Chương 1. BÀI TOÁN ĐỀ XUẤT VÀ KIẾN THỨC TỔNG QUAN
1.3.2. Phân loại trạng thái xích Markov
Lấy iIvà đặt d i( )là ước chung lớn nhất của tập các số nguyên n sao cho
( )n 0.
ii
Định nghĩa 1.3.4. Nếu d i( ) 1 , trạng thái i được gọi là tuần hoàn chu kỳ d i( ). Nếu ( ) 1,
d i thì trạng thái i không tuần hoàn.
Dễ thấy, nếu ii0thì i là không tuần hoàn. Tuy nhiên, điều ngược lại chưa chắc đúng.
Chú ý 1.3.1. Nếu Γ là chính quy thì tất cả các trạng thái đều không tuần hoàn.
Định nghĩa 1.3.5. Một xích Markov mà tất cả các trạng thái của nó không tuần hoàn được gọi là xích Markov không tuần hoàn.
Từ đây, ta chỉ nghiên cứu loại xích Markov này.
Định nghĩa 1.3.6. Một trạng thái i được gọi là vươn tới trạng thái j (viết là i j) nếu tồn tại số nguyên dương n sao cho
n 0.
ij i jC nghĩa là i không vươn tới được j.
Định nghĩa 1.3.7. Trạng thái i và jđược gọi là liên thông nếu i jvà j i, hoặc nếu .
i j Ta viết i j.
Định nghĩa 1.3.8. Trạng thái i được gọi là cốt yếu nếu nó liên thông với mọi trạng thái mà nó vươn tới; trường hợp ngược lại gọi là không cốt yếu.
Quan hệ xác định một quan hệ tương đương trên không gian trạng thái I dẫn tới một sự chia lớp trên I. Lớp tương đương chứa i được ký hiệu bởi Cl i( ).
Định nghĩa 1.3.9. Xích Markov được gọi là không khai triển được nếu chỉ tồn tại duy nhất một lớp tương đương trên nó.
Dễ thấy, nếu Γlà chính quy, xích Markov vừa là không khai triển được, vừa không tuần hoàn. Xích Markov vừa không khai triển được (tức là chỉ có 1 lớp tương đương), vừa không tuần hoàn được gọi là xích Markov ergodic.
Dễ dàng chỉ ra rằng, nếu trạng thái ilà cốt yếu (không cốt yếu) thì tất cả các phần tử của lớp C i( )cũng cốt yếu (không cốt yếu) (xem Chung (1960)) [21].
Ta có thể gọi là lớp cốt yếu hoặc lớp không cốt yếu.
Định nghĩa 1.3.10. Tập con E của không gian trạng thái I được gọi là đóng nếu:
ij 1,
j E
với mọi iE.
Có thể chỉ ra rằng mọi lớp cốt yếu là đóng nhỏ nhất. Xem Chung (1960) [21].
Định nghĩa 1.3.11. Trạng thái iIcủa xích Markov (Ct) được gọi là hồi quy nếu tồn trại trạng thái jIvà n sao cho nji 0. Ngược lại, i được gọi là trạng thái chuyển tiếp (dịch chuyển).
Mệnh đề 1.3.1. (Định lý khai triển) [21]: Không gian trạng thái I của mọi xích Markov đều có thể phân chia thành r r( 1) tập con C C1, 2,...,Cr, tạo thành một sự chia lớp, sao cho mỗi tập con Cilà một và chỉ một trong các loại:
(i) một tập đóng cốt yếu hồi quy dương.
(ii) một tập không đóng, dịch chuyển không cốt yếu.
Chú ý 1.3.2.
(1) Nếu một lớp không cốt yếu giảm tới tập đơn { }i , thì có 2 khả năng:
a) Tồn tại một số nguyên dương N sao cho:
0 piiN 1.
b) Số N trong a) không tồn tại. Trong trường hợp này, trạng thái i được gọi là trạng thái không trở lại.
(2) Nếu tập đơn { }i lập thành một lớp cốt yếu, thì
ii 1 p và trạng thái iđược gọi là trạng thái hấp dẫn.
(3) Nếu m , có thể có 2 loại lớp khác nhau trong định đính phân ly:
a) đóng cốt yếu chuyển tiếp,
b) các lớp không đóng cốt yếu hồi quy.
Các tài liệu trên xích Markov đưa ra điều kiện cần và đủ cho sự hồi quy và sự chuyển tiếp [21].
Mệnh đề 1.3.2. [21]
(i) Trạng thái i là chuyển tiếp nếu và chỉ nếu
( ) 1
n .
ii n
Trong trường hợp này, với mọi kI:
( ) 1
n ,
ki n
và đặc biệt:
lim ki( )n 0, .
n k I
(ii) Trạng thái i là hồi quy nếu và chỉ nếu
( ) 1
n .
ii n
Trong trường hợp này:
( ) 1
n ,
ki n
k i
và
( ) 1
n 0.
ki n
k i
C
Các mô hình sử dụng xích Markov ở Chương 2 và Chương 3 được giả sử rằng các trạng thái là chuyển tiếp, có nghĩa là nó không dừng lại ở trạng thái nào nhằm đảm bảo với quy luật tiến triển của chuỗi thời gian trong thực tế. Trong thực tế, một trạng thái kinh tế bất kỳ không thể duy trì mãi mãi ở trạng thái đó. Trong trường hợp ước lượng ma trận xác suất chuyển từ tập huấn luyện có thể tồn tại một trạng thái không chuyển tiếp đến bất kỳ trạng thái khác (do tập huấn luyện là hữu hạn), ta cần hiệu chỉnh
xác xuất chuyển cho trạng thái đó bằng cách cố định cho nó một phân phối xác suất nhất định hoặc giảm số lượng tập huấn luyện đến khi nó không bị hấp thụ nữa.