X é t m ộ t p h ầ n tử t h a n h có t i ế t d i ệ n l à F , m ô đ u n đ à n h ồ i E, m ậ t
đ ộ k h ố i p, c h i ề u d à i ỉ j = Xj ~Xj_ị ( h ìn h v ẽ 2 . 4 . 1 ) c h ị u m ộ t t ả i p h â n bô'
Q(x, t).
Những phương pháp cơ bán của động lực học còng trinh 83
— Un
* X
EF
Hình 2 .4 .1 . C hu yển vị nút và lực đầu nú t cho phần tử thanh P h ư ơ n g t r ì n h d a o đ ộ n g d ọ c c ủ a t h a n h có d ạ n g
d2U(xyt) dU{x,t) d2U(x,t) . õ*U(x,t)
õx2dt
VX2 + Q(x,t) = p F
dt2 + Hỉ õt
t r o n g đ ó l à h ệ s ố c ả n n h ớ t c ủ a v ậ t l i ệ u , ịXỵ l à h ệ số ’ c ả n c ủ a m ô i t r ư ò n g .
B ằ n g c á c h đ ặ t :
U(x,t) = uịxycằ)e“ứ ; Q(xJ) = q(xy (ừ)e
84 Nguyễn Tiến Khiêm. Động lực học công trinh
v ó i u{xycớ) v à q(x,ũỉ) l à b i ê n đ ộ c ủ a c h u y ế n VỊ d ọ c t r ụ c v à t ả i t r ọ n g d ọ c t r ê n t h a n h , t a t h u đ ư ợ c p h ư ơ n g t r ì n h
d 2ỉ/(jc,co) d x 2
4- X2u(xy 0)) = q(x,<ữ) ,
t r o n g đ ó
~ q(x,<ữ). , 2 , p q = --- . _ ; Ả = bì -h-
ẺF Ế 1
ỈU
(!) :i2 = - 1
l à t h a m số đ ộ n g lự c h ọ c (co l à t ầ n sô' v ò n g - r a d / g i â y ) v à
Ê = JE(l + ija,to)
l à m o đ u n đ à n h ồ i p h ứ c , dưới đ â y đ ể c h o d ễ t h e o d õ i t a v ẫ n d ù n g k ý h i ệ u E n h ư k h i k h ô n g có c ả n .
C h u y ể n v ị d ọ c t r ụ c t ổ n g q u á t có d ạ n g 1 ^
u(x) - A s i n Xx + B COS Xx + -ỉ- j s i n X(x - z)q(xJ + 1 ,(0 ) r i i
^ 0 t r o n g đó
X = X - Xj_J ; Xj_i < X < Xj
với A , B l à c á c h ằ n g s ô " p h ụ t h u ộ c v à o c á c đ i ề u k i ệ n ở h a i đ ầ u n ú t . G i ả s ử c á c c h u y ể n v ị n ú t l à uyA v à Up c á c lự c đ ầ u p h ầ n tử l à NJ
C á c đ i ề u k i ệ n b i ê n s ẽ l à
u( x j _ì) = UH \ u(Xj ) = Uj\
-EF du dx
EF— du
õx = Nr
T ừ c á c đ i ề u k i ệ n n à y t a c ó m ố ì l i ê n h ệ
COS Xể j -(\EF)~] sin Xỉ j' ( UH ì 1M
- XEF s i n M í - COS Xể .
V i J /
I , (2AA)
trong đó ký hiệu
q} = Ỳ j s i n Ị - x)q(Xj_, + T,íi))dt;
0 r)
q'j = J c o s X .( í J - T)ọ(jCj.| + T,co)dT.
0
Những phương pháp cơ bản cùa dộng lực học công trinh 85 Từ phương trìn h (2.4.4) ta có thê rú t ra các quan hệ
(N J ■ = > XEF\ ị cot Xí - CSC )J ,) / u, . \ + /J ĨF CSC )J 0 “ / [ N ; { - CSC XIJ cot X( ĩ / u > J y~kEF cotXỊ j 1
với các ký hiệu
cot. z = COS 2
sin 2
Như vậy ma trận độ cứng động và véc tơ tãi trọng cho phần thử thanh chịu kéo hay nén có dạng
Kj(<ù) = EF X cot ) J kcscXP
XcscX( . XcotXP
í p ' ì
).EF CSC \ f t 0
- ‘K E F cotkij 1
( 2 . 4 . 5 )
D ễ dàng n h ậ n t h ấ y k h i cho tần sô"CD t i ế n đến 0 , m a t r ậ n độ c ứ n g đ ộ n g c h o t a m a t r ậ n đ ộ c ứ n g đ à n h ậ n đư ợc b ằ n g p h ư ơ n g p h á p P T H H c ủ a
phần t ử t h a n h t r o n g c ô n g t hức ( 2 . 3 . 1 9 ) , hay K () J =lim /T((i>) =oj'Vo J EF
1 - 1
- 1 1
Tương tự, trong trường hợp xoắn ma trận độ cứng động và véctơ tải ngoài vẫn có dạng như (2.4.5), nhưng thay vào chỗ E là ơ, và chỗ của
F là /.
b. Phần tử dầm hai chiều chịu uốn
Xét một dầm chịu uốn trong mặt phăng x-y (hệ toạ cỉộ địa phương, Hình 2.4.2.) có các tham số: mođun dàn hồi EZ1 diện tích mật cắt ngang F, mômen quán tính tiết diện /,, mật độ khôi lượng p, chiểu đài dầm L trong mặt phắng Oxy của hệ toạ độ địa phương.
N,
G
n 2 Ty▲
A
n 3 n 4
u 2 u A
Hình 2.4.2
86 Nguyễn Tiến Khiêm. Động lực học công trình
K h i đó , p h ư ơ n g t r ì n h t ổ n g q u á t m ô t ả c h u y ể n đ ộ n g u ố n c ủ a d ầ m c ó d ạ n g :
E1 dAw(x,t) ữ*w(xf t)
^ 1 âx Aõt
•V 4
CX + pA d2w dw
õt*+ịl2õt
t r o n g đ ó m l à h ộ s ố c ả n n h ớ t c ủ a v ậ t l i ệ u , Ji2 l à h ệ s ỏ c ả n c ủ a m ô i t r ư ờ n g .
B ằ n g c á c h đ ặ t :
w(xft) - <ì>(xfcù)eUửt; Q(x,t) = q(x,iử)eiiử t
với ® ( x , 0)) v à q(x,co) là b i ê n đ ộ c ủ a c h u y ể n v ị n g a n g v à t ả i t r ọ n g n g a n g t r ê n t h a n h , t a t h u đ ư ợ c p h ư ơ n g t r ì n h
d* O(x,o:>)
dxA - Ằ 40 ( * , 6 ) ) = ợ ( x , ( o ) , (2.4.6)
t r o n g đó
V ợ(*,co) 4 2 pA
q(Xy co) = — ; K - (O
ẾI ẺI 1 -
Ijh (ù
l à t h a m s ố đ ộ n g lự c h ọ c ((1) l à t ầ n sô" v ò n g - r a d / g i â y ) , n ế u X = 0 tứ c (0 = 0 t a có t r ư ờ n g h ợ p b i ế n d ạ n g t ĩ n h , vớ i (0 * 0 t h ì O(x,co) l à b i ê n đ ộ c h u y ế n v ị đ ộ n g v à
È - Ez( 1 + tj!ị(o)
l à m o đ u n đ à n h ồ i p h ứ c , dư ớ i đ â y đ ể c h o d ễ t h e o d õ i t a v ẫ n d ù n g k ý h i ệ u E n h ư k h i k h ô n g c ó c ả n .
Đ ư a v à o c á c c h u y ể n v ị n ú t n h ư s a u
Ư , = 0 (0 ) ; U, = O '( o ) ;u, = j)\lỉt = O ' ( 0 ■ K h i đ ó t a đư ợc v é c tơ t o ạ đ ộ s u y r ộ n g U={UU u.„ Ui, Í / , } T. n g o à i r a , t a đ ư a v à o c á c lự c n ú t s a u đ â y
Nt = EI: ® " ( 0 ) ;
n \ = - E I t0 '( 0);
n ] = - E i]0 "(í,);
[Nt = EI j)
là v é c tơ lự c đ ầ u n ú t . B ả n c h ấ t cơ h ọ c c ủ a c á c lự c N v à u đ ư ợ c I11Ô t ả t r o n g H ì n h 2 . 4 . 2 .
Những phương pháp cơ bàn của động lực học công trinh 8 7
K h i đó , t a c ó n g h i ệ m t ổ n g q u á i c ủ a p h ư ơ n g t r ì n h
v ớ i X e [ 0 . (■ ] v à
. , , V n \TT K,Ọ jc ) K 4(?jc) K 3 ()jc)
0 „ ( a ' ) = K , (/JC)Ư, + — — u2+- — - Af| - „ — i V , ,
 £ / A 5 £ 7 , Â
/ í , ( . t ) : / £ \ ( x ) : / f 3 (.t): là n h ử n g h à m K r ư l ô v đ à đ ư a v à o ơ t r ê n . N g o à i r a đ ư a v à o c á c h à m sô"
ỹ\ ^j ) = 7T ]KẬ(Cj -x)]ợ(t,to)rfT;
K ỉ
Q 2W j ) = - Ặ r - t ) ] ợ ( t , ( 0 ) c ỉ t ;
0
q 3ự j ) = - E I ị K Ặ ự j - x ) ] ọ ( T , (0)dx;
0
E I '}
q 4 Ự j ) = — J-K" 2 [x.( f j - T)]ọ(T,0))dT
^ 0 v à v é c tơ
{9 } = fa(f- j)><ỉì(t j)} >j = 1 ,2,...,n + 1
K h i đ ó t h e o p h ư ớ n g p h á p m a t r ậ n t r u y ề n t a có u 3
N,
= [T\
ut U,
N ,
> + ( 2 .4 .7 )
t r o n g đ ó m a t r ậ n
Kx(Uj) r'K2(Xỉj) KAWj) K^Xij)
K3áij) EI^ EIX K2(U j ) XK4(M,) K,(X( :)
4 j 1 j E I X E I t \
- X Ì E I Ỉ K Ì ( M j ) - X E L K ^ M j ) - K t ( k t j ) Ả K , ( X ( j )
t f E I ' K j W j ) l E I t K t ( k f . j ) r ' K 2 ( \ỉ j ) - K , ( U j )
88 Nguyễn Tiến Khiêm. Động lực học công trình
Sử dụng (2.4.7) để biểu diễn các lực đầu nút qua các chuyển vị nút tương tự như trong mục trước ta được
{ w } = [Kj (co)]{ơ} + [ G ] { ặ } ,
trong đó
=k,
rk \ K tK 2 - K , K , ) ì ỉ U C Ỉ - K t K , ) X \ K ; - K , K , ) U K 2K< - K tK t )
- k ' K, - ) : K }
k! K } }JK4
;...g -
K - K ,K .
- k sK : } ; K t
-}.2 k Í kK4
XiK.K^Kị) MK.Ky-K^,)) (2.4.8)
K , = V , ( M y ).
Đây chính là ma trận độ cứng động của phần tử dầm (chịu uốn) hai chiều. Thật thú vị là có thể sử dụng MATLAB để tìm đư ợ c biểu diễn sau đây của ma trận độ cứng động trong trường hợp không cản
[ X , . ] = [ t f 0 ] - a r [ M 0 ] + o ( o 4 )
vổi
[ * „ ] = ẼL
V
pAL
420
1 2 6L
6 L 4 L2
- 1 2 - 6 L 6 L 2 L 2
\
/ 156 22L 22L 4L2
54 13L -13L -3L2
- 1 2 - 6 L
1 2 - 6 L
54
1 3 L
156
- 2 2 L
6 L N
2L-
- 6 L
4 L 2 , - 1 3 L N - 3 L 2 - 2 2 L
4L2
Dễ dàng nhận thấy hai ma trận cuối là ma trận độ cứng và ma trận khôi lượng của phương pháp PTHH (công thức (2.3.22)).
c. Phần tử dầm ba chiều
Dầm ba chiều thực chất là tổ hợp tuyến tính của các trường hợp sau đây: một là biến dạng dọc trục, tức là phần tử thanh như đă xây dựng ở trên; hai là biến dạng xoắn; ba là uôn trong mặt phang XOY,
mà thực chất là phần tử dầm hai chiều ở trên và bốn là uốn trong mặt phẳng XOZ (như trong Hình 2.3.3). Ma trận độ cứng động và véc tơ tải trọng của phần tử dầm ba chiều sẽ là kết quả phép cộng đại số của các ma trận tương ứng của các phần tử được liệt kê ở trên.
Những phương pháp cơ bản của động lực học công trinh 89
Đ ê c ó t h ể t h ự c h i ệ n p h é p c ộ n g n à y t a c ầ n q u y đ ị n h t r ậ t tự c ủ a c á c b ậ c t.ự d o c ủ a c ả p h ầ n tử t ố n g hợ p . Đ i ể u n à y đư ợc t h ự c h i ệ n b ằ n g v i ệ c c h ọ n c á c b ậ c tự do c ủ a p h ầ n t ứ d ầ m b a c h i ề u n h ư s a u
ử ( c o ) = Ị ừ , , ỡ , ...Ỡ „ . Ớ 1: ị 7' ,
t r o n g đ ó ý n g h ĩ a cơ h ọ c c ủ a c á c b ậ c tự d o n à y đư ợc c h ỉ r õ t r o n g H ì n h 2 . 3 . 3 . N h ư v ậ y , c á c p h ầ n tử t h a n h , x o ắ n v à p h ầ n tử d ầ m 2 c h i ể u t r o n g m ặ t p h a n g X O Y đ ã được x â y d ự n g . Đ ê t h u ậ n t i ệ n v à k h ô n g n h ắ c l ạ i t a đ ư a v à o c á c k ý h i ệ u c ủ a m a t r ậ n đ ộ c ứ n g đ ộ n g c h o p h ầ n t ử t h a n h v à t r ụ c x o ắ n l ầ n lư ợ t l à
[ 0 , ] =
D' "I
Ly \ ■>
Dù
DI d:: J:
D" D 9
^ 1 1 12
K Dí
M a t r ậ n p h ầ n tử d ầ m h a i c h i ề u t r o n g m ặ t p h ẳ n g X O Y đư ợ c k ý h i ệ u l à
M -
K Di Dy14
Dy 22 D;, Dy Dị d I d I Dy34
Dị D-l DL44 N N,
a
u2
N:
u ì .
u .
Hình 2.4.3. Uốn trong m ặ t p hảng xz
B â y giờ, t a x á c đ ị n h m a t r ậ n đ ộ c ứ n g d ộ n g c h o p h ầ n t ử ' d ầ m h a i c h i ề u t r o n g m ặ t p h à n g XOZ. T r ư ớ c h ế t , t a có t h ể t á c h c á c b ậ c t ự do c ủ a p h ầ n t ử n à y t ừ p h ầ n tử d â m b a c h i ề u m ô t ả t r o n g H ì n h 2 . 3 . 3 v à t a đ ư ợ c p h ầ n tử d ầ m h a i c h i ề u t r o n g m ặ t p h ă n g XOZ t r o n g H ì n h 2 . 4 . 3 . S o v ớ i p h ầ n tử d ầ m h a i c h i ề u đư ợc m ô t ả t r o n g H ì n h 2 . 4 . 2 , t a t h ấ y đ ố i v ớ i p h ầ n t ử c u ố i h a i m ô m e n ở h a i đ ầ u v à h a i g ó c x o a y ở h a i đ ầ u c ó d ấ u n g ư ợ c l ạ i . V ì v ậ y , có t h ể c h ử n g m i n h đư ợ c m a t r ậ n đ ộ c ứ n g đ ộ n g c ủ a p h ầ n tử d ầ m t r o n g m ặ t p h ả n g XOZ n h ậ n đ ư ợ c t ừ m a t r ậ n đ ộ c ứ n g đ ộ n g c ủ a p h ầ n tử d ầ m t r o n g m ặ t p h ẳ n g X O y b ằ n g c á c h t h a y v à o c h ỗ m ô m e n q u á n t í n h m ặ t c ă t I2 b ằ n g ly v à n h â n t h e o h a i p h í a với m a t r ậ n d ấ u n h ư s a u :
9 0 Nguyễn Tiến Khiêm. Động lực học công trinh
với
[c]=[c]-' =
1 0 0 0
0 - 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 - 1
Cuôì cùng ta được ma trận
[ D , ] -
~D‘Xị d;: D;< Đ l r £) V
^ 1 1 - D y 12 D y 13 - D Ì
Đỉ, d ì D ‘a D l - D y 21 DỈ1 — 7)'V Đ l
D ‘r_ D I Đ l - D ĩ : D y - D y ^34
D I d;: DU D l D Ì - D y D y44 J
Đồng thời, cũng như phương pháp phần tử hữu hạn ta được ma trận độ cứng động của phẩn tử dầm ba chiều ở dạng
D =
K Đ
0 D y 0
0 0 Dằ I
0 0 0 D ữ lJ\\
0 0 0 DỊ, X
0 D y 0 0 0 Dk ứ
D l 0 0 0 0 0 N
0 •L/Jt D y 0 0 0 D y 0 D y 33
0 0 D'n 0 Đn 0 0 0 ĐU
0 0 0 D 2ì9 0 0 0 0 0 DỊ.
0 0 0 d:2 0 0 0 D l 0 D l
0 D y 0 0 0 D y ^42 0 D y 0 0 0 D
xác định trong các phần trước.
Thuật toán cho phương pháp ma trận độ cứng động này đá được lập trình trên ngôn ngữ MATLAB ở dạng một chường trình máy tính mang tên DIALAB. Việc sử dụng chương trình này được minh hoạ trong các ví dụ tính toán dưới đây.