Chương 2. Nghiệm β− nhớt của phương trình Hamilton-Jacobi
2.2. Nghiệm β− nhớt của phương trình Hamilton - Jacobi
ChoX là không gian Banach thực, X∗ là không gian đối ngẫu của nó. Xét phương trình đạo hàm riêng
F(x, u, Du) = 0 trên Ω, (2.2.7)
trong đó Ω ⊂ X, H : X×R×X∗ → R. Trong trường hợp tổng quát, phương trình (2.2.7) không có nghiệm cổ điển. Nghiệm nhớt của phương trình đã được đề xuất bởi Crandall và Lions [9] để thay thế cho nghiệm cổ điển. Định nghĩa ban đầu của nghiệm nhớt được trình bày trong [9] và [7] trên cơ sở dưới vi phân Fréchet. Trong [[11], [6]], nghiệm β−nhớt được định nghĩa cho phương trình (2.2.7) trên không gian không có chuẩn Fréchet trơn. Ta nhắc lại Định nghĩa dưới đây.
Định nghĩa 2.2.1 (Definition 3.1, [6]). Cho X là một không gian Banach với chuẩn tương đương một chuẩn β−trơn. Một hàm u : Ω → R là nghiệm dưới β−nhớt của phương trình (2.2.7) nếu u là một hàm nửa liên tục trên và với mỗi x ∈ Ω, với mỗi x∗ ∈Dβ+u(x) thì
F(x, u(x), x∗)≤0.
Một hàm u : Ω → R là nghiệm trên β−nhớt của phương trình (2.2.7) nếu u là một hàm nửa liên tục dưới và với mỗi x∈Ω, với mỗi x∗∈D−βu(x), thì
F(x, u(x), x∗)≥0.
Hàm u được gọi là nghiệm β−nhớt của phương trình (2.2.7) nếu u vừa là nghiệm dưới β−nhớt vừa là nghiệm trên β−nhớt của phương trình (2.2.7).
Ví dụ 2.2.1. Xét không gian X =R với borno Fréchet, hàm u= 1−2|x| là nghiệm F−nhớt của phương trình
|u0|= 2. (2.2.8)
Thật vậy, khi x >0 thì u = 1−2x, nên D−Fu(x) =D+Fu(x) = {−2}. Khi x <0 thì u = 1 + 2x, nên DF−u(x) =D+Fu(x) = {2}. Trong cả hai trường hợp thì phương trình (2.2.8) thỏa mãn.
Tại x= 0,ta có thể tính được D−Fu(0) =∅, DF+u(0) = [−2; 2].Theo định nghĩa nghiệm β−nhớt thì u= 1−2|x| là nghiệm F−nhớt của phương trình (2.2.8).
Định lí sau là một kết quả quan trọng trong việc chứng minh tính duy nhất nghiệm của phương trình Hamilton-Jacobi.
Định lí 2.2.1. Cho X là một không gian Banach với chuẩn tương đương với một chuẩn β−trơn. Ω⊂X là một tập mở.
Xét F(x, u, Du) =u+H(x, Du) với H :X×Xβ∗ →R thỏa mãn giả thiết:
(A) với mọi x, y ∈X và x∗, y∗ ∈Xβ∗,
|H(x, x∗)−H(y, y∗)| ≤w(x−y, x∗−y∗) +K.max(kx∗k,ky∗k)kx−yk, trong đó K là hằng số dương và w:X×Xβ∗ →R là hàm liên tục với w(0,0) = 0.
Giả sử u, v là hai hàm xác định, bị chặn và liên tục đều trên Ω. Nếu u là nghiệm β-nhớt dưới v là nghiệm β-nhớt trên của phương trình F(x, u, Du) = 0 và u≤v trên
∂Ω thì u≤v trên Ω.
Chứng minh. Lấy ε là hằng số dương bất kỳ. Theo giả thiết (A) tồn tại η ∈(0, ε) và một lân cận Vβ của 0 trong Xβ∗ sao cho với kx1−x2k<2η và x∗1−x∗2 ∈Vβ thì
|H(x1, x∗1)−H(x2, x∗2)|< ε+K.max(kx∗1k,kx∗2k)kx1−x2k.
Trên X∗, tô pô Fréchet τF là tô pô mạnh nhất trong các tô pô τβ, nên Vβ là một τF− lân cận của 0. Do vậy, tồn tại r >0 (ta có thể giả thiết r > η, nếu không thì ta giảm η) sao cho B(0, r) ⊂Vβ.
Áp dụng Định lí 2.1.2 cho hàmf1=v, f2 =−u tồn tại x1, x2∈Ω, x∗1∈D−βv(x1) và x∗2 ∈Dβ+u(x2) thỏa mãn
(i) kx∗1k.kx1−x2k< ε và kx∗2k.kx1−x2k< ε; (ii) x∗1−x∗2∈B(0, r);
(iii) v(x1)−u(x2)<inf
Ω
(v−u) +ε.
Nếu x1∈∂Ω thì v(x1)−u(x2)≥u(x1)−u(x2), do tính liên tục đều của hàm u nên ta có thể suy ra u(x1)−u(x2) ≥ −ε.
Nếu x2 ∈∂Ω thì v(x1)−u(x2)≥v(x1)−v(x2), do tính liên tục đều của hàm v nên ta có thể suy ra v(x1)−v(x2)≥ −ε.
Trong cả hai trường hợp trên ta đều có được infΩ(v−u) >−2ε. Vì ε >0 bất kỳ nên infΩ(v −u) ≥0.
Nếu x1, x2 ∈Ω thì do u là nghiệm β−nhớt dưới nên ta có F(x2, u(x2), x∗2) =u(x2) +H(x2, x∗2)≤0 và v là nghiệm β−nhớt trên nên ta có
F(x1, v(x1), x∗1) =v(x1) +H(x1, x∗1)≥0. Do đó, với kx1−x2k<2η và x∗1−x∗2 ∈Vβ,
inf
Ω
(v −u)> v(x1)−u(x2)−ε
≥H(x2, x∗2)−H(x1, x∗1)−ε
≥ −(ε+K.max(kx∗1k,kx∗2k)kx1−x2k)−ε
≥ −ε(2 +K). Vì ε >0 bất kỳ nên infΩ(v−u) ≥0hay v ≥u.
Hệ quả 2.2.2. Dưới các giả thiết của Định lí 2.2.1, u, v là hai hàm liên tục đều, bị chặn trên Ω sao cho u = v trên ∂Ω. u, v là hai nghiệm β−nhớt của phương trình F(x, u, Du) = 0 thì u=v trên Ω.
Chứng minh. Nếu u, v là hai nghiệm β−nhớt của phương trình F(x, u, Du) = 0 khi đó:
u là nghiệm dưới β−nhớt, v là nghiệm trên β−nhớt nên theo Định lí 2.2.1 ta có u≤v trên Ω
tương tự v là nghiệm dưới β−nhớt, u là nghiệm trên β−nhớt nên theo Định lí 2.2.1 ta có v ≤u trên Ω. Từ đó ta có u=v trên Ω.
Như vậy ta đã chứng minh được tính duy nhất nghiệm β−nhớt cho phương trình F(x, u, Du) = 0 trong lớp hàm liên tục đều và bị chặn.
PHẦN C. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Đề tài đã đưa ra một số kết quả về β−khả vi, mối quan hệ giữa các β−khả vi khi các borno β có mối quan hệ bao hàm. Đặc biệt là đưa ra mối quan hệ giữa các đạo hàm thường gặp như: Fréchet, Hadamard yếu, Hadamard, Gâteaux. Bên cạnh đó báo cáo cũng đưa ra các ví dụ chỉ ra sự khác nhau giữa các đạo hàm Fréchet, Hadamard yếu, Hadamard, Gâteaux. Tương ứng với khái niệm β−khả vi, ta có khái niệm dưới vi phân β−nhớt, trên vi phân β−nhớt. Báo cáo đã nêu được một số nhận xét về tính chất dưới vi phân thường gặp và mối quan hệ của dưới vi phân thường gặp. Trong các trường hợp đặc biệt của không gian nền X, hoặc hàm số có tính chất Lipschitz, hàm lồi thì một số dưới vi phân trùng nhau.
Báo cáo đã chứng minh được tính duy nhất nghiệm β−nhớt của phương trình Hamilton-Jacobi trong lớp hàm liên tục đều và bị chặn trên tập con mở Ω⊂X. Đây là sự mở rộng cho kết quả được trình bày trong [6], ở đó kết quả được trình bày cho lớp hàm liên tục đều và bị chặn trên toàn không gian X. Tuy nhiên, tính duy nhất nghiệm β−nhớt cho lớp hàm liên tục và không bị chặn cũng như Hamilton H trong phương trình u+H(x, Du) trong đó H phụ thuộc ba ẩn H(x, u, Du) chưa được trình bày. Trong thời gian tới chúng tôi hy vọng rằng sẽ có được những kết quả mới cho các vấn đề quan tâm đó.
Tài liệu tham khảo
[1] Bardi M., Capuzzo-Dolcetta I. (1997), Optimal Control and Viscosity Solutions of Hamilton-Jacobi-Bellman Equations, Birkhauser, Boston. Basel. Berlin.
[2] Borwein J. M. and Zhu Q. J. (1999). A survey of subdifferential calculus with applications. Journal nonlinear analysis, Vol. 38, 687-773.
[3] Borwein J. M., Fabian F. (1993), On convex functions having points of Gâteaux differetiability which are not points of Fréchet differetiability, Canad. J. Math., (45), 1121-1134.
[4] Borwein J. M., Fitzpatrick S. (1993), A weak Hadamard smooth renorming of L1(Ω, à), Canad. Math. Bull., (36), 407-413.
[5] Borwein J. M., Preiss D. (1987), A Smooth variational principle with applications to subdifferentiability and to differetiability of convex functions, Trans. Amer.
Math. Soc., (303), 517-527.
[6] Borwein J. M., Zhu Q. J. (1996), Viscosity solutions and viscosity suderivatives in smooth Banach spaces with applications ta metric reggularity, SIAM J. Control and Optimization, (34), 1568-1591.
[7] Crandall M. G. and Lions P. L. (1985), Hamilton-Jacobi equations in infinite dimensions, I, J. Funct. Anal., (62), 379-398.
[8] Crandall M. G. and Lions P. L. (1986). Hamilton-Jacobi equations in infinite dimensions, II. J. Funct. Anal., 65, 368-405.
[9] Crandall M. G., Lions P.-L. (1983), Viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equa- tions, Trans. Amer. Math. Soc. (277), 1-42.
[10] Deville R., Godefroy G. &Zizler V. (1993), A Smooth variational principle with applications to Hamilton-Jacobi equations in infinite dimensions, J. Functional Analysis, (111), 197-212.
[11] Deville R., Godefroy G. & Zizler V. (1993), Smoothness and Renormings in Ba- nach Spaces, Pitman Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics, (64), J. Wiley & Sons, Inc., New York .
[12] Durea M. (2003), Applications of the Fréchet subdifferential, Serdica Math. J., (29), 301-314.
[13] Gilles Evéquoz, Charles A. S. (2006), On differetiability and bifurcation, Adv.
Math. Econ., (8), 155-184.
[14] Oswaldo González-Gaxiola (2009), A Note on the Derivation of Fréchet and Gâteaux, Applied Mathematical Sciences, 3 (19), 941-947.
[15] Phelps, R. R. (1989), Convex Functions, Monotone Operators and Differentia- bility, Berlin etc., Springer-Verlag, (1364).