ha p p a( )
trong đó, ha là độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A, BC = a, 2p = a + b + c.
Bài 2: Đường tròn tâm I nội tiếp trong một tam giác không cân ABC, tiếp xúc với BC, CA, AB tương ứng tại A1, B1, C1. gọi A2 là điểm đối xứng với A1 qua AI, B2 là điểm đối xứng với B1 qua BI, C2 là điểm đối xứng với C1 qua CI.
Chứng minh rằng ∆A2B2C2 có các cạnh song song với các cạnh của ∆ABC.
Bài 3: Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Đường phân giác trong của
BAC cắt đường tròn (O) tại D. Chứng minh rằng: 2AD > AB + AC.
Bài 4: Cho hai điểm A, B và đường thẳng d. Hãy dựng tam giác có hai đỉnh là hai điểm đã cho và d là đường phân giác của góc thuộc đỉnh thứ ba.
Bài 5: Cho hai điểm phân biệt M, N và đường thẳng d. Hãy dựng tam giác ABC mà M, N là trung điểm hai cạnh AB, AC của tam giác và d là phân giác của góc thuộc đỉnh C.
Bài 6: Dựng tam giác ABC, biết các điểm M, N, P là ảnh của trực tâm H của tam giác trong các phép đối xứng qua các cạnh của tam giác đó.
Bài 7: Cho tam giác ABC và một đường thẳng d. Hãy tìm trên đường thẳng d điểm M sao cho:
a, │MA
+ MB
│ + 2│MC
│ nhỏ nhất.
b, │2MA
+ 3MB
│ + │4MC
+ MA
│ nhỏ nhất.
Bài 8: Cho tam giác nhọn ABC. Gọi A' là chân đường cao của tam giác kẻ từ đỉnh A. Hãy tìm trên cạnh AB, AC các điểm C' và B' tương ứng sao cho chu vi tam giác A'B'C' nhỏ nhất.
Bài 9: Cho hai điểm cố định A và B. Với mỗi đường thẳng x đi qua B, ta dựng điểm A' đối xứng với A qua x. Tìm tập các điểm A' khi x quay quanh điểm B.
B C A
d
B' C'
h
B C
A
I
C1
B1
A2
B2
A1
Bài 10: Cho Elíp (E) có các tiêu điểm là F1 và F2. Xét đường thẳng d có một điểm chung duy nhất M với Elíp và F' là điểm đối xứng với F2 qua d. Tìm tập hợp điểm F' khi d thay đổi.
Hướng dẫn giải các bài tập:
Bài 1: Hướng dẫn
Qua A kẻ đường thẳng d // BC và gọi B', C' lần lượt là điểm đối xứng với B, C qua d. Ta có:
AB + AB' + AC + AC'
BC' + CB' = 2BC'
b + c
2 2
4ha a
(b+c)2 – a2 4ha2
4p(p – a) 4ha2. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ∆ABC cân tại A.
Bài 2: Hướng dẫn
Ta thấy rằng A2 đối xứng với A1 và B1 đối xứng với C1 qua AI nên C1A2 = A1B1
Tương tự A1 đối xứng với C1 và B1 đối xứng với B2 qua BI nên C1B2 = A1B1
Ngoài ra ta có:
IA1=IA2=IB2=IC1
Điều đó chứng tỏ các điểm A2, B2 nằm trên đường tròn (I)
Tam giác C1A2B2 cân tại C1 nội tiếp đường tròn (I) nên A2B2 song song với tiếp tuyến của đường tròn (I) tại C . Tức là A B // AB. Tương tự ta có :
C
d A' B
A
A
A'
B
C
Bài 3: Hướng dẫn
Lấy D' là điểm đối xứng với D qua đường trung trực của AB. Khi đó AD = BD' và AC = DD'. Bất đẳng thức cần chứng minh sẽ trở thành :
AD + BD' > AB + DD' Bài 4: Hướng dẫn
Phân tích: Ta xét A, B nằm về hai phía đối với d.
Gọi A' là ảnh của A trong phép đối xứng qua đường thẳng d thì A' thuộc BC. C là điểm chung của d và đường thẳng A'B.
Trường hợp A, B cùng phía với d, ta lập luận tương tự và có kết quả như hình vẽ.
Biện luận: Bài toán chỉ có nghiệm khi A'B cắt d hoặc A' và B trùng nhau (trường hợp A và B khác phía với d).
Bài 5: Hướng dẫn Phân tích:
Giả sử ta đã có ∆ABC cần dựng.
Nếu ABC là tam giác đã có tính chất đã cho thì ta có MN // AC
Gọi D là giao điểm của MN với d, khi đó tam giác CND là tam giác cân tại đỉnh N.
Ta ký hiệu x là đường trung trực của CD, x đi qua N và x chính là trục đối xứng của hai điểm C, D.
x D
C N A B
M
A
K d
Biện luận:
Bài toán chỉ có nghiệm khi MN không song song với d và M, N không nằm trên đường thẳng d.
Bài 6: Hướng dẫn Phân tích:
Giả sử ta đã dựng được ∆ABC theo yêu cầu đề bài.
Nếu tam giác ABC có tính chất đã cho trong bài toán thì các điểm M, N, P nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và H là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác MNP hoặc là đường tròn bàng tiếp của tam giác đó.
Bài 7: Hướng dẫn
a, Ta sẽ đưa bài toán về dạng quen thuộc :
Gọi K là trung điểm của AB. Theo tính chất trung điểm, ta có:
MA
+ MB
= 2MK
Khi đó bài toán được đưa về tìm điểm M trên d sao cho MK + MC nhỏ nhất.
B C A
H K
M d
b, Ta cũng quy bài toán này về bài toán quen thuộc:
Trên đường thẳng AB, Ta lấy điểm H sao cho:
2HA
+ 3HB
= 0
Trên đường thẳng AC, Ta lấy điểm K sao cho:
4HC
+ HA
= 0
Bài toán được đưa về tìm điểm M trên d sao cho MK + MH nhỏ nhất.
Bài 8: Hướng dẫn
Lấy đối xứng A' qua AB và AC, ta được ảnh là các điểm A1 và A2. Các điểm C' và B' cần tìm là giao điểm của A1A2 với AB và AC.
Ta chứng minh được rằng các điểm C', B' chính là chân đường cao tam giác ABC kẻ từ các đỉnh C và B.
Vì ∆ABC nhọn nên các điểm cần dựng sẽ tồn tại.
Bài 9: Hướng dẫn
Vì A' đối xứng với A qua x nên ta có BA = BA'.
Mặt khác B là điểm cố định nên A' thuộc đường tròn tâm B với bán kính R = BA.
Đảo lại, nếu A' là một điểm bất kỳ trên đường tròn này và khác A thì đường trung trực của đoạn AA' là đường thẳng x.
Khi A' ≡ A thì x chính là đường thẳng AB
Tóm lại, tập hợp các điểm A' là đường tròn tâm B với bán kính BA.
Bài 10: Hướng dẫn
Ta kí hiệu 2a là độ dài trục lớn của Elíp (E) MF1 + MF2 = 2a
Vì F' đối xứng với F2 qua d, khi đó ta có: MF1 + MF' = MF1 + MF2 = 2a.
Điều này chứng tỏ M nằm trên đường thẳng F1F' và tập hợp điểm F là đường tròn tâm là F1, bán kính bằng 2a.