CƠ SỞ LÝ THUYET
II. Chụp ảnh cắt lớp phân tử với sự phân bố định phương phân
1. Nguyên tắc chụp ảnh cắt lớp phân tử
Như đã trình bày ở trên, quá trình chụp ảnh cắt lớp cho phân tử bao gồm ba giai đoạn:
+ Định phương phân tử bằng laser định phương.
+ Cho laser xung cực ngắn tương tác với phân tử dé thu tín hiệu sóng
hài phát ra. Phương pháp: sử dụng mô hình ba bước Lewenstein được lập trình trong sorce code Fortran.
+ Sử dụng tín hiệu sóng hải HHG phát ra để tái tạo lại hình ảnh HOMO của phân tử. Phương pháp: biển đôi Fourier ngược thông qua
source code Fortran.
Trong các công trình [5], [6], [12], các tác giả đã thực hiện mô phỏng
chụp anh phân tử với giả định rằng trục của các phân tử hoàn toàn nằm
song song với vector điện của laser định phương. Sự định phương như vậy
gọi là sự định phương tuyệt đôi. Do đó, khi cho laser xung cực ngắn tương
tác với phân tử, tín hiệu HHG thu được từ mỗi phân tử là như nhau nên chỉ
can khảo sát đơn lẻ một phân tử duy nhất thay vì một tập hợp phân tử.
Nguyên tắc của việc chụp cắt lớp như sau: dưới tác dụng của điện trường laser, điện tử sẽ xuyên ham ra khỏi phân tử và được gia tốc dé khi tái kết hợp với ion mẹ điện tử phát xạ ra HHG. Tín hiệu HHG này được đặc trưng bởi góc định phương 0 và tan số œ xác định. Trong những chu kì sau của xung laser, điện tử tiếp tục lặp lại những quá trình tương tự như vậy. Ta thấy rằng vai trò của điện tử và hạt nhân lúc bấy giờ hoàn toàn tương tự như một mômen lưỡng cực điện. Nếu Gọi ự(Œ.8) là hàm sóng của điện tử khi
còn ở HOMO của hạt nhân và e*Ÿ là hàm sóng phẳng de Broglie của điện
tử khi thoát khỏi hạt nhân mẹ đề trở thành điện tử tự do, thì mémen lưỡng cực điện trên còn được gọi là lưỡng cực địch chuyền từ trạng thái Œ 0)
° Góc định phương 0 là góc hợp hởi vector điện của laser xung cực ngắn với trục phân tử đồng thoi cũng ld vector điện của laser định phương, vi trong trưởng định phương tuyết đối. trục phân tử với
vector điện của laser định phương lủ trùng nhau.
đến trạng thái eTM ( gọi tắt là lưỡng cực địch chuyển ). Do có chứa trạng thái
w(7,0) nên lưỡng cực dịch chuyển mang toàn bộ thông tin của điện tử khi còn ở HOMO của phân tử. Mặt khác khi điện từ tái kết hợp với hạt nhân mẹ
và phát xạ sóng hài, ta có thé coi như chính lưỡng cực dịch chuyên này đã
phát xạ ra HHG, như vậy trong sóng hài thu được có chứa thông tin của
lưỡng cực dịch chuyền.
Như vậy, khi chúng ta có được dit liệu vẻ sóng hài, chúng ta trích xuất được thông tin về lưỡng cực dịch chuyên. Từ lưỡng cực dịch chuyền.
ta lại tái tạo được hàm sóng (f0) mang thông tin của điện tử khi còn ở
trong HOMO chưa thoát ra khỏi phan tử.
2. Lý thuyết chụp cắt lớp phân tử với sự định phương tuyệt đối Khi chúng ta đã có được dữ liệu về sóng hai, chúng ta sẽ tiền hành tái
tạo lại hình ảnh HOMO của phân tử. Trong luận văn này, chúng tôi sẽ tái
tạo hình ảnh HOMO từ dữ liệu HHG bằng phương pháp của các tác giả
trong công trình [3], [5], [12].
Tái tạo hình ảnh HOMO của phân tw từ dữ liệu HHG là một bài toán
ngược, cơ sở toán học chủ yếu của phương pháp nay chính là phép biến đổi ngược Fourier [12]. Cơ sở này lấy điểm xuất phát là mỗi quan hệ giữa cường độ HHG và lưỡng cực dich chuyên được nêu trong công trình [3] :
S$, (@,9) = N2(8)ứ*|a[E(o)]aĂ(@o.đ)[ẽ
= 2 (1) S, (@,0) = N?(0)e*|a[k() Jd, (o.0)|
+ S¡(@,0) và S, (@,0) là cường độ HHG có vector điện song song và vuông
góc với vector điện của laser xung cực ngắn, được do trực tiếp từ dau dd
HHG. Trong luận văn này, S;(o,8) và S,(@,8) sẽ được tính toán từ mô
hình ba bước Lewenstein thông qua source code Fortran.
+ N(0) là tốc độ ion hoá được tinh bằng phương pháp gan đúng trường
mạnh MO-SFA (Molecular Orbital Strong Field Aprroximation) [12].
= a[k(o)] là biên độ sóng phăng được tính toán trong mô hình ba bước
Lewenstein thông qua source code Fortran. Trong đó, k là vector sóng
k= | với I, là năng lượng ion hoá của phân tử.
+ dj (@.0) và d, (w,0) là các lưỡng cực dich chuyén ứng với cường độ sóng
hài Sy(@.8) và S, (œ,®).
Với dữ liệu HHG tính toán được. dựa vào biêu thức (1). chúng ta có thé trích xuất được thông tin về lưởng cực dịch chuyển. Lưỡng cực dịch chuyên được định nghĩa bởi [3], [9]:
Ao.) = (yŒ0)||e*] = | wire ar. Q)
%=
Trong toa độ Descarste, hàm sóng tJ(Œ,8) phụ thuộc vào ba biến không gian (x,y,z). Tuy nhiên, vì phân tử được định phương trong mặt phăng
vuông góc với phương chiếu laser ( phương z ) nên ta chỉ quan tâm đến
hàm sóng trong mặt phang (x,y) [12]. Áp dụng phép biến đôi Fourier ngược, ta có biêu thức trích xuất hàm sóng tử lưỡng cực dịch chuyền [5],
[6]. [12] (phụ lục 1):
2n +n
2nxw(x,y)= | d9 [| doc #fest9ts9[<os8đ,(e,8)+sin6d, (o,8)]
Qa 0
2x ++ ,
2zyw(x,y)= J do dave!k0s"+¥5 [cos Ody (@,0)-sinOd, (o,0)]
0 it)
(3)
Như vậy, từ biéu thức (3), chúng ta đã trích xuất được hàm sóng
\/(x,y) mang thông tin HOMO của phân tử. Với phương pháp chụp ảnh cắt
lớp vừa trình bày trên, các tac gia trong công trình [5], [6]. [12] đã tiền hành trích xuất hàm sóng w(x,y) và tái tạo lại thành công hình ảnh HOMO của
phân tử nito.
Il. Chụp ảnh cắt lớp phân tử với sự phân bố định phương phân tử không tuyệt đối
Sự định phương tuyệt đối chỉ là một trường hợp lý tưởng. trong thực tế các phân tử không hoàn toàn nằm song song với các vector phân cực điện của laser định phương mà chúng sẽ phân bố trong không gian theo một hàm phan bé định phương phân tử (HPB). Sy định phương như vậy được gọi là sự định phương không tuyệt đối. Lúc này ta không thê khảo sát đơn lẻ một
phân tử vì tín hiệu HHG phát ra từ các phân tử có sự định phương khác nhau là khác nhau.
1. Nguyên tắc chụp ảnh cắt lớp với sự định phương không tuyệt đối Trong luận văn nảy, phương pháp chụp ảnh cắt lớp phân tử với sự định phương không tuyệt đối hoàn toàn dựa trên nguyên tắc của phương pháp chụp ảnh cắt lớp với sự định phương tuyệt đối. Toàn bộ quá trình cũng
bao gồm 3 giai đoạn:
+ Định phương phân tử bằng laser định phương. Phương pháp: sử dụng hàm phân bỗ định phương phân tử trong công trình [7].
+ Cho laser xung cực ngắn cường độ cao tương tác với phân tử dé thu
tín hiệu sóng hài phát ra. Phương pháp: sử dụng mô hình ba bước Lewenstein được lập trình trong sorce code Fortran.
+ Sử dụng tín hiệu sóng hải HHG phát ra dé tái tạo lại hình ảnh
HOMO của phân tử. Phương pháp: bien đôi Fourier ngược thông qua source code Fortran.
Về nguyên tắc, chúng tôi cũng thực hiện chụp ảnh cắt lớp cho một phân tử nitơ duy nhất trong trường hợp định phương tuyệt đối. Tuy nhiên.
chúng tôi đã sẽ bỗ sung HPB vào trong quá trình tính toán cường độ sóng hài. Sóng hài thu được lúc này có chứa yếu tố định phương của từng phân tử nên sẽ khác biệt so với sóng hài trong trường hợp định phương tuyệt đối.
Đề phân biệt. chúng tôi gọi sóng hài trong trường hợp này là sóng hài tông hợp vì nó là tổng hợp của từng sóng hài thành phan do các phân tử phát ra.
2. Mô hình quay tử
Dé có thé khảo sát một cách tông quát cho trường hợp định phương không tuyệt đối, chúng tôi dựa vào mô hình quay tử, coi phân tử như là một quay tử. Ở đây chúng tôi khảo sát phân tử nitơ nên quay tử gồm một đoạn thăng R, có tâm quay tại trung điểm O, hai đầu của đoạn thăng này là hai
nguyên tử nito (hình 2).
Với vector E”, E lần lượt là vector điện của laser định phương vả laser xung
cực ngắn. EVE hợp với nhau một góc @. 8” là góc hợp bởi trục phân tử với các vector E”, còn gọi là góc định phương. 9 là góc hợp bởi trục phan tử với
—
các vector E, còn gọi là góc tương tác. [7]
Trong không gian, các phân tử sẽ tập trung phân bo thành các hình
nón với các góc định phương! 8'khác nhau. Nếu không có tác dụng của laser định phương, các phân tử sẽ phân bố tuỳ ý trên các mặt nón, nghĩa là xác suất dé phân tử phân bố trên các mặt nón cỏn góc định phương khác nhau là bằng nhau. Laser định phương sẽ có tác dụng làm cho: xác suất dé phân tử phân bố trên mặt nón có {cos | gần bằng 1 sẽ lớn hơn so với những mặt nón có |cos | gan bằng 0 (zero)’.
* Giá trị của một nửa góc phang ở định hình nón là gúc định phương 8" - -
* Nếu |cosỉ!| gắn bằng 1, gúc định phương rất gin 0” hoặc 180°, trục phõn tử gắn như nằm trựng
với vector điện của laser định phương, phan từ chịu tác dụng của laser định phương va ngược lại
3. Ham phân bố định phương phân tử
Dé mô tả một cách cụ thể xác suất phân bé của từng phân tử trên các mặt nón có góc định phương khác nhau, chúng ta dựa vào hàm phân bố định phương phân tử (HPB). HPB là một hàm số phụ thuộc vào biến số là
góc định phương 9’. HPB cho biết xác suất dé một phân tử bị định phương
trên mặt nón có góc định phương là 9".
Hàm phân bố định phương phân tử phải mô tá được mức độ hiệu quả của việc định phương phân tử. Điều nay có ý nghĩa là các phân tử bị định
phương sao cho mức độ song song của trục phân từ với vector điện của
laser định phương càng cao thì xác suất xảy ra là càng lớn và ngược lại. Nói cách khác, HPB phải là hàm tăng theo cos? '. Trong công trình [7], các tác
giá đã dé nghị biểu thức của HPB như sau:
ma: | re 'e [0.7]
x “.à a B21 - lv
Trong đó f( ') là HPB cho biết xác suất dé một phân tử có góc định phương là Ô', 6 là một tham số ảnh hưởng đến hiệu quả định phương của HPB. Sự ảnh hưởng của của tham số B được mô tả trên hình 9.
Hình 9. Sự phụ thuộc vào góc 3’ của HPB (với các hệ so 8 khác nhau).
Trong hình 9, chúng ta thay rang với giá trị của ƒ lớn ( B = 5 ) thì xác suất định phương là như nhau với mọi góc Ô', các phân tử phân bố trong không gian một cách gần ngẫu nhiên. laser định phương hoàn toàn không có tác
dụng. Khi hệ số B nhỏ (B = 1.08, 1.0001) thì các phân tử ưu tiên định
phương ở các vị trí gần song song với vector điện E' của laser định phương.
Khi ƒ tiễn đến 1 thì toàn bộ các phân tử đều bị định phương song song với E\, ta có lại trường hợp định phương tuyệt đối. Từ đó, có thẻ thay rằng giá
trị của tham số f là rất quan trọng, nó quy định hiệu quả định phương phân tử của laser định phương. Khi hệ số càng lớn so với 1 thì hiệu quả định phương cảng thấp và khi hệ số B càng gần giá trị | (B >1) thì hiệu quả định
phương càng cao.
Trong luận văn nay, chúng tôi sử dụng HPB trong công trình [7] dé
mô tả sự định phương của tập hợp phân tử nito trong không gian dưới tác
dụng của laser định phương. Sau đó, chúng tôi chiếu laser xung cực ngắn
cường độ cao cho tương tác với tập hợp phần tử nitơ đề phát xạ sóng hài.
4. Sự tương tác giữa laser xung cực ngắn và tập hợp phân tử
Xét một phân tử dưới tác dụng của laser định phương. phân bố trên
mặt nón nhận vector điện E’ của laser định phương làm trục đổi xứng với
gúc định phương là '. Gọi ỉ là gúc hợp bởi vector điện E của laser xung cực ngắn với vector EÌ và _ là góc tương tác giữa trục phân tử với E.
Ap dụng HPB trong biéu thức (4) ta có xác suất của phân tử này là f( '). Áp dụng lý thuyết phát xạ sóng hài, ta có sóng hài phát ra do sự tương tác giữa laser xung cực ngắn và phân tử là: S(@, }. Ta có thé nói xác suất dé một phân tử phát ra sóng hài S(@, ) là f( `').
Đề đơn giản, trong công trình [7]. các tác giả đã thực hiện đôi biến số
của HPB từ f(89”) thành F(8). Nghĩa là thay vì xét sự định phương của phân
tử trên mặt nón nhận E’ làm trục đối xứng với góc định phương `, thì chúng ta xét sự định phương của phân tử trên mặt nón nhận Elàm trục đối
xứng với góc tương tác là (hình 10).
Hình 10. Mặt nón biểu điển tập hợp các phân từ có góc tương tác là 8.
Trong hình 10, E' và Ela các vector điện của laser định phương vả laser
xung cực ngắn, hợp với nhau bởi góc 0. Chúng tôi phân tích E thành hai
thành phản là E, va E; sao cho thành phần E, vuông góc với E và thành
phần E, song song với E. Góc @ là góc hợp bởi E, với hình chiếu của trục phân tử lên mặt phăng đi qua E, và vuông góc với E. Với việc phân tích
như thế, xỏc suất để phõn tử bị định phương theo Eẽ chớnh là xỏc suất dộ
phân tử bị định phương vừa theo E, và vừa theo E, Theo công thức nhân
xác suất, HPB theo E là tích của HPB f,(_ ;) theo E, và f„(_ |) theo E, với
„và _„ lần lượt là góc hợp bởi giữa trục phân tử và các thành phan E,
f( )=f,( ECằ) (5)
HPB f„( ,) và ÿ(_ „) có dạng phân bố như là f(_ `):
B, L ý
= —_—r
= =v2
f,( y) Ay 2zIn(J +1) B?- cos? y * k' :——— V
pyI Với B, = sin Ô 6)
? +z2j) ” Z95 + 2 :
= 1) p> -cos? „ B, cos 8=
Trong đó A, và A, là các hệ số chuẩn hoá cho hàm phan bó. B, là tham số mô tả hiệu quả định phương của laser E, va, là tham số mô tả
_—
hiệu quả định phương của laser E, (xem phụ lục 2).
Mặt khác, 9; chính là góc tương tác . Còn 5 liên hệ với góc theo hệ
thức lượng giác cầu trong tam giác cầu ABC vuông tại B:
cos '=sin .cos@. Kết hợp biểu thức (5) và (6), ta có:
E 1 sinÐ p cos 0 p (7)
f- sind f-cosÐ
Biểu thức (7) cho ta xác suất để một phân tử bị định phương tại vị trí đặc
trưng bởi góc @ vả góc tương tác trong trường hợp vector điện E hợp với vector điện E một góc là 0. Do đó ta kí hiệu hàm phân bố trong biểu thức
(7) là F(ọ. ,8). Theo đó, ta cũng có: FC ,8)= i" F(@, .8)dọ chính là xác
suất dé một phân tử phân bố trên mặt nón có góc tương tác là 9 với góc
giữa E và E' vẫn là 0 (xem phụ lục 3).
Điểm thuận lợi của việc đôi biến là các phân tử phân bồ trên cùng một mặt nón khi tương tác với laser xung cực ngắn sẽ phát ra cùng một tín hiệu HHG là như nhau S(œ. ). Công việc tiếp theo của chúng tôi là áp dụng
HPB này vào việc tính toán dữ liệu HHG phát ra cho một tập hợp các phân
tử và sử dung dir liệu HHG này để tái tạo lại hình ảnh HOMO của phân tử.
5. Tính toán dir liệu sóng hài
Trong source code Fortran lập trình tính toán cho mô hình ba bước
Lewenstein về sự phát xạ sóng hài, các tác giả trong công trình [5], [6] đã
tính toán đữ liệu sóng hài thông qua một đại lượng gọi là gia tốc lưỡng cực
~ kí hiệu là d(t.0). Theo đó, cường độ sóng hài S(o.0) sẽ được tính bằng phép biến đôi Fourier của gia tốc lưỡng cực theo biểu thức:
max 2
d(t,0)e"TM dt
q
S(œ,8) =o! (8)
Trong luận văn này. chúng tôi sẽ sử dụng HPB đề bô sung vào đại lượng
gia toc lưỡng cực, sau đó sử dụng biêu thức (8) đê tính toán cường độ sóng
hài. Cần lưu ý rằng biểu thức (8) được sử dụng cho trường hợp định phương
tuyệt đối, tức là góc @ vừa là góc hợp bởi vector E với trục phân tử cũng vừa là góc hợp bởi vector E và vector E'. Trong trường hợp định phương không tuyệt đối, 6 chỉ là góc hợp bới vector E và vector E’, còn góc 9 mới chính là góc hợp bởi vector E với trục phân tử ( hình 11 ). Như vậy, gia tốc
lưỡng cực lúc này sẽ được kí hiệu là dịt,.0).
Dinh phương không tuyệt đối Dịnh phương tuyệt đối
Hình 11. Phân tử nite trong trường hợp định phương tuyệt đối và không tuyệt đối. Trong trường hợp sự định phương tuyệt đối. góc Ð và tring
nhau nên gia tốc lưỡng cực chỉ phụ thuộc vào góc 0: dit,0). Trong trường
hợp định phương không tuyệt đổi, góc @ và 9 phân biệt nhau nên gia tốc
lưỡng cực chỉ phụ thuộc vào góc 9 và Ở: d(t,3,0).
Xét một tập hợp phân tử định phương theo quy luật của HPB F( ,8) ở
trên. Mỗi phân tử khi tương tác với laser xung cực ngắn sẽ được đặc trưng bởi một gia tốc lưỡng cực là d(t,9,6). Tại một thời điểm t xác định ứng với góc 6 xác định, gia tốc lưỡng cực chi còn phụ thuộc vào góc tương tác .
Do đó, các phan tử trên cùng một mặt nón có góc tương tác 9 sẽ được đặc
trưng như nhau bởi một gia tốc lưỡng cực là d(t.Ê,8). Vì HPB F(Ê .8) mang ý nghĩa xác suất, thực hiện phép tổng hợp gia tốc lưỡng cực, ta có: FOS ,0)d(t,9 ,0) chính là gia tốc lưỡng cực tông hợp của các phân tử phân bố trên cùng một mặt nón có góc tương tác là Ê, và) F( ,0)dí, ,8) là gia tốc lưỡng cực tông hợp của toàn bộ tập hợp phân ur phân bố trên tat cả các mặt nón có góc tương tác khác nhau. Thay vào biéu thức (8), ta có:
2
S(@,8) = 4 ằ, J FC ,8)d(, ,)e"*dt (9)
0
với S(œ,0) lúc này là cường độ sóng hài thu được từ một tập hợp phan tử
phân bố theo quy luật của HPB F(Ô ,0). Cường độ HHG S(@œ,0) lúc này sẽ được sử dụng trong biéu thức (1) dé tính toán lưỡng cực dịch chuyên và tạo
lại hình ảnh hàm sóng HOMO của phân tử theo tương tự như quá trình chụp
ảnh cất lớp cho trường hợp định phương tuyệt đối. Lưu ý, cường độ HHG S(,8) trong biểu thức (8) và (9) là kí hiệu chung được sử dụng cho cường
độ HHG song song S¡(œ.8) và cường độ HHG vuông góc S, (œ,8).
Kết quả tái tạo hình ảnh HOMO phân tử được chúng tôi trình bày
trong chương 3.