(4 tiÕt) I. Khối chóp:
1.CT tÝnh thÓ tÝch khèi chãp V = 3
1B.h ( B là diện tích của đáy, h là chiều cao )
2. Luyện tập:
Bài 1: Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a
S
D a
H
C
A B
HD: * Đáy là ∆BCD đều cạnh a. H là trọng tâm của đáy * Tất cả các cạnh đều đầu bằng a
* Tính: V = 1 3Bh =
1
3SBCD . AH * Tính: SBCD =
2 3
4
a (∆BCD đều cạnh a) * Tính AH: Trong ∆VABH tại H :
AH2 = AB2 – BH2 (biết AB = a; BH = 2
3BM với BM = 3 2 a )
ĐS: V =
3 2
12 a
Bài 2: Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều cạnh a
HD: * Đáy ABCD là hình vuông cạnh a. H là giao điểm của 2 đường chéo * Tất cả các cạnh đều đầu bằng a
* Tính: V = 1 3Bh =
1
3SABCD . SH * Tính: SABCD = a2 * Tính AH: Trong ∆VSAH tại H:
SH2 = SA2 – AH2 (biết SA = a; AH = 2 2 a )
ĐS: V =
3 2
6
a . Suy ra thể tích của khối bát diện đều cạnh a. ĐS: V =
3 2
3 a
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên (SAB) là tam giác đều và vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm của AB
a) Chứng minh rằng: SH ⊥(ABCD) b) Tính thể tích hình chóp S.ABCD HD: a) * Ta có: mp(SAB) ⊥(ABCD)
* (SAB) ∩(ABCD) = AB; * SH ⊂(SAB) * SH ⊥AB ( là đường cao của ∆SAB đều) Suy ra: SH ⊥(ABCD) (đpcm)
b) * Tính: VS.ABCD = 1 3Bh =
1
3SABCD.SH
* Tính: SABCD = a2 * Tính: SH = a 3
2 (vì ∆SAB đều
cạnh a)
ĐS: VS.ABCD =
a 33
6
Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a. Các mặt bên (SAB), (SBC), (SCA) tạo với đáy một góc 600. Tính thể tích của khối chóp đó.
HD: * Hạ SH ⊥(ABC) và kẻ HM ⊥AB, HN⊥BC, HP ⊥AC
* Góc tạo bởi mặt bên (SAB) với đáy (ABC) là ϕ = SM H∧ = 600 * Ta có: Các ∆vuông SMH, SNH, SPH bằng nhau (vì có chung 1 cạnh
góc vuông và 1 góc nhọn bằng 600)
* Suy ra: HM = HN = HP = r là bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC * Tính: VS.ABC = 1
3Bh = 1
3SABC .SH
* Tính: SABC = p(p a)(p b)(p c) − − −
= p(p AB)(p BC)(p CA) − − − (công thức Hê-rông)
a H
S
D
C B
A
7a
6a 5a
M H N
P C
B A
60° S
C' A' B'
C A B
* Tính: p = 5 6 7 2 9
a a a
+ + = a Suy ra: SABC = 6 6a2
* Tính SH: Trong ∆VSMH tại H, ta có: tan600 = SH
MH ⇒SH = MH. tan600 * Tính MH: Theo công thức SABC = p.r = p.MH ⇒MH = SABC
p = 2 6
3
a Suy ra: SH = 2 a 2
ĐS: VS.ABC = 8 a3 3
3. Bài tập tự luyện:
Bài 1:TN-THPT 2006
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, cạnh bên SB = a 3 1. Tính thể tích khối chóp S.ABCD
2. Chứng minh rằng trung điểm I của cạnh SC là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Bài 2.(TN-THPT 2007 lần 1)
Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là một tam giác vuông tại đỉnh B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết SA = AB = BC = a. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
Bài 3.(TN-THPT 2007 lần 2)
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = AC. Tính thể tích của khối chóp theo a.
Bài 4. (TN - THPT 2008 lần 1)
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi I là trung điểm của BC.
a) Chứng minh SA vuông góc với BC b) Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a Bài 5. (TN-THPT 2008 lần 2)
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B, đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết AB = a, BC a= 3 và SA=3a.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
b) Gọi I là trung điểm của cạnh SC, tính độ dài đoạn thẳng BI theo a.
Bài 6.(TN-THPT – 2009)
Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Biết
ã 1200
BAC= , tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.
II. Khối lăng trụ:
1. CT tÝnh thÓ tÝch khèi l¨ng trô V = B.h ( B là diện tích của đáy, h là chiều cao. ) 2. Luyện tập:
Bài 1: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a a) Tính thể tích của khối lăng trụ
b) Tính thể tích khối tứ diện A’BB’C
HD: a) * Đáy A’B’C’ là ∆ đều cạnh a . AA’ là đường cao * Tất cả các cạnh đều bằng a
* VABC.A B C′ ′ ′ = Bh = SA B C′ ′ ′.AA’ * Tính: SA B C′ ′ ′ =
2 3
4
a (A’B’C’ là ∆ đều cạnh a) và AA’ = a
ĐS: VABC.A B C′ ′ ′ =
3 3
4
a b) VA BB C′ ′ = 1
3 VABC.A B C′ ′ ′ ĐS:
3 3
12 a
( khối lăng trụ đứng có tất cả các cạnh bằng nhau được chia thành 3 tứ diện bằng nhau)
Bài 2: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a và điểm A’ cách đều các điểm A, B, C. Cạnh bên AA’ tạo với mp đáy một góc 600. Tính thể tích của lăng trụ.
HD: * Kẻ A’H ⊥(ABC)
* A’ cách đều các điểm A, B, C nên H là trọng tâm của ∆ABC đều cạnh a
3 4
A
O B
Tài liệu ôn tập thi TN THPT Năm học: 2009-2010
* Góc giữa cạnh AA’ và mp(ABC) là ϕ = A A H ′ ∧ = 600
* Tính: VABC.A B C′ ′ ′ = Bh = SABC.A’H * Tính: SABC =
2 3
4
a (Vì ∆ABC đều cạnh a) * Tính A’H: Trong ∆VAA’H tại H, ta có:
tan600 = A H AH
′ ⇒A’H = AH. tan600 = 2
3AN. 3 = a
ĐS: VABC.A B C′ ′ ′ =
3 3
4 a
Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a, BC = 2a và AA’ = 3a.
Tính thể tích của lăng trụ HD: * Đường cao lăng trụ là AA’ = 3a * Tính: VABC.A B C′ ′ ′ = Bh = SABC.AA’ * Tính: SABC = 1
2AB.AC (biết AC = a) * Tính AB: Trong ∆VABC tại A, ta có:
AB2 = BC2 – AC2 = 4a2 – a2 = 3a2 ĐS: VABC.A B C′ ′ ′ =
3 3 3 2 a
III. Diện tích và thể tích các khối tròn xoay 1. Công thức:
a) Khối trụ
- Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq = 2.π.R.l ( R: bán kính đáy, l : độ dài đường sinh) - Thể tích khối trụ: V = π.R2.h ( h : độ dài đường cao )
b) Khối nón:
- Diện tích xung quanh hình nón: Sxq = π.R.l - Thể tích khối nón: V = . .R .h
3
1 2
π c) Khối cầu
- Diện tích mặt cầu: S = 4.π.R2 -Thể tích khối cầu: V = . 3
3 4π R 2. Bài tập
Bài 1: Trong không gian cho tam giác vuông OAB tại O có OA = 4, OB = 3. Khi quay tam giác vuông OAB quanh cạnh góc vuông OA thì đường gấp khúc OAB tạo thành một hình nón tròn xoay. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón HD: a) * Sxq = πRl = π.OB.AB = 15π
Tính: AB = 5 (∆∨AOB tại O) * Stp = Sxq + Sđáy = 15π + 9π = 24π
b) V = 1 2
3 π R h = 1 2
3 π .OB .OA = 1 2
3 π . . 3 4 = 12π
Bài 2: Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh 2a.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón
HD: a) * Sxq = πRl = π.OB.SB = 2πa2
* Stp = Sxq + Sđáy = 2πa2 + πa2 = 23πa2
a 60°
N H
C'
B'
C
B A
2a 3a
a B' C'
A'
B C
A
2a S
h r
l
B' A' O'
I
O B
A
b) V = 1 2
3 π R h = 1 2
3 π .OB .SO =
3
1 2 3
3 3 3
.a .a π a
π =
Tính: SO = 2 3 2 3
a = a (vì SO là đường cao của ∆SAB đều cạnh 2a)
Bài 3: Một hình nón có chiều cao bằng a và thiết diện qua trục là tam giác vuông.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón
HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác vuông cân tại S nên A∧ = B∧ = 450
* Sxq = πRl = π.OA.SA = πa2 2
Tính: SA = a 2; OA = a (∆∨SOA tại O)
* Stp = Sxq + Sđáy = πa2 2 + πa2 = (1 + 2) πa2 b) V = 1 2
3 π R h = 1 2
3 π .OA .SO = 1 2 3
3 3
.a .a π a
π =
Bài 4: Một hình trụ có bán kính đáy bằng R và thiết diện qua trục là một hình vuông.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ b) Tính thể tích của khối trụ
HD: a) * Sxq = 2πRl = 2π.OA.AA’ = 2π.R.2R = 4πR2 * OA =R; AA’ = 2R
* Stp = Sxq + 2Sđáy = 4πR2 + πR2 = 5πR2
b) * V = π R h2 = π .OA .OO2 ′= π .R . R2 2 = π 2 R3
Bài 5: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ b) Tính thể tích của khối trụ
c) Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trụ 3cm. Hãy tính diện tích của thiết diện được tạo nên
HD: a) * Sxq = 2πRl = 2π.OA.AA’ = 2π.5.7 = 70π(cm2) * OA = 5cm; AA’ = 7cm
* Stp = Sxq + 2Sđáy = 70π + 50π = 120π(cm2) b) * V = π R h2 = π .OA .OO2 ′= π.52.7 = 175π(cm3) c) * Gọi I là trung điểm của AB ⇒OI = 3cm
* SABB A′ ′ = AB.AA’ = 8.7 = 56 (cm2) (hình chữ nhật) * AA’ = 7 * Tính: AB = 2AI = 2.4 = 8
* Tính: AI = 4(cm) (∆∨OAI tại I)
Bài 6: Một hình trụ có bán kính r và chiều cao h = r 3
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ b) Tính thể tích của khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho
c) Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho
góc giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ bằng 300. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ
HD: a) * Sxq = 2πRl = 2π.OA.AA’ = 2π.r. r 3 = 2 3 πr2 * Stp = Sxq + 2Sđáy = 2πr2 3 + 2πr2 = 2 ( 3 1 + π ) r2
b) * V = π R h2 = π .OA .OO2 ′= π .r .r2 3 = π r3 3
c) * OO’//AA’ ⇒ BA A∧ ′ = 300
* Kẻ O’H ⊥A’B ⇒O’H là khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục OO’ của hình trụ
DBQ_Trường THPT Khánh Lâm 45
45 S
B
A O
A
B O
A' O'
B'
l h
r 3
H A
O
O' A'
r
* Tính: O’H = 3 2
r (vì ∆BA’O’ đều cạnh r)
* C/m: ∆BA’O’ đều cạnh r * Tính: A’B = A’O’ = BO’ = r * Tính: A’B = r (∆∨AA’B tại A’)
Cách khác: * Tính O’H = O A ′ ′2 − A H ′ 2 = 2 2 3
4 2
r r
r − = (∆∨A’O’H tại H) * Tính: A’H =
2 A B ′
= 2
r * Tính: A’B = r (∆∨AA’B tại A’)
Bài 7: Cho tứ diện ABCD có DA = 5a và vuông góc với mp(ABC), ∆ABC vuông tại B và AB = 3a, BC = 4a. a) Xác định mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D
b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu HD: a) * Gọi O là trung điểm của CD.
* Chứng minh: OA = OB = OC = OD;
* Chứng minh: ∆DAC vuông tại A ⇒OA = OC = OD = 1 2CD
(T/c: Trong tam giác vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy) * Chứng minh: ∆DBC vuông tại B ⇒OB = 1
2CD
* OA = OB = OC = OD = 1
2CD ⇔A, B, C, D thuộc mặt cầu S(O;
2 CD)
b) * Bán kính R =
2 CD = 1
2
2 2
AD + AC = 1
2 AD2+AB2+BC2
= 1 2
2 2 2 5 2
25 9 16
2 a + a + a = a
* S =
2
5 2 2
4 50
2
a a
π ÷ = π
; * V =
4
3 πR3 =
3 3
4 5 2 125 2
3 2 3
a a
π
π ÷ =
Bài 8: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a.
a) Xác định mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, D, S
b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu HD: a) Gọi O là tâm hình vuông (đáy). Chứng minh: OA = OB = OC = OD = OS
b, R = OA = 2 2
a ; S = 2a2π; V =
3 2
3 a π