NĂNG SUẤT PHÂN LI VÀ SAI SỐ

Khảo sát hiện tƣợng nhiễu xạ giúp chúng ta nghiên cứu năng suất phân li của dụng cụ quang học, một trong những đại lƣợng đặc trƣng cho chất lƣợng của dụng cụ quang học.

4.1.1. Định nghĩa

Năng suất phân li của một dụng cụ quang học là một đại lƣợng cho biết khả năng phân biệt những chi tiết nhỏ trên vật quan sát.

Trường hợp vật quan sát ở gần, năng suất phân li đo được bằng nghịch đảo của khoảng cách be nhất giữa hai điểm mà ta có thể phân biệt đƣợc khi nhìn qua dụng cụ quang học. Còn trường hợp vật ở xa, năng suất phân li đo được bằng nghịch đảo của khoảng cách be nhất giữa hai phương đến hai điểm mà mắt có thể phân biệt được khi nhìn qua dụng cụ quang học.

Trong các dụng cụ quang học, các tia sáng đi vào đều bị giới hạn bởi khung nhìn tròn mang vật kính hay màn chắn có lỗ tròn.

Vì vậy có hiện tƣợng nhiễu xạ qua các lỗ tròn đó và làm cho ảnh của một điểm không phải là một điểm mà là một vệt sáng. Đồ thị phân bố cường độ của vệt theo bán kính(còn có các cực đại phụ nằm phía ngoài, nhƣng nhỏ nên ta bỏ qua).

Nếu hai điểm của vật gần nhau quá thì các ảnh của chúng (hai vệt sáng) sẽ trùng lên nhau và mắt không thể phân biệt được. Để định nghĩa năng suất phân li người ta quy ước rằng mắt người có thể phân biệt được hai ảnh khi chúng cách nhau một khoảng r ≥ R, R là bán kính của một vệt sáng

Nhƣ vậy năng suất phân li đƣợc định nghĩa nhƣ sau:

“ Năng suất phân li S của một dụng cụ quang học là một đại lƣợng có trị số bằng ngịch đảo của khoảng cách h giữa hai điểm(đối với kính nhìn xa, kính thiên văn thì đo bằng nghịch đảo của góc ε nhìn từ mắt tới hai điểm) cách nhau bằng bán kính của một vệt”.

Rõ ràng nếu h và ε càng nhỏ thì năng suất phân li càng lớn và dụng cụ quang học đó càng tốt.

4.2. SAI SỐ

4.2.1. Khái niệm sai số:

Khi đo một đại lƣợng vật lí, ta biểu diễn kết quả đo bằng một số x ít nhiều khác với giá trị thực x0 của đại lƣợng đó. Nếu đo nhiều lần đại lƣợng này, ta sẽ thu đƣợc nhiều giá trị đo x1, x2, x3,….Mỗi phép đo đều có mật độ chính xác nào đó vì phụ thuộc vào nhiều yếu tố như: phương pháp đo, độ chính xác của máy đo hoàn toàn đúng là không thể có đƣợc.

Do đó khi ta đo một đại lƣợng ta tìm đƣợc giá trị đo chứ không tìm đƣợc giá trị thực. Vấn đề đặt ra là làm thế nào ƣớc tính hợp lí khoảng cách giữa giá trị đo x và giá trị thực x0. Nói cách khác là làm thế nào để xác định độ chính xác của phép đo.

Người ta dùng dang từ sai số để diễn tả sự chính xác của phép đo, hay nói cách khác để biểu thị khoảng cách giữa giá trị đo, hay nói cách khác để biểu thị khoảng cách giữa giá trị đo và giá trị thực.

 Sai số được phân theo những dạng khác nhau như:

Theo qui luật xuất hiện, ta có sai số hệ thống, sai số ngẫu nhiên và sai số thô.

Theo khả năng thực hiện ta có nhiều loại sai số nhƣng ở đây ta chỉ chú ý đến độ lệch chuẩn và sai số chuẩn.

28

Theo dạng biểu thị bằng số, ta có hai loại sai số chính là sai số tuyệt đối và sai số tương đối.

Đối với dạng thứ nhất ta chỉ lưu ý đến hai loại sai số đầu tiên vì sai số thô dễ dàng bị bỏ qua bởi người đo có kinh nghiệm:

4.2.1.1. Sai số hệ thống là sai số gây bởi các nguyên nhân luôn luôn tác động theo cùng một chiều trên kết quả đo cùng một phương pháp. Ví dụ như một cây thước quá dài so với thước chuẩn.

4.2.1.2. Sai số ngẫu nhiên là sai số gây bởi nhiều nguyên nhân rất khác nhau xuất phát từ:

- Định nghĩa không hoàn hảo trong các điều kiện thí nghiệm (độ tinh khiết của chất cần đo).

- Tồn tại một thềm thị giác, một giới hạn tin cậy của các máy đo.

- Sự phân tán kết quả đo khi lập lại phép đo, sự phân tán này phụ thuộc vào sự khéo léo nhiều hay ít của người đo.

4.2.2. Sai số hệ thống.

Sai số hệ thống có thể làm sai lệch hẳn kết quả phép đo, đo đó cần phải loại trừ hoặc giảm tối đa sai số hệ thống, có nhiều nguyên nhân gây ra sai số hệ thống, có thể chia làm ba trường hợp:

4.2.2.1. Sai số đo phương pháp.

Hầu hết các phương pháp trong các thí nghiệm đều dẫn đến phép đo một đại lượng.

Đại lượng này có thể xác định bằng các phương pháp khác nhau. Ta cần so sánh các phuong pháp với nhau để xem phương pháp nào chính xác hơn.

4.2.2.2. Sai số ngẫu nhiên

4.2.2.2.1. Khái niệm thống kê và sai số ngẫu nhiên.

Khi tiến hành thí nghiệm, ta gặp phải những nguyên nhân chƣa biết gây ra các sai số ngẫu nhiên. Loại sai số ngẫu nhiên này tuân theo các định luật thống kê đối với hiện tƣợng ngẫu nhiên. Giả sử để tìm một đại lƣợng x0, ta tiến hành số lần đo n lớn nhất và tìm thấy các giá trị đo xi tương ứng với các lần đo đó.

Để đặt trưng sự phân tán kết quả đo diễn tả chúng trong một đồ thị dưới đây:

Gọi x là giá trị trung bình của tất cả các giá trị đo xi và ni là các kết quả đo giữa x và x + δx.

n1: kết quả đo nằm giữa x và xx n2: kết quả đo nằm giữa xxvà x2x n3: kết quả đo nằm giữa x2x và x3x

………

'

n1: kết quả đo nằm giữa x và xx

'

n2: kết quả đo nằm giữa xx và x2x

………

Trên một số đồ thị ta lấy các điểm A, B, C……,A’, B’, C’ lần lƣợt là hoành độ:

2 xx

, 3 2x x 

, 5 2x x  2

xx

, 3 2x x 

,….

Với tung độ n n1

, n n2

, n n3

,…, n n1'

, n n2' ,….

4.2.2.2.1.1. Xác suất xảy ra cực đại (tần số xuất hiện cực đại) ở giá trị trung bình xcủa tất cả kết quả đo.

29

4.2.2.2.1.2. Xác suất giảm một cách đối xứng hai bên điểm cực đại, nghĩa là các sai số ngẫu nhiên bằng nhau và trái dấu có cùng xác suất.

4.2.2.2.1.3. Bằng lí thuyết xác suất, người ta đã tính được rằng với tần số đo vô cùng lớn, kết quả đo sẽ có:

- 70% xác suất nằm trong khoảng x xi  x nghĩa là 70% lần đo có sai số ngẫu nhiên xn 

- 95% xác suất nằm trong khoảng x2  xi  x2nghĩa là 95% lần đo có sai số ngẫu nhiên .xn 2

- 99,7% xác suất nằm trong khoảng x3  xi x3 nghĩa là 99,7% lần đo có sai số ngẫu nhiên xn 3 .

Các khoảng trên gọi là khoảng tin cậy với xác suất tin cậy tương ứng.

Giá trị trung bình.

Giả sử ta tiến hành n lần đo đại lƣợng x0 sẽ thu đƣợc các giá trị x1, x2,…..,xn. Giá trị trung bình x của n lần đo là:

n x n

x x

x x1 2 ... n  i (4.1)

Nếu n tiến tới một giá trị vô cùng lớn thì theo sự phân bố Gauss tiến tới một giá trị thật x0, nhƣng nếu n là lần đo ít thì giá trị trung bình gần giá trị thật nhất.

4.2.2.2.1.3.1. Độ lệch chuẩn.

Để xác định độ chính xác của một phương pháp đo ta dùng độ chênh lệch chuẩn ζ

 

1

   n

x xi

 (4.2)

4.2.2.2.1.3.2. Sai số chuẩn σm.

Để xác định độ phân tán các kết quả đo, ta xét đến độ lệch chuẩn ζ với n giá trị đo xi khi ta tiến hành hàng n lần đo giá trị x0 với cùng phương pháp.

Nếu sau khi đã tiến hành n lần đo, ta tiến hành thêm một số lần đo nữa thì số lần đo thứ hai sẽ có giá trị trung bình không trùng với trị trung bình của lần đo thứ nhất.

Vậy nếu ta thực hiện đƣợc nhiều lần đo và kết quả thu đƣợc ở các lần đo đó đƣợc chia một cách ngẫu nhiên thành nhiều nhóm, mỗi nhóm một giá trị trung bình riêng, do đó các giá trị trung bình này sẽ phân tán xung quanh giá trị thật x0, theo phân bố Gauss.

Để đặt trưng cho sự phân tán các giá trị trung bình xung quanh x0, người ta cũng xác định độ lệch chuẩn gọi là độ lệch chuẩn của giá trị trung bình ζm còn gọi là sai số chuẩn.

) 1 (

)

( 2



 

 

n n

x x n

i m

  (4.3)

Vậy việc xác định sai số chuẩn ζ cho phép ta đánh giá về sai số giá trị trung bình của tất cả các kết quả đo.

4.2.2.3. Sai số tuyệt đối và sai số tương đối 4.2.2.3.1. Sai số tuyệt đối

Sai số tuyệt đối phạm phải trên một phép đo là hiệu giữa giá trị đo và giá trị thực.

Khi tiến hành phép đo ta phải khử tối đa các sai số hệ thống ta đã biết, tuy vậy vẫn còn sai số, gồm các sai số hệ thống chƣa biết và sai số ngẫu nhiên. Mặc dù không thực hiện số lần đo rất lớn để có thể vẽ được đường cong Gauss, nhưng ta cố gắng thực hiện nhiều lần để đo trị trung bình của các kết quả đo có thể gần giá trị thứ nhất.

30 n

x n

x x

x x1 2... n   i (4.4)

Kết quả trung bình này vẫn còn kèm theo sai số chƣa biết vì vậy ta phải tìm giới hạn trên của sai số.

Nếu các độ lệch từ giá trị trung bình lớn hơn độ chính xác của phép đo, sai số hệ thống có thể biểu thị bằng:

- Độ lệch chuẩn ∆x = ζ - Sai số chuẩn ∆x = ζm

- Độ lệch trung bình n

x xi

(  )

n

x x x

x x x

x      n



 1 2 ...

(4.5)

Sai số trong kết quả tính của một thí nghiệm cũng quan trọng nhƣ kết quả thí nghiệm. Các thí nghiệm thường xác định bằng hai phương pháp khác nhau và phải xem kết quả đó phù hợp với nhau hay không.

4.2.2.3.2. Sai số tuyệt đối.

Người ta biểu thị độ chính xác của một phép đo bằng sai số tương đối. Nó được xác định bởi tỉ số giữa hai số tuyệt đối ∆x và kết quả đo x:

x

x

Sai số tương đối là một đại lượng không đơn vị, người ta thường tính nó theo phần trăm:  10000

x x

4.2.2.3.3. Làm tròn sai số 4.2.2.3.3.1. Chữ số có ý nghĩa.

Giá trị của một đại lƣợng đo đều đƣợc biểu thị bằng một số trong đó con số cuối cùng biểu thị độ chính xác của phép đo.

Nhƣ vậy giá trị của sai số tuyệt đối ∆x xác định các chữ số của giá trị đo x mà có thể tin cậy, các chữ số đó đƣợc gọi là các chữ số có nghĩa. Chữ cuối cùng của các chữ số này nằm ở phía phải và không bị thay đổi hơn một đơn vị khi cộng thêm hoặc trừ bớt ∆x thì đƣợc gọi là chữ số cuối cùng có ý nghĩa của kết quả.

4.2.2.3.3.2. Làm tròn số và viết kết quả.

4.2.2.3.3.2.1. Làm tròn số

Đối với con số kết quả, ta chỉ giữ lại những chữ số có nghĩa, còn những chữ số khác làm theo qui tắc:

- Chữ số giữ lại cuối cùng vẫn không đổi nếu chữ số đứng sau nó nhỏ hơn 5 và đƣợc bỏ đi.

- Chữ số giữ lại cuối cùng tăng thêm một đơn vị nếu chữ số đứng sau nó lớn hơn 5 và đƣợc bỏ đi.

+ Nếu chữ số bỏ đi là chữ số 5 duy nhất thì chữ số cuối cùng đƣợc giữ nguyên nếu là chữ số chẵn và tăng thêm một đơn vị nếu là số lẻ.

+ Đối với các con số sai số, người ta làm tròn sai số cho xác suất tin cậy không bị giảm, nghĩa là sai số phải đƣợc làm tròn theo chiều tăng: chữ số giữ lại tăng thêm một đơn vị khi những chữ số sau đó bị bỏ đi. Tuy nhiên nếu qui tắc này gây ra sai số quá lớn sẽ không đƣợc áp dụng.

4.2.2.3.3.2.2. Làm tròn sai số khi tính toán

Các giá trị chỉ là các giá trị gần đúng nên các đại lƣợng đƣợc tính từ những giá trị đó cũng chỉ gần đúng. Thường giá trị tính là kém chính xác hơn các giá trị đo.

31

Sai số trong một đại lƣợng tính có thể xác định từ các sai số trong mỗi đại lƣợng được dùng trong phép tính. Với sự rất gần đúng người ta có thể dùng các chữ số có nghĩa.

4.3. CÁCH VIẾT KẾT QUẢ

Kết quả cuối cùng bao giờ cũng gồm hai phần: giá trị trung bình và sai số.

Thường sai số được làm tròn còn một chữ số khác không. Tùy theo trường hợp giá trị trung bình cũng được làm tròn ở chữ số cùng bậc với sai số. Người ta viết kết quả trung bình dưới dạng chuẩn hóa để tránh không có các chữ số đứng đầu số.

4.3.1. Sai số trong phép đo gián tiếp 4.3.1.1. Nguyên tắc chung về sai số.

Trong một phép đo gián tiếp, giá trị của một đại lƣợng G đƣợc suy ra các đại lƣợng khác nhau của cùng bản chất hay khác chất G1, G2,…., Gn mà G liên hệ bằng một hàm f, ta viết:

G = f (G1,G2,….,Gn)

Sai số của phép đo G đƣợc suy ra từ các sai số của phép đo các đại lƣợng khác nhau Gi mà kết quả được diễn tả dưới dạng.

(Gi = ± ∆Gi)

Nếu sai số tương đối

i i

G

G

là nhỏ, ta có thể dùng qui tắc các phép tính tích phân để xác định các sai số tuyệt đối hay sai số tương đối của G:

n n

G dG dG f

G dG f G dG f



 

 

 



  2 ...

2 1 1

(4.6)

Các phép đo Gi là độc lập với nhau, nên có thể các sai số cộng với nhau. Giới hạn trên của sai số tuyệt đối của tâm G thu đƣợc bằng cách lấy giá trị tuyệt đối của các đạo hàm.

n n

G G G f

G G f G

G f 



 



 

 

 

 

 2 ...

2 1 1

(4.7)

Trong thực tế phép cộng các giá trị tuyệt đối có khả năng ƣớt tính vƣợt quá sai số, tuy nhiên vẫn chấp nhận đƣợc vì ta có đề cập đến giới hạn trên.

4.3.1.2. Trường hợp G là các hàm tuyến tính của các đại lượng Gi

Giả sử G = f(G1,G2,G3) = k.G1 + k.G2 + k.G3 k1, k2, k3 là các hằng số. Ta có:

1 1

G k f 



 , 2

2

G k f 



 , 3

3

G k f 



 (4.8) Do đó:

3 3 2 2 1

1 G k G k G

k

G     

 (4.9)

32