Tình huống 3.1. Bà Lam có hai tài khoản ngân hàng gửi tiết kiệm, tại ngân hàng A bà gửi 150 triệu đồng, tại ngân hàng B bà gửi 250 triệu đồng. Bạn của bà Lam hỏi mức lãi suất của mỗi ngân hàng, nhưng bà Lam không nhớ chính xác, chỉ biết là ngân hàng B có lãi suất cao hơn ngân hàng A là 0,5% trong một năm, và sau hai năm số tiền trong cả hai tài khoản của bà là459,783 triệu. Hỏi lãi suất của mỗi ngân hàng là bao nhiêu?
Bài giải.
Gọi mức lãi suất của mỗi ngân hàng tính trong một năm làxA% vàxB%,(xA, xB >0)
Vì tài khoản ban đầu trong ngân hàng A là 150 triệu, nên sau hai năm, tổng số tiền cả gốc và lãi tại ngân hàng A là150.(1 +xA%)2.
Vì tài khoản ban đầu trong ngân hàng B là 250 triệu, nên sau hai năm, tổng số tiền cả gốc và lãi tại ngân hàng A là250.(1 +xB%)2.
Theo bài ra, ta có hệ phương trình
xB −xA = 0,5
150.(1 +xA%)2+ 250.(1 +xB%)2= 459,783
⇔
xB = 0,5 +xA
150.(1 +xA%)2+ 250.[1 + (xA+ 0,5)%]2= 459,783 (1) (1)⇔400.(xA%)2+ 802,5.xA%−57,27675 = 0
⇔xA = 6,9hoặc xA =−2,075 (loại).
Với xA = 6,9% thì xB = 7,4%.
Như vậy lãi suất trong một năm của ngân hàng A là 6,9%, ngân hàng B là 7,4%.
Tình huống 3.2. Giám đốc một công ty X vừa khánh thành ngôi nhà của mình có diện tích4800m2, và phải xây 275mét tường rào bao quanh. Bây giờ ông muốn trồng cây xanh và hoa cho căn nhà thêm đẹp. Dọc theo ngôi nhà ông định trồng cây tùng, phía trước và sau nhà ông định trồng cây vạn tuế, sao cho các cây trồng đảm bảo kỹ thuật. Biết cổng ra vào dài 5 mét và khu vườn có dạng hình chữ nhật. Hãy tính xem cần phải mua bao nhiêu cây mỗi loại?
Bài giải.
Tình huống đặt ra là phải tính chính xác số cây cần mua mỗi loại để tiết kiệm chi phí thu mua và vận chuyển. Để làm được điều đó, cần phải biết chiều dài và chiều rộng của khu vườn.
Gọi chiều dài và chiều rộng của khu vườn làx, y (m).x, y >0 Vì diện tích của mảnh vườn là4800m2 nên x.y = 4800
Vì tổng chiều dài tường rào là 275m và cổng dài 5m nên chu vi là:
(x+y).2 = 280⇔x+y= 140
Ta có hệ phương trình :
x+y= 140 x.y = 4800
Đây là một hệ phương trình phi tuyến đối xứng loại 1 có nghiệm(x;y) = (60; 80) Coi khoảng cách giữa các cây đúng kĩ thuật là cách nhau 2m.
Với chiều dài 80m thì số cây tùng trồng hai bên theo chiều dọc tường rào là 2.80 2 = 80 (cây)
Mặt sau của khu vườn rộng60m thì trồng được30 cây vạn tuế.
Mặt trước trừ đi 5 m cổng, còn 55 m, như vậy trồng được nhiều nhất 28 cây vạn tuế.
Tổng số cây vạn tuế là 58, trong đó trừ 4 góc trồng cây tùng, vậy cần mua 54 cây vạn tuế.
Vậy số cây cần mua là : 80 cây tùng và 54 cây vạn tuế.
Tình huống 3.3. Nói về sự chuyển động của các hành tinh trong thiên hà, mỗi một hành tinh đều có quỹ đạo chuyển động riêng của nó, quay xung quanh mặt trời và quanh các hành tinh khác. Quỹ đạo chuyển động của Trái đất và sao chổi Halley’s Comet là hai hình elip không giao nhau.
Ta đã biết phương trình của elip là một phương trình phi tuyến, vậy thì hệ phương trình phi tuyến tạo bởi phương trình chuyển động của trái đất và sao chổi Halley’s Comet là một hệ vô nghiệm.
Tình huống 3.4. Một bác nông dân dự tính đào một ao nuôi thả cá hình chữ nhật, với một số vốn xây dựng bờ kè không đổi. Hãy tính toán phương án xây dựng độ dài các cạnh sao cho diện tích sử dụng là lớn nhất.
Bài giải.
Tình huống đặt ra là với cùng số vốn xây dựng bờ kè (coi chiều sâu của ao không đổi), cần xác định chiều dài và chiều rộng của ao để diện tích sử dụng lớn nhất. Giả sử với số vốn dự tính, xây được a(m) dài kè bao. Như vậy a là chu vi ao cá và a không đổi. Gọi x, y là độ dài các cạnh của hình chữ nhật, ta cần giải quyết bài toán:
Cho hệ phương trình:
x+y = a 2 (1) x.y =m (2)
Tìm mối liên hệ giữa x và y để m đạt giá trị lớn nhất? Từ phương trình (2) suy ra y= a
2 −x, suy ra xy=x(a 2−x)
xy=−x2+a 2x xy=−(x− a
4)2+ a2 16 ≤ a2
16. Dấu ” = ” xảy ra khi x= a
4 ⇒x=y = a 4
Vậy để có được diện tích sử dụng lớn nhất thì nên xây ao cá hình vuông.
Tình huống 3.5. Một bác nông dân cần xây dựng một hố ga hình hộp chữ nhật không nắp, có thể tích3200cm3, tỉ số giữa chiều cao của hố và chiều rộng của đáy bằng 2. Hãy xác định diện tích của đáy hố ga sao cho khi xây tiết kiệm nguyên vật liệu nhất?
Bài giải.
Gọi x, y lần lượt là chiều rộng và chiều dài của đáy hố ga.(x, y >0) Gọi h là chiều cao của đáy hố ga (h >0). Ta có h
2 =x, suy ra h = 2x.
Suy ra:
- Thể tích hố ga làxyh = 3200⇔2x2y= 3200⇔x2y= 1600.
- Diện tích tích toàn phần của hố ga (không nắp) là 2(x+y)h+xy = 4x2+ 5xy=m Ta có hệ phương trình:
x2y= 1600 (1) 4x2+ 5xy=m (2) Yêu cầu của bài toán là tìmx, y sao cho m nhỏ nhất?
Từ phương trình(1) suy ra y= 1600
x , ta có m= 4x2+ 5x.1600
x2 = 4x2+ 8000 x . Khảo sát hàm số f(x) = 4x2+8000
x , x > 0 suy ra diện tích toàn phần của hố ga nhỏ nhất bằng1200cm3, khi x= 10cm thìy = 6cm.
Suy ra diện tích đáy hố ga là 10.16 = 160(cm2).
Kết luận
Luận văn Về hệ phương trình phi tuyến và ứng dụng trình bày những vấn đề sau:
1. Luận văn đã trình bày chi tiết một số kiến thức cơ bản của hệ phương trình nói chung và hệ phương trình phi tuyến nói riêng.
2. Trình bày các dạng toán cụ thể của hệ phương trình phi tuyến.
3. Trình bày một số phương pháp giải hệ phương trình phi tuyến thường gặp.
4. Trình bày các đề toán thi học sinh giỏi, tuyển sinh các trường chuyên toán và thi đại học, cao đẳng liên quan đến hệ phương trình phi tuyến.
5. Nêu một vài ứng dụng của hệ phương trình phi tuyến trong khoa học và đời sống.