Định nghĩa và một số kết quả - Một số tính chất củ- 123docz.net

2.1. Một số tính chất của đa thức lồi

2.1.1. Định nghĩa và một số kết quả

Cho C n là tập lồi đóng. Ta dùng bd C  để kí hiệu biên của .C Với ,

xC nón pháp tuyến của C tại x được xác định bởi

 :  n: T( ) 0 .

NC x  z z yx   y C

Ta gọi NC1( ) :x  h NC( ) :x h 1 để kí hiệu tất cả các véctơ đơn vị trong

C( ).

N x Nón lùi xa C của C được định nghĩa bởi

 

: n: , 0, .

C  d x     td C t x C

Dễ thấy C là một nón lồi. Với một hàm lồi , bởi [9, Theorem 8.7], tất cả các tập mức khác rỗng dạng x: ( ) x c, c , có cùng nón lùi xa, gọi là nón lùi xa của . Không mất tính tổng quát, ta dùng kí hiệu S để chỉ nón lùi xa của . Giả sử E S ( S). Thế thì E là không gian con và được gọi là không gian hằng [9, p. 69] của .

Bổ đề 2.1.1 ([9, p. 69]). Không gian hằng E là không gian con lớn nhất chứa trong S mà thỏa mãn

 n: ( ) ( ), n, 

E  z  xz  x  x   .

20 of 128.

Cho  : n  là một hàm lồi. Dưới vi phân của  tại x0 n là tập hợp được kí hiệu là ( ),x tức là:

 

0 0 0

( )x h n: ( )x ( )x h x, x >, x n .

  

       

Ta biết rằng là đạo hàm theo hướng 0 ( ) ( )

'( ; ) limt x th x

x h t

 

      luôn tồn

tại với x h,  n, và ta có

 

'( , )x h max Th: ( ) .x

    (2.1) Giả sử n  ( ,...,1 n) :i , i 0,  i  n. Với  n, ta dùng x để kí hiệu tích số x11... xnn với mỗi x n đã cho. Thế thì, với mỗi đa thức f có bậc m trên n, ta có thể viết nó ở dạng sau

( ) m 0 n,

f x   a x   x trong đó  n, a , và n1 i.

 i  Trong luận văn này, ta dùng fl, 0 l m, để kí hiệu đa thức thuần nhất bậc l tương ứng với f, nghĩa là ( )l ,

f x la x  và vì vậy

m l l

f f



 (2.2) Lưu ý f0 là số hạng không đổi của f. Nếu f x( )0 ( ( )f x 0)  x n

(x0), ta nói rằng f là đa thức nửa xác định dương (xác định dương). Dễ dàng thấy là nếu f là đa thức lồi và m2, thì m là số nguyên chẵn.

Chuỗi Taylor của mỗi đa thức bậc m của f có thể viết như sau

( ) ( ) ,

D f x n

f x y y x y

 

 

      , (2.3)

trong đó 1

1 1

, ( ) : ... ( )

n n

x x

D f x f x



 



    

  và !1!,...,n!. Dùng kí hiệu này, ta có f x( )T y 1D f x ( )T y,  x n,  y n.

21 of 128.

Cho h là một đa thức thuần nhất bậc k (k1). Ta định nghĩa hạch của h là



( ) : n: ( ) 0 n

Ker h  x D h x     thỏa mãn   k 1 .

Dễ thấy rằng là nếu x K er( ),h thì D h x ( )0 với mỗi  n thỏa mãn 0   k 1. Đặc biệt, x K er (h) suy ra h x( ) 0. Hơn nữa, Ker h( ) là không gian tuyến tính. Nếu h là hàm toàn phương thuần nhất, nghĩa là, ( )h x x AxT với ma trận A nào đó, thì Ker h( )Ker( ).A

Ta có một số kết quả quan trọng sau, được phát biểu dưới dạng bổ đề.

Bổ đề 2.1.2. Cho

( ) m 0

f x   a x  là một đa thức xác định trên n. Nếu

( ) 0 n,

f x   x thì a 0 với mỗi  n thỏa mãn 0  m.

Bổ đề 2.1.3. Cho f là một đa thức lồi. Cho x y d, ,  n. Nếu ( )t  f x td(  ) là đa thức lồi bậc p xác định trong , thì v t( ) f y td(  ), t cũng là đa thức lồi bậc p. Hơn nữa, nếu p1 thì hệ số tương ứng với số hạng tp trong

( )t

 và v t( ) là trùng nhau.

Bổ đề 2.1.4. Cho f là đa thức lồi thỏa mãn Sf  . Với d 0, dSf nếu và chỉ nếu f td( ) f(0)rt,  t , với r0 nào đó.

Hệ quả 2.1.1. Cho h: n  là một đa thức lồi thuần nhất bậc k trong đó , 2.

k Thế thì h là nửa xác định dương.

Chứng minh: Giả sử h y( ) 0 với mỗi y nào đó. Vì ( )h ty t h yk ( )0 với mỗi t 0, ta có tySh  t 0. Từ [9, Theorem 8.3], suy ra ySh. Bởi Bổ đề 2.1.4, ta có h ty( )t với mỗi  0 nào đó, mâu thuần với đẳng thức

( ) k ( ).

h ty t h y

22 of 128.

Chú ý là đa thức nửa xác định dương thuần nhất không nhất thiết là đa thức lồi. Giả sử g: 2  được xác định bởi g x x( ,1 2)(x12 x22 2) . Dễ thấy rằng là g nửa xác định dương nhưng không lồi.

Bổ đề 2.1.5. Cho h là một đa thức thuần nhất bậc k k ( 1), và giả sử K  n là không gian con. Thế thì h x(  y)h x( ),  x n,  y K, nếu và chỉ nếu

er( ).

K K h

Chứng minh. Chú ý rằng là

( ) ( )

k D h y

h x y x

 

 

  và ( ) k !(0) , n.

h x D h x x y

 

 

  

Bởi Bổ đề 2.1.2, h x(  y)h x( ),  x n,   y K D h y ( )0,  y K, với mỗi  thỏa mãn   k 1. Điều phải chứng minh.

Bổ đề 2.1.6. Cho h là đa thức lồi thuần nhất bậc k. Thế thì Ker h( )

x h x: ( )0 , và h xác định dương trên Ker( )h .

Chứng minh. Giả sử H x h x: ( )0 . Ta chỉ cần chứng minh rằng er( ).

H K h Với yH, ta có g ty( ) 0 g(0)  t . Bởi Bổ đề 2.1.3 suy ra (g xty) g x( )  x n và t . Bởi Bổ đề 2.1.5, ta có yKer( ),h dẫn tới HKer( ).h Bởi Hệ quả 2.1.1, h là không âm trên n. Giả sử h x( ) 0 với

 ( )

x Ker h  nào đó. Thế thì H Ker( )h dẫn tới x K er( ),h và vì vậy x0.

Bổ đề cho thấy nếu đa thức f là hằng trên không gian con, thì nó có thể biến thành đa thức với số biến ít hơn bằng thay đổi cơ sở.

Bổ đề 2.1.7. Cho f x là một đa thức bậc m trên ( ) n, và cho L n là không gian con với số chiều p. Nếu f x(  y) f x( )  x n và yL, thì tồn tại ma trận trực giao U sao cho

( ) ( ,...,1 p) n,

f Ux g x x  x (2.4)

23 of 128.

với đa thức g có p biến số nào đó.

Chứng minh. Giả sử

0 .

m l l

f   f Bởi Bổ đề 2.1.5, ta có L  ml1Ker( ).fl Giả sử ma trận U cột p đầu tiên của U là một cơ sở trực chuẩn của L và phần còn lại của cột là cơ sở trực chuẩn của L. Bởi (2.3) và L  ml1Ker( ),fl dễ dàng chứng minh được (2.4).

Kết quả sau đây có thể chứng minh được bởi Bổ đề 2.1.1 và 2.1.7 một cách trực tiếp.

Hệ quả 2.1.2. Cho f là đa thức lồi trên n, và cho ESf ( Sf ). Giả sử dim( )E  n p. Thế thì có ma trận trực giao U sao cho

( ) ( ,...,1 p) n f Ux g x x  x , trong đó g là một đa thức lồi thỏa mãn Sg  ( Sg) 0 .