1.3. CƠ SỞ LÝ LUẬN VỀ MÔ HÌNH ARIMA
1.3.1. Giới thiệu chuỗi thời gian trong kinh tế
a. Định nghĩa và các thành phần của chuỗi thời gian
Dữ liệu chuỗi thời gian rất phổ biến trong kinh tế, như: chuỗi giá vàng,
chuỗi chỉ số chứng khoáng, chuỗi chỉ số giá tiêu dùng CPI, …
Chuỗi thời gian là một dãy các giá trị của một đại lượng nào đó được quan sát theo trình tự thời gian. Ta đặt Yt là giá trị quan sát của chuỗi ở thời đoạn (hoặc thời điểm) t, với t =1; 2; 3; …; n.
Các thành phần của dữ liệu chuỗi thời gian trong kinh tế gồm:
- Thành phần xu thế (Trend): phản ánh sự vận động theo xu hướng tăng (hoặc giảm) khá rõ ràng của chuỗi thời gian trong một giai đoạn dài.
- Thành phần mùa (Seasonality): phản ánh vận động khá ổn định của chuỗi xuất hiện hàng năm và lặp lại ở các năm sau. Những vận động mùa rất thường được tìm thấy ở dữ liệu theo quý, tháng. Dữ liệu theo năm không có thành phần mùa. Thành phần mùa xảy ra do ảnh hưởng thời tiết, các sự kiện trong năm liên quan đến lịch như: các dịp lễ, kì nghỉ hè, …
- Thành phần chu kì (Cyclical): phản ánh vận động của chuỗi thời gian được lặp đi lặp lại cho mỗi thời đoạn dài hơn 1 năm (thường từ 2 đến 10 năm). Thành phần chu kì không liên quan đến thành phần mùa ở trên mà nó thường bắt nguồn từ các chu kì kinh doanh.
- Thành phần ngẫu nhiên (Irregular): phản ánh những vận động của chuỗi thời gian mà ta không định nghĩa được chiều hướng của nó. Những dao động này thường gây ra bởi các yếu tố bên ngoài ảnh hưởng đến hành vi của chuỗi mà ta không thể dự đoán được.
Dữ liệu chuỗi thời gian có thể bao gồm một hay nhiều thành phần nêu trên. Việc nhận dạng những thành phần này giúp lựa chọn phương pháp dự báo thích hợp.
b. Quá trình ngẫu nhiên(Stochastic process)
Trong dự báo chuỗi thời gian, các mô hình chuỗi thời gian được xây dựng dựa trên giả thiết quan trọng là các chuỗi thời gian đều được tạo ra bởi quá trình ngẫu nhiên.
* Định nghĩa quá trình ngẫu nhiên:
Các dãy quan sát có thể có của Y cùng quy luật sinh ra chúng được gọi là quá trình {Yt}. Khi không tồn tại thành phần ngẫu nhiên trong chuỗi thời gian, {Yt} được gọi là quá trình tất định. Khi chuỗi tồn tại thành phần ngẫu nhiên, {Yt} được mô tả bởi một quy luật phân phối xác suất, quá trình {Yt} được gọi là quá trình ngẫu nhiên.
* Một số quá trình ngẫu nhiên giản đơn:
- Nhiễu trắng (White noise):
Nhiễu trắng là một quá trình ngẫu nhiên có trung bình bằng 0, phương sai đồng nhất và không tương quan.
Nếu một mô hình hồi quy tuyến tính cổ điển thỏa mãn tất cả giả thiết của nú thỡ phần dư của hồi quy tuõn theo nhiễu trắng. Tức là {et, tẻZ} là nhiễu trắng khi:
(1.4)
Khi một biến số được xác định là nhiễu trắng thì ta không thể xây dựng mô hình dự báo.
- Bước ngẫu nhiên (Random walk):
Nếu {Yt} tuân theo bước ngẫu nhiên thì sự thay đổi của Yt được rút ra một cách độc lập từ một phân phối có trung bình bằng 0, tức là ta không thể dự báo được. {Yt } được cho bởi phương trình (1.5) sau:
ồ
=
- + = +
= t
i i
t t
t Y Y
Y
1 0
1 e e (1.5)
ùợ ùớ ì
=
=
=
- ) 0
, (
) (
0 ) (
2
k t t t t
Cov Var
E
e e
s e e
ð
ùù ợ ùùớ ì
¥
® ị
¥
®
= +
=
=
ồ=
) (
) (
) (
) (
2 1
0 0
t t
i i
t t
Y Var t
t Y
Var Y
Var Y Y E
s
e (1.6)
Giá trị trung bình của bước ngẫu nhiên là một giá trị không đổi theo thời gian. Nhưng, theo thời gian, phương sai của bước ngẫu nhiên tăng dần.
- Bước ngẫu nhiên với bước nhảy (Random walk with drift):
Biến số hoàn toàn tuân theo bước ngẫu nhiên thuần túy ít gặp trong thực tế, tình huống chúng ta gặp thường xuyên hơn là biến số có tính xu hướng thể hiện qua phương trình (1.7):
t t
t Y
Y =m+ -1+e (1.7) Với m là mức tăng trưởng kì vọng của 1 thời đoạn (m là hằng số).
{Yt} được biểu diễn theo phương trình (1.7) tuân theo bước ngẫu nhiên với bước nhảy. Bước ngẫu nhiên với bước nhảy có giá trị trung bình và phương sai đều tăng theo thời gian.
c. Định nghĩa chuỗi thời gian dừng
Như đã đề cập, trong dự báo chuỗi thời gian, chúng ta giả định rằng xu hướng vận động của dữ liệu trong quá khứ và hiện tại được duy trì cho các giai đoạn tương lai. Như vậy, chúng ta không thể dự báo được cho tương lai nếu bản thân dữ liệu luôn thay đổi. Do vậy, điều kiện cơ bản nhất cho việc dự báo chuỗi thời gian là chuỗi thời gian phải có tính dừng, tức là nó tuân theo một quá trình ngẫu nhiên dừng.
Quá trình ngẫu nhiên {Yt} được xem là dừng mạnh (dừng theo nghĩa hẹp) nếu {Yt} có quy luật phân phối xác suất độc lập với thời gian, tức là trung bình và phương sai của quá trình không thay đổi theo thời gian và hiệp phương sai giữa hai thời đoạn chỉ phụ thuộc vào khoảng cách độ trễ về thời gian giữa các thời đoạn này chứ không phụ thuộc vào thời điểm thực tế mà
hiệp phương sai được tính.
Quá trình được gọi là dừng yếu (dừng theo nghĩa rộng) khi thỏa mãn điều kiện (1.8) dưới đây:
Chuỗi thời gian không thỏa mãn cả 3 điều kiện ở (1.8) là chuỗi không dừng. Theo định nghĩa về quá trình dừng, ta thấy nhiễu trắng là chuỗi dừng, bước ngẫu nhiên không có tính dừng.