CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN
2. Đạo hàm của hàm số lôgarit
Ta có định lí sau đây.
ĐỊNH LÍ 3
Đặc biệt (Inv) = a
CHU Y
Đối với ham hợp y = log, w(x), ta có
(log, u)' = :a’
ulna
Ví du 6. Ham số y = log (2. + 1) có đạo hàm là
y' =(logs(2x + 1))' = Gert" zu 2
 (2x+l)n2 (2v+l)In2`
3
Tìm đạo hàm của hàm số y = In(v+V1+.7).
SGK trình bày định lý theo tiến trình suy điển của day học định lý và chọn cách thừa nhận
định lý thay vì chứng minh như ở phần hàm số mũ. Và thay vì viết thành hai định lý về đạo
hàm của Inx và log, x (như cách trình bảy của phần hàm số mũ) thì SGK chọn cách đưa dao hàm của Inx vào sau. Có lẽ tác giả muốn cho người học một cách nhìn khác: Thay cơ số œ bằng e ta được công thức đạo hàm của Inx thay vì đưa ra đạo hàm của In x ra trước
roi sử dụng các tính chat của légarit dé suy ra công thức đạo hàm của log, x .
SGK cũng đưa ra chú ý về đạo hàm hàm hợp của hàm sỐ lôgarit và ví dụ minh họa cho chú ý đó. Ngoài ra còn có một hoạt động tính đạo ham dé người học củng cô và vận dụng công thức đạo hàm vừa học cộng với chú ý dé giải quyết bài toán được đặt ra.
Sau định lý về đạo hàm của ham số lôgarit, SGK đưa ra việc khảo sát hàm số lôgarit.
3. Khảo sỏt hàm số lửgarit y = log„x (a >0, ứ# 1)
y = log„ x, a> y=log„x, 0<ứ< è
1. Tập xác định : (0; +). 1. Tập xác định : (0 ; +).
2. Sự biến thiên 2. Sự biến thiên
y'= >0, Vr>0. y'= <0, Vx>0.1 1 xIna xina
Giới hạn đặc biệt : Giới hạn đặc biệt :
lim log, x = —%, lim log, x = +,
x0 x0
lim log, x = +. lim log, ¥ = 0.
xr 73+ "tơ+œ
Tiệm cận : Tiệm cận :
Trục Oy là tiệm cận đứng. Trục Oy là tiệm cận đứng.
3. Bảng biến thiên 3. Bảng biến thiên
X x a 1 +00
y y - = y y Ị
4. Đồ thị (H.33) 4. Đó thị (H.34)
y
y = log,x
(a >Ì)
Hinh 33 Hinh 34 (<a<1)
Cách trình bày về khảo sát ham số lôgarit cũng tương tự như khảo sát hàm số mũ: trình bày thành một bang gồm hai cột dé người học có thé so sánh sự giống và khác nhau trong hai trường hợp. Sau đó, SGK cũng đưa ra một bảng tóm tắt với mục đích như mục đích của phần hàm số mũ.
Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số y = log„x (a > 0,a #1)
| a> 1: hàm số luôn đồng biến ;
Và cũng từ hai bang tóm tất về ham số mũ và ham số lôgarit, người học có thé so sánh hai phan kiến thức vẻ hai dang hàm số, nhờ đó hệ thong được các kiến thức trọng tâm.
Sau hai phần về hai dang hàm số trên, SGK đưa ra ví dụ về đô thị của một số hàm số mũ
và hàm số lôgarit.
Dưới đây là đó thị của các hàm số :
y= log; x, y= (+) (H.35) :x
Hinh 35 Hinh 36
lại Nêu nhận xét về mối liên hệ giữa đồ thi của các hàm số trên Hình 35 và Hình 36.4
Tuy nhiên, các đồ thị không phải được vẽ riêng ở từng hệ trục tọa độ, mà được vẻ chung theo từng đôi: | đỗ thị của hàm số mũ và | đô thị của hàm số lôgarit. Hơn nữa, các đỏ thị trong cùng một hình là của hai hàm số có cùng cơ số. Cộng thêm hoạt động 4, từ đây, có thê thay mục đích chính của việc đưa đồ thị này vào không phải là cung cấp thêm hình ảnh
về đồ thị của hàm số mũ và hàm số légarit, mà là giúp người học nhận thay được mối tương
quan về hình đáng đồ thị của hai dạng hàm số vừa được nêu trong bài, từ đó rút ra nhận xét:
NHẬN XÉT
Đồ thị của các hàm số y = đ` và y = log, x (a>0,a #1) đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x.
—> Nhận xét chung:
Bài học được chia thành hai mục lớn: “Hàm số mũ” và “Hàm số légarit”. Hai mục này đều được trình bày theo cùng một khuôn: định nghĩa —> định lý về đạo hàm —> khảo sát hàm số. Có thé đây là ý đồ của tác giả khi đưa “Hàm số mũ” và “Ham số légarit” vào cùng một
30
bài, việc này gợi cho người học một suy nghĩ về một mối liên quan nào đó giữa hàm số mũ và hàm số lôgariL, và từ đó suy nghĩ này được giải đáp bằng sự đối xứng của hai đồ thị của hàm số mũ và hàm số lôgarit có cùng cơ số được nêu lên ở cuối bài học.
Ngoài ra ở cuỗi bài, SGK còn đưa ra thêm một bảng công thức đạo hàm của ham số lũy
thừa, hàm s6 mũ và ham sô légarit:
Bang đạo hàm của các ham số luỹ thừa, mũ, logarit
(c“)' = e“w"
(a")' = a“.Ina,`
Bang công thức không han nằm trong nội dung của bài 4, nhưng nó được đưa ra với mục đích chính là hệ thông lại kiến thức vé đạo hàm của ba dạng hàm số được đề cập đến trong
chương II đồng thời bé sung kiến thức mới về đạo hàm vào bảng công thức đạo hàm đã
được học ở lớp 11.
1.3.3.3. Bài tập
Các bài tập của bai “Ham số mũ. Ham số légarit” trong SGK bao gồm 5 bài tập được chia
thành 3 dạng:
Dang bài tập Số lượng bài tập
Tìm tập xác định của hàm số 1 (Bài 3)
Bai tập
1. Vé đồ thị của các ham số :
ajy=4"* ; b) y=|-—]|.)) ) 3 i]1\
2. Tính dao ham của các ham số :
a)y==2xe"+3sin2v; b)y=5v —2Ÿcosx ; c)y=^ =Ly
3. Tìm tập xác định của các hàm số :
a) y = loga(Š - 2v); b) y= log3(x? — 2x);
c)y= log , (x? — 4x + 3); d) y = logo 4 = = : .
5 =ờ' -
4. Vẽ đỏ thị của các hàm số :
a)y = log; b) y = log, x.
2
5. Tinh dao hàm của các ham số :
a)y = 3x2 - Inv + 4sinx ;
b)y= log(x? +x+l);
loga x
c)y= = °
— Nhận xét chung:
- Các kiều nhiệm vụ được đưa ra thỏa mãn hầu như tất cả các yêu cầu cần đạt. Tuy
nhiên, không có kiểu nhiệm vụ thỏa mãn yêu cầu “Van dụng tính chat hàm số mũ vào việc so sánh hai số, hai biéu thức chứa mũ va légarit”. Cho nên, cần đưa thêm dang bài tập “So sánh hai số” vào SGK để hình thành nên kiểu nhiệm vụ mới thỏa mãn yêu cầu
này.
- _ Dù vậy, trong sách bài tập Giải tích 12 cơ bản có dé cập và đưa ra một số bài tập của dang bài tập “So sánh hai số” này. (Bài 2.18 trang 91, bài 2.20 trang 92, bài 2.29 trang 93
của sách bài tập Giải tích 12).
2.18. Hãy so sánh mối số sau với | :
a) (0.1)Ÿ? : b) (3,5)°" ;
c) x: d) (=) .r L2
2.20. Sử dung tính chất đồng biến, nghịch biến của hàm số mũ, hãy so sánh mỗi
cap số sau :
a) (1,7) và 1; b) (0,3)? val:
c) (3,2)'° va (3,2)"° ; d) (0,9) 3 và (0,9)? :
i2 1 1,4 ;
o(5) a (5) g) 6" va 6#!4,
2.29. Hãy so sánh x với 1, biết rằng :
a) logg x = -0,3 ; b) log, x =1,7 ; 3
€) logax = 1,3; đ) log; x = =1,1.
Vi vậy, nếu người GV biết sử dung kết hợp SGK va sách bài tap trong day học thi vẫn có thé đạt được tất ca các yêu cau đặt ra của bài hoc.
1.4. Nội dung “Hàm số mũ. Hàm số légarit” trong chương trình giáo dục phô thông
môn Toán năm 2018 1.4.1. Vị trí bài học
CT SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo phan Đại số và một số yeu tố Giải tích được chia làm 5 chương. bao gồm:
e _ Chương I: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác (Tập một).
e Chương II: Day số. Cấp số cộng. Cấp số nhân (Tập một).
e - Chương III: Giới hạn. Ham số liên tục (Tap một).
e Chương VỊ: Hàm số mũ và hàm số lôgarit (Tập hai).
e - Chương VII: Đạo hàm (Tập hai).
33
Bài “Ham số mũ. Hàm số légarit” là bài 3 trong chương VI của sách giáo khoa Toán 11 tập hai Chân trời sáng tạo. Trước khi học bải nảy, người học đã được trang bị kiến thức về lũy thừa, lôgarit và các tính chất của chúng.
1.4.2. Yêu cầu cần đạt
Trong CT GDPT môn Toán năm 2018. các kiến thức liên quan hàm số mii, ham số lôgarit được đưa vào chương trình lớp 11 với các yêu cầu cần đạt được đưa ra như sau:
e __ Nhận biết được hàm số mũ và hàm số lôgarit. Nêu được một số ví dy thực tế về hàm số mũ. hàm số lôgarit.
e - Nhận dạng được đồ thị của các hàm số mũ, hàm số lôgarit .
e — Giải thích được các tính chất của hàm số mũ, hàm số légarit thông qua đồ thị của
chúng.
° Giải quyết được một số vẫn đề có liên quan đến môn học khác hoặc có liên quan đến
thực tiền gắn với hàm sô mũ và hàm số lôgarit (ví dụ: lãi suất. sự tăng trưởng....).
1.4.3. Nhận xét
So sánh sơ lược mạch nội dung của CT hiện hành và CT 2018, ta thấy có nhiêu sự thay đôi.
- _ Đầu tiên, bài “Ham số mũ. Hàm số lôgarit" trong CTGDPT môn Toán 2018 được đưa
vào giảng dạy trước khi HS học về đạo hàm. Do đó, các kiến thức liên quan đến đạo hàm, tiệm cận, bảng biến thiên của đồ thị hàm số mũ và hàm số lôgarit không được đề cấp trong bài này mà thay vào đó là yêu cầu vẻ nhận dạng được đồ thị của hàm số mũ và hàm số
légarit.
- _ Bên cạnh đó, CT 2018 là CT hướng đền phát triển năng lực hon là kĩ năng tính toán.
Do đó. néu như trong CT hiện hành tập trung nhiều vào các kĩ năng tính toán như: Tinh được đạo hàm của hàm số mũ, hàm số légarit; Van dụng tính chất hàm số mũ, hàm số lôgarit vào việc so sánh hai số hay kĩ năng vẽ được đồ thị của hàm số mũ và hàm số lôgarit thì trong CT 2018 các yêu cầu về tính toán giảm xuống. Thay vào đó, CT 2018 đưa ra yêu cầu cần đạt mới là: Nêu được một số ví dụ thực tế về hàm số mũ, hàm số lôgarit; nhận dang được đồ thị. Đặc biệt, CT xuất hiện một YCCĐ đáng chú ý đó là “Giai quyết được một số van dé có liên quan đến thực tiễn gắn với hàm số mũ, hàm số lôgarit (ví dụ: lãi suất, sự tăng trưởng....)” đáp ứng đặc diém môn Toán được nêu trong CT 2018.
34
- — Ngoài ra, yêu cần cần đạt đối với nội dung tính chat của ham số mũ, hàm số lôgarit trong CTGDPT môn Toán 2018 ở mức cao hơn. Cụ thể là giải thích được các tính chất thông qua đồ thị của chúng. Điều này có thê gây khó khăn cho HS nếu vẽ đồ thị của các hàm số đó không chính xác.
Chúng tôi cũng nhận thay rằng khi day bài “Ham số mũ. Hàm số lôgarit” theo cách truyền đạt cũ không đạt hiệu qua cao. Các hình ảnh, đặc biệt sự thay đôi của đồ thị khi cơ số của
hàm s6 mũ, hàm số lôgarit thay đôi chỉ được mô tả bằng lời hoặc được khang định qua một vai trường hợp cụ thé, không trực quan nên HS khó hình dung, thậm chí thiếu niềm tin vào tính đúng đắn của nội dung các tính chất. Điều này gây ra cho HS nhiều hạn chế và khả năng tư duy, trừu tượng. Vì vậy, néu không sử dụng CNTT thi sẽ không thé vẽ chính xác đồ thị, nhận xét và giải thích được các tính chất của hàm số mũ, hàm số lôgarit. Như vậy, khi day học bài “Ham số mũ. Hàm số lôgarit ” cần có các phương tiện trực quan góp phan tạo thuận lợi cho hoạt động dạy học, kích thích quá trình học tập, cung cấp cho HS những kiến thức bên vững, chính xác. Với định hướng này, GeoGebra là một trong những phan mềm đầu tiên hướng tới mục tiêu giáo dục hiện đại: Những gì GV giảng HS phải được nhìn và nghe thay.
1.5. Giới thiệu sơ lược về phần mềm GeoGebra
GeoGebra là phần mềm toán học động đang được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau ở các nước trên thể giới. Nó được thiết kế dành riêng cho việc giảng dạy và học tập toán từ bậc tiêu học đến cả bậc đại học. Tác giả phần mềm là giáo sư người Áo tên Markus Hohenwater, một giáng viên trường đại học Salzburg, Cộng hòa Áo. Phan mém
GeoGebra được khởi tạo năm 2001 va liên tục được phát triên. Phan mém đã được trên 12 giải thưởng ở trên thé giới. Người dùng chi cần vào trang web: hitps:/Avww.geogebra.org/
dé tải và cải đặt phan mềm. GeoGebra là phần mềm miễn phí với mã nguồn mở, đa ngôn
ngữ (có thé sử dụng với khoảng 63 ngôn ngữ, trong đó có tiếng ViệU. Do đó, khi sử dụng GeoGebra, GV và HS không phải lo lắng về chi phí và van dé bản quyền. GeoGebra là phan mềm chạy dựa trên nên Java và nó có thể chạy trên mọi hệ điều hành. Hiện phan mềm đã được phát triển đưới nhiều hình thức khác nhau. Người ding có thẻ cài đặt phần mém
và làm offline trên máy tính hoặc có thê tải ứng dụng GeoGebra trên điện thoại thông minh.
35
Điều này giúp người dùng tiếp cận với phần mềm một cách dé dang hon. GeoGebra có giao điện làm việc mặc định bao gồm hai cửa số hiền thị chính. Cửa sé hình học biến thị hình ảnh đồ họa của các đối tượng toán học trên mặt phăng tọa độ. Cửa sô đại số hiển thị biểu thức đại số tương ứng với các đối tượng toán học trong cửa số hình học. Giao điện của GeoGebra có tính linh hoạt cao, cho phép dé dang thay đôi dé phù hợp với trình độ của học sinh phô thông. Ví dụ, với học sinh trung học cơ sở. họ có thé an đi cửa số đại số, trường nhập lệnh, hệ trục tọa độ và chỉ làm việc với cửa số hình học đề nghiên cứu các đối tượng hình học. Sau đó, giáo viên có thé giới thiệu về tọa độ bang cách hiện thị lưới tọa độ và làm việc với các điểm có tọa độ nguyên. Đỗi với học sinh trung học phê thông, họ có thé hiển thị cùng lúc cả hai cửa sô, trường nhập lệnh và bảng tính điện tử dé thao tác với các đối tượng hình học, đại sé và giải tích. Giao điện của GeoGebra thân thiện và để sử dụng, với các hộp công cụ trực quan người ding có thé thao tác với phần mềm một cách dé dang. Khi ta chọn vào một công cụ nao đó thì sẽ xuất hiện hướng dẫn để dùng công cụ tương ứng đó, điều này hỗ trợ nhiều cho những người dùng chưa nắm rõ cách dùng nút lệnh. Ngoài ra, người dùng có thé thao tác với phần mềm qua hệ thông nhập các câu lệnh. GeoGebra giúp người dùng sử dụng dé đàng hơn khi cung cấp một hệ thống hỗ trợ gợi ý và hướng dẫn
nhập các câu lệnh. Một trong những tinh năng nôi bật của GeoGebra là:
Thứ nhất, đó là tinh năng "động" cho phép các đối tượng có thé thay đôi theo các điều khiển của người dùng nhưng vẫn tuân thủ các tính chất của toán học. Điều này tạo cơ hội dé người dùng dự đoán các tính chất toán học thông qua các bat biến của chúng, đây là tiền dé cho các hoạt động khám phá trong day học Toán.
Thứ hai, tính nang “an kéo”. Phần mềm động GeoGebra cho phép di chuyên các đối tượng hình học một cách đơn giản thông qua việc ấn và kéo chuột. Việc di chuyền này có thê là di chuyên toàn bộ đối tượng hoặc chỉ một phần của đối tượng (như di chuyên một điểm trên một đường thăng hoặc đường tròn hoặc đi chuyên một đối tượng phụ thuộc vào một đối tượng khác). Khi di chuyên được kết thúc, các đối tượng phụ thuộc sẽ được di chuyên và thay đôi theo tương ứng. Hình học được cập nhật tự động dé biêu diễn vị trí mới của các đối tượng hình học đó.
36
Thứ ba, tính ning “do lường". Người dùng có thê thực hiện việc đo lường trên các dụng cụ mà GeoGebra cung cấp như: đo độ dai, đoạn thăng với độ đài cô địng, đo điện tích, đo góc. kiểm tra môi quan hệ giữa hai đại lượng...
Thứ tư, tinh năng “tao vết và quỹ tích". Đối tượng phụ thuộc vào một đối tượng khác
có thé được đánh dau bang các vết dé người sử dụng có thẻ theo dõi sự di chuyền và phụ
thuộc giữa các đối tượng toán học. Các vết này có thé được tạo tự động hoặc được tạo bing
tay băng cách di chuyên các đôi tượng tương ứng với con chuột. Các tính năng này đóng vai trò quan trọng trong việc giúp HS giải quyết các bài toán quỹ tích.
Ngoài ra, GeoGebra có khả năng kết hợp giữa hình học và đại số. Người đùng có thé tạo ra các hình học phức tạp bang cách sử dung các công cụ vẽ hình học va sau đó sử dụng tính năng đại số dé giải quyết các bài toán liên quan đến các hình đó. Điều này giúp HS hiệu rõ hơn về môi quan hệ giữa hình học va đại số, từ đó giúp tăng cường khả năng tư duy logic và sự sáng tạo trong giải quyết các van dé. Bên cạnh đó, GeoGebra còn cung cấp các tài nguyên giáo dục phong phú bao gồm bài giảng, video hướng dẫn, bài tập và đề thi, giúp GV và HS sử dụng phần mềm một cách hiệu quả. GeoGebra có một cộng đồng người dùng đông dao trên toàn thế giới, người dùng có thẻ trao đôi kinh nghiệm, chia sẻ các tài liệu và hỏi đáp các câu hỏi về phần mềm và diễn đản. GeoGebra được phát triên liên tục và nâng
cấp thường xuyên dé cải thiện tính năng và tăng cường biệu suất. Người dùng có thé tải xuống các phiên bản mới nhất đề trải nghiệm các tính năng mới nhất của phần mém. Tóm
lại, trong dạy học Toán, phần mềm GeoGebra có nhiều ưu điêm, nêu được sử dụng phù hợp, GeoGebra sẽ hỗ trợ tốt cho GV, Có thé nói răng, vai trò của phần mềm GeoGebra như
là môi trường dé HS khám phá kiến thức.
1.6. Kết luận chương 1
Từ những phân tích trên cho thấy rằng nội dung hàm số mũ, hàm số lôgarit trong CTGDPT môn Toán 2018 có nhiều điểm mới phù hợp với định hướng dạy học phát triển phẩm chất năng lực HS. Tuy nhiên đề có thé giảng dạy và học hiệu quả nội dung này thì việc áp dụng công nghệ. pham mềm dạy học mới là cần thiết.
Bộ Giáo dục và Đào tạo cũng đã ban hành Thông tư số 32/2020/TT-BGDĐT vẻ Điều lệ trường trung hoc cơ sé, THPT và trường THPT có nhiều cap học. Theo chương V, điều 37
37