cánh đƣợc coi là vô hạn. Giả thiết này dẫn đến sự phân bố xoáy ở mọi nơi trong thể tích dòng chảy mà không tập trung trên các màn hay sợi xoáy xoắn ốc. Các khó khăn trong việc tính toán vận tốc cảm ứng bởi dòng chảy xoáy đƣợc giảm xuống.

Mô hình lý thuyết xoáy với số lƣợng hữu hạn các lá cánh mô hình hóa dòng chảy bằng các sợi và màn xoáy chảy ra trên mỗi hình xoắn ốc sau mỗi lá cánh. Tuy nhiên chƣa tính đến sự phân bố của lực nâng theo chiều dây cung, tức là mỗi lá cánh chỉ đƣợc thay thế bởi một xoáy liên kết, không tính đến sự tự cảm ứng làm biến dạng của màn xoáy.

Lý thuyết xoáy theo phương pháp số hay phương pháp xoáy rời rạc (XRR) là phiên bản hiện đại của lý thuyết xoáy, là lời giải số để xác định trường vận tốc cảm ứng, tải trọng và đặc tính của cánh quay. Ở đây mô hình xoáy thay thế là tổng quát nhất, tính đến cả sự phân bố tải trọng theo sải và theo chiều dây cung lá cánh, tức là lá cánh đƣợc thay thế bởi nhiều sợi xoáy ngang liên kết có cường độ thay đổi theo sải. Khi đó các xoáy tự do (gồm cả dọc và ngang) phát triển từ lá cánh sẽ xuất phát từ các đầu mút, mép sau và cả các vị trí tách dòng theo yêu cầu đặt ra. Để xây dựng mô hình tính toán theo lý thuyết xoáy phương pháp số, các sợi xoáy cần được rời rạc hóa. Tương ứng với mỗi phần tử lá cánh, cường độ của các đoạn xoáy liên kết với nó được coi

nhƣ không đổi. Nhƣ vậy khi số lƣợng phần tử chia lá cánh càng lớn thì mô hình càng chính xác, tuy nhiên điều này dẫn đến kéo dài thời gian tính toán và yêu cầu cấu hình cao hơn của máy tính điện tử. Từ các định luật đƣa ra ở trên, lý thuyết xoáy phương pháp số xây dựng hệ phương trình tính cường độ các đoạn xoáy rời rạc và qua đó tính toán được trường vận tốc cảm ứng trong không gian chảy bao cánh quay, các tải trọng và đặc tính cánh quay.