Kỵ hiằu Sn l têp tĐt cÊ cĂc ma trên ối xựng nìn. X²t b i to¡n quy ho¤ch to n ph÷ìng:
min 1
2xTA0x+aT0x (QP)
sao cho 1
2xTAix+aTi x+ci ≤ 0, i = 1,2, . . . , m,
trong â Ai ∈ Sn, ai ∈ Rn v ci ∈ R, i = 0,1, . . . , m. Ta °t f(x) := 1
2xTA0x+aT0x;
gi(x) := 1
2xTAix+aTi x+ci, vợi mồi i = 1,2, . . . , m;
S := {x ∈ Rn | gi(x) ≤0, i= 1,2, . . . , m};
L := l : Rn −→ R | l(x) = 1
2xTAx+ bTx, A ∈ Sn, b ∈ Rn . Mằnh ã 2.1.1 Cho h(x) = 1
2xTA∗x + aT∗x + c∗, A∗ ∈ Sn, a∗ ∈ Rn, c∗ ∈ R v x ∈ Rn. Khi â,
∂Lh(x) = 1
2xTAx+bTx
A = A∗ −B, b = a∗ +Bx, B ∈ Sn, B 0
. Chựng minh. GiÊ sỷ l0 ∈ L, vợi
l0(x) = 1
2xTAx+bTx.
Khi õ, l0 ∈ ∂Lh(x) náu v ch¿ náu
l0(x)−l0(x) ≤ h(x)−h(x), (2.1) vợi mồi x ∈ Rn. °t
φ(x) =h(x)−l0(x).
Khi â, ta câ
φ(x) = 1
2xT(A∗ −A)x+ (a∗ −b)Tx+ c∗. Theo (2.1), vợi mồi x ∈ Rn, ta cõ
φ(x) ≥ φ(x).
Suy ra
A∗ −A 0.
Náu khổng, tỗn tÔi x0 ∈ Rn sao cho
xT0(A∗ −A)x0 < 0.
BƠy giớ, vợi k ∈ R, ta cõ φ(kx0) = 1
2(kx0)T(A∗ −A)(kx0) + (a∗ −b)T(kx0) +c∗
= k2
2 u+kv+ c∗, trong â
u := xT0(A∗ −A)x0 < 0 v v := (a∗ −b)Tx0. Tứ u < 0, ta suy ra
φ(kx0) < φ(x)
vợi k cõ |k|ừ lợn, iãu n y l mởt mƠu thuăn. Do A∗−A l mởt ma trên nỷa xĂc ành dữỡng, nản φ l mởt h m lỗi trản Rn. Hỡn nỳa, h m φ Ôt
ữủc cỹc tiºu cừa nõ tÔi x náu v ch¿ náu ∇φ(x) = 0. Tực l , b = a∗ + (A∗ −A)x.
Do õ, l0 ∈ ∂Lh(x) náu v ch¿ náu
A∗ −A 0 v b = a∗ + (A∗ −A)x.
Ta °t B = A∗ −A, khi õ l0 ∈ ∂Lh(x) náu v ch¿ náu
B 0, B ∈ Sn, A = A∗ −B v b = a∗ +Bx.
Mằnh ã ữủc chựng minh.
iãu kiằn ừ cho cỹc tiºu to n cửc cừa b i toĂn quy hoÔch to n phữỡng (QP) ữủc mổ tÊ bði ành lỵ dữợi Ơy.
ành lỵ 2.1.2 (CĂc iãu kiằn ừ cho cĂc cỹc tiºu to n cửc)
Vợi b i toĂn (QP), giÊ sỷ x ∈ S. Náu tỗn tÔi λi ≥0, i= 1, . . . , m sao cho
m
X
i=1
λiAi+A0 0,
m
X
i=1
λiAi +A0
! x+
m
X
i=1
λiai+ a0
!
= 0,
v
m
X
i=1
λigi(x) = 0. (2.2) thẳ x l mởt cỹc tiºu to n cửc cừa b i toĂn quy hoÔch to n phữỡng (QP).
Chựng minh. Theo Mằnh ã 2.1.1 v iãu kiằn (2.2), Êm bÊo rơng
−f ∈ ∂L
m
X
i=1
λigi(x)
v m
X
i=1
λigi(x) = 0.
Do õ, theo Mằnh ã 1.3.3 v Mằnh ã 1.3.2, ta suy ra x l mởt cỹc tiºu to n cửc cừa b i toĂn quy hoÔch to n phữỡng (QP). ành lỵ ữủc chựng minh.
Tiáp theo, ta s³ thĐy rơng (2.2) chẵnh l iãu kiằn cƯn v ừ cho tối ữu to n cửc dữợi tẵnh chĐt-S.
ành lỵ 2.1.3 (CĂc iãu kiằn cƯn v ừ cho cĂc cỹc tiºu to n cửc)
Vợi b i toĂn quy hoÔch to n phữỡng (QP), cho x ∈ S. GiÊ sỷ rơng cĂc r ng buởc thọa mÂn tẵnh chĐt-S tÔi x. Khi õ, x l mởt cỹc tiºu to n cửc cừa b i toĂn (QP) náu v ch¿ náu (2.2) ữủc thọa mÂn.
Chựng minh. Theo Mằnh ã 1.3.6, ta ch¿ cƯn ch¿ ra (1.25) tữỡng ữỡng vợi (2.2). Thêt vêy, ta cõ (1.25) thọa mÂn náu v ch¿ náu tỗn tÔi λ ∈ Rm+
vợi m
X
i=1
λigi(x) = 0 sao cho
−f ∈ ∂L
m
X
i=1
λigi
! (x).
Theo Mằnh ã 2.1.1, −f ∈ ∂LPmi=1λigi(x) náu v ch¿ náu tỗn tÔi C ∈ Sn vợi C 0 sao cho
−A0 =
m
X
i=1
λiAi −C
v
−a0 =
m
X
i=1
λiai +Cx.
Tứ õ, náu iãu kiằn (1.25) thọa mÂn, thẳ ró r ng (2.2) cụng thọa mÂn.
Ngữủc lÔi, giÊ sỷ cõ iãu kiằn (2.2). Khi õ, tứ
−A0 =
m
X
i=1
λiAi − A0 +
m
X
i=1
λiAi
!
v
−a0 =
m
X
i=1
λiai + A0 +
m
X
i=1
λiAi
! x, ta câ
m
X
i=1
λigi(x) = 0 v −f ∈ ∂L
m
X
i=1
λigi
! (x).
Suy ra (1.25) ữủc thọa mÂn. ành lỵ ữủc chựng minh ho n to n.
Nhên x²t 2.1.4 Tứ ành lỵ 1.3.7, ta thĐy rơng cĂc r ng buởc thọa mÂn tẵnh chĐt-S náu v ch¿ náu (2.2) thọa mÂn vợi mội f ∈ L v vợi mồi cỹc tiºu x cừa f trản S.
Mởt cổng cử rĐt quan trồng trong lỵ thuyát iãu khiºn v trong giÊi tẵch tối ữu hõa mÔnh, õ l Bờ ã S. Nõ ữa ra cĂc iãu kiằn Êm bÊo tẵnh chĐt-S cho mởt trữớng hủp to n phữỡng khổng lỗi.
Bờ ã 2.1.5 ([3], Mằnh ã 4.10.1 ) (Bờ ã S khổng thuƯn nhĐt) Cho f, g1 : Rn −→R l cĂc h m to n phữỡng ữủc ành nghắa bði
f(x) = 1
2xTAx+aTx+c0, g1(x) = 1
2xTBx+bTx+c1,
vợi A, B ∈ Sn;a, b ∈ Rn v c0, c1 ∈ R. GiÊ sỷ rơng tỗn tÔi x0 ∈ Rn sao cho g1(x0) < 0. Khi â, c¡c kh¯ng ành sau l t÷ìng ÷ìng:
(a) g1(x) ≤ 0 =⇒ f(x) ≥ 0.
(b) (∃λ ≥ 0) (∀x ∈ Rn) f(x) +λg1(x) ≥ 0.
ành lỵ 2.1.6 Vợi b i toĂn (QP), cho m = 1. GiÊ sỷ rơng, tỗn tÔi x0 ∈ Rn sao cho g1(x0) < 0. Khi õ, r ng buởc thọa mÂn tẵnh chĐt-S v (2.2) vợi m = 1, l iãu kiằn cƯn v ừ cho tối ữu to n cửc tÔi x.
Chựng minh. º ỵ rơng, NL,S(x) ⊃ [
à1∈R+
∂L(à1g1)(x) à1g1(x) = 0 .
º ch¿ ra chiãu ngữủc lÔi, ta lĐy l ∈ NL,S(x). Khi õ, vợi mội y ∈ S, ta cõ l(x)−l(y) ≥0.
Theo Bờ ã S, tỗn tÔi λ ≥ 0 sao cho
l(y)−l(x) ≤ λg1(y).
vợi mồi y ∈ Rn. Tứ õ, ta nhên ữủc
λg1(x) = 0 v l ∈ ∂Lλg1(x).
Hỡn nỳa, tối ữu to n cửc tÔi x ữủc suy ra tứ ành lỵ 2.1.3. ành lỵ ữủc chùng minh.
Mởt giÊi thẵch vã Bờ ã S khổng thuƯn nhĐt cho trữớng hủp m = 2
 ữủc ữa ra trong [22] vợi cĂc giÊ thiát thảm v o. Tuy nhiản, Bờ ã S khổng thuƯn nhĐt cho trữớng hủp tờng quĂt a bĐt ¯ng thực m >2 văn cỏn º mð ([3], [5], [27]). iãu n y cho ta thĐy cĂi nhẳn sƠu hỡn lỵ do vẳ sao cĂc iãu kiằn tối ữu cƯn v ừ cho cĂc cỹc tiºu to n cửc lÔi ỏi họi mởt giÊ thiát thảm v o nhữ l tẵnh chĐt-S, ữủc sỷ dửng trong ành lỵ 2.1.3 cho cỹc tiºu to n phữỡng vợi hỡn mởt r ng buởc to n phữỡng.
2.2 °c trững cừa Bờ ã S v chẵnh quy hõa khổng iãu kiằn Slater
Trong mửc n y, trữợc tiản luên vôn s³ trẳnh b y cĂc °c trững cừa Bờ
ã S v ối ngău Lagrange cho tối ữu to n phữỡng trản mởt r ng buởc
to n phữỡng thổng qua iãu kiằn Slater. V tiáp õ l chẵnh quy hõa Bờ
ã S khổng iãu kiằn Slater.
ành lỵ 2.2.1 (°c trững cừa Bờ ã S) Cho g l mởt h m to n phữỡng khổng l ỗng nhĐt khổng. GiÊ sỷ rơng [g ≤ 0] 6= ∅. Khi õ, cĂc kh¯ng ành sau l t÷ìng ÷ìng:
(a) Vợi mội h m to n phữỡng f : Rn −→ R,
[g(x) ≤ 0 =⇒f(x) ≥ 0] ⇐⇒ (∃λ ≥ 0)(∀x ∈ Rn) f(x) +λg(x) ≥0.
(b) S
λ≥0epi(λg)∗ l mởt têp õng trong Rn+1. (c) Tỗn tÔi x0 ∈ Rn sao cho g(x0) < 0.
Chùng minh. [(a) =⇒ (b)] Cho (u, α) ∈ clSλ≥0epi(λg)∗. Khi â, tỗn tÔi cĂc dÂy {uk} ⊂ Rn v {αk},{λk} ⊂ R sao cho
k−→∞lim uk = u v lim
k−→∞αk = α, vợi mồi k, λk ∈ R+,(uk, αk) ∈ epi(λkg)∗. Do õ
(λkg)∗(uk) ≤ αk. Mởt cĂch tữỡng ữỡng, vợi mội x ∈ Rn, thẳ
uTkx−λkg(x) ≤ αk.
BƠy giớ, vợi mồi x ∈ Rn, ta cõ g(x) ≤ 0, λkg(x) ≤ 0, v vẳ thá
uTkx ≤αk. Tiáp theo, cho k −→ ∞, ta ữủc
−uTx+α ≥0.
°t f(x) = −uTx+ α ≥ 0. Khi õ f l mởt h m to n phữỡng. Th nh thỷ, theo giÊ thiát tỗn tÔi à≥ 0 sao cho
−uTx+α +àg(x) ≥0.
Suy ra
uTx−àg(x) ≤ α.
Tứ õ, ta cõ
(àg)∗(u) ≤α.
iãu n y k²o theo
(u, α) ∈ epi(àg)∗ ⊂ [
λ≥0
epi(λg)∗. Suy ra têp S
λ≥0epi(λg)∗ l âng.
[(b) =⇒ (c)] Cho g(x) =xTBx+bTx+β, trong â B ∈ Sn, b ∈ Rn v β ∈ R. GiÊ sỷ ngữủc lÔi rơng g(x) ≥ 0 vợi mồi x ∈ Rn. Khi õ, g l mởt h m lỗi. Náu khổng thẳ B khổng l nỷa xĂc ành dữỡng. Khi n y, tỗn tÔi v0 sao cho vT0Bv0 < 0. Vẳ thá
g(γv0) −→ −∞ khi γ −→ ∞, những iãu n y khổng thº xÊy ra vẳ g(x) ≥ 0. Do vêy
[g ≤ 0] = [g = 0] :={x ∈ Rn : g(x) = 0} 6= ∅.
Vẳ g l lỗi v nõ chựa giĂ trà cỹc tiºu cừa nõ tÔi mội iºm cừa [g = 0], [g ≤ 0] ={x : ∇g(x) = 0} = {x : 2Bx+b = 0}. (2.3) Gi£ sû x ∈ [g = 0], khi â
∇g(x) = 0 v [g ≤0] = x+ KerB.
M°t khĂc, tứ (b) v (1.6) ta cõ N[g≤0](x) = [
λ≥0,λg(x)=0
{λ∇g(x)} = [
λ≥0
{λ∇g(x)} = {0}. (2.4) LÔi tứ (2.4) v (2.3) cho ta
{0}= N[g≤0](x) =Nx+KerB(x) = (KerB)◦.
Tứ õ, ta cõ KerB = Rn. K²o theo B = 0. Khi õ g(x) = bTx+β ≥ 0,
trong khi [g ≤ 0] 6= ∅, vẳ thá ta thu ữủc b = 0 v β = 0. Suy ra g ≡ 0. iãu n y l mởt mƠu thuăn.
[(c) =⇒ (a)] iãu n y luổn thọa mÂn nhớ Bờ ã S.
Nhữ mởt ựng dửng cừa ành lỵ 2.2.1, ành lỵ sau Ơy nõi án °c trững cừa ối ngău Lagrange cho mởt cỹc tiºu to n phữỡng trản mởt r ng buởc to n phữỡng ỡn thổng qua iãu kiằn Slater.
ành lỵ 2.2.2 GiÊ sỷ rơng g l mởt h m to n phữỡng khổng l ỗng nhĐt khổng. Khi õ, cĂc kh¯ng ành sau l tữỡng ữỡng:
(a) Vợi mội h m to n phữỡng f,
inf{f(x) : g(x) ≤ 0}= max
λ≥0 min
x∈Rn
{f(x) +λg(x)}.
(b) Tỗn tÔi x0 ∈ Rn sao cho g(x0) < 0.
Chựng minh. [(a) =⇒ (b)] GiÊ sỷ rơng iãu kiằn Slater khổng thọa mÂn. Khi õ, theo ành lỵ 2.2.1, thẳ tỗn tÔi mởt h m to n phữỡng f0 : Rn −→R sao cho
g(x) ≤ 0 =⇒ f0(x) ≥0, v tỗn tÔi x0 ∈ Rn sao cho
f0(x0) +λg(x0) < 0, ∀λ ≥ 0.
iãu n y k²o theo
inf{f0(x) : g(x) ≤ 0} ≥ 0 v
maxλ≥0 min
x∈Rn
{f0(x) +λg(x)} < 0, những iãu n y mƠu thuăn vợi kh¯ng ành (a).
[(b) =⇒ (a)] Trữợc hát, ta º ỵ rơng bĐt ¯ng thực ối ngău yáu dữợi
¥y
inf{f(x) : g(x) ≤ 0} ≥ max
λ≥0 min
x∈Rn
{f(x) + λg(x)}
luổn ữủc thọa mÂn. Náu
r := inf{f(x) : g(x) ≤ 0}= −∞,
thẳ (a) thọa mÂn mởt cĂch tƯm thữớng. Khổng mĐt tẵnh tờng quĂt, ta giÊ
sỷ rơng
r = inf{f(x) : g(x) ≤ 0}> −∞.
Khi â
g(x) ≤ 0 =⇒f(x)−r ≥ 0.
Theo ành lỵ 2.2.1, tỗn tÔi λ ≥ 0 sao cho
f(x) +λg(x) ≥r, ∀x ∈ Rn. Do â, ta câ
maxλ≥0 min
x∈Rn
{f(x) +λg(x)} ≥ min
x∈Rn
{f(x) +λg(x)} ≥ r.
Tứ õ, ta thu ữủc
inf{f(x) : g(x) ≤ 0}= max
λ≥0 min
x∈Rn
{f(x) + λg(x)}.
ành lỵ ữủc chựng minh ho n to n.
Vẵ dử sau ch¿ ra rơng Bờ ãS khổng thọa mÂn do thiáu iãu kiằn Slater.
Tuy nhiản, mởt số dÔng chẵnh quy hõa cừa Bờ ã S văn thọa mÂn.
Vẵ dử 2.2.3 Cho f(x) =−2x v g(x) = x2. Khi õ, hiºn nhiản g(x) ≤ 0 =⇒ f(x) ≥0.
Những khổng tỗn tÔi λ ≥0 sao cho f(x) +λg(x) ≥0 vợi mồi x ∈ R, vẳ f(x) +λg(x) =−2x+λx2 = x(λx−2),
vợi bĐt ký λ ≥ 0. Vẳ thá, Bờ ã S khổng thọa mÂn. Tuy nhiản, dÔng chẵnh quy hõa cừa Bờ ã S sau văn thọa mÂn.
(1) (∃{λk} ⊆ R+) d(Hf +λkHg, S+n+1) −→ 0.
(2) (∀ε > 0) (∃λε ≥ 0) (∀x ∈ Rn) f(x) +λεg(x) +ε(kxk2 + 1) ≥ 0.
Thêt vêy, vợi mội k ∈ N, lĐy λk = k v
Ak :=
2k −1
−1 2 k
∈ S+2. Khi â
Hf +λkHg = 2k −1
−1 0
!
v
d(Hf +λkHg, S+2) ≤ k(Hf +λkHg)−Akk = 2
k −→0.
Do õ, (1) thọa mÂn. º ch¿ ra (2), lĐy ε > 0, chồn λε = 2 1
ε −ε
náu ε ∈ (0,1), v λε = 1 náu ε≥ 1. Khi õ, vợi mội ε ∈ (0,1), ta cõ
f(x) + λεg(x) +ε(|x|2 + 1) = −2x+ 2
ε −ε
x2 +ε
= 2
ε −ε x− ε 2−ε2
2
+ ε(1−ε2) 2−ε2 ≥ 0, v vợi mội ε ≥ 1, ta cõ
f(x) +λεg(x) +ε(|x|2 + 1) = −2x+ (1 +ε)x2 +ε
= (1 +ε)
x− 1 1 +ε
2
+
ε− 1 1 +ε
≥0.
Tiáp theo, ta s³ thiát lêp mởt lới giÊi thẵch chẵnh quy hõa cừa Bờ ã S cho ph²p cĂc ựng dửng khổng iãu kiằn Slater.
X²t hai h m to n phữỡng khổng thuƯn nhĐt f, g : f(x) =xTAx+aTx+α,
g(x) =xTBx+bTx+β, trong â A, B ∈ Sn, a, b ∈ Rn, α, β ∈ R.
Bờ ã 2.2.4 ([16]) Cho f, g : Rn −→ R l cĂc h m to n phữỡng vợi [g ≤0] 6= ∅. Khi â, c¡c kh¯ng ành sau l t÷ìng ÷ìng:
(a) (∃{λk} ⊆ R+)d(Hf +λkHg, S+n+1) −→0.
(b) (∀ε > 0)(∃λε ≥0)(∀x ∈ Rn)f(x) +λεg(x) + ε(kxk2 + 1) ≥ 0.
Chựng minh. [(a) =⇒ (b)] GiÊ sỷ rơng (a) thọa mÂn. LĐy ε > 0. Khi õ, tỗn tÔi λε ≥ 0 sao cho
d(Hf +λεHg, S+n+1) ≤ε.
Do õ, tỗn tÔi Aε ∈ S+n+1 sao cho
k(Hf +λεHg)−Aεk ≤ ε.
iãu n y k²o theo f(x) + λεg(x) = x
1
!T
(Hf +λεHg) x 1
!
= x
1
!T
((Hf +λεHg)−Aε) x 1
!
+ x
1
!T
Aε x 1
!
≥ −ε(kxk2 + 1).
Suy ra (b) thọa mÂn.
[(b) =⇒ (a)] GiÊ sỷ rơng (b) thọa mÂn. LĐy εk = 1
k, k ∈ N. Khi â, tỗn tÔi λk ⊆ R+ sao cho
f(x) +λkg(x) +εk(kxk2 + 1) ≥ 0, vợi mội x ∈ Rn. iãu n y k²o theo
Hf +λkHg +εkIn+1 0.
Th nh thû
d(Hf +λkHg, S+n+1) ≤ kεkIn+1k.
Cuối cũng, qua giợi hÔn khi k −→ ∞, ta cõ ngay kh¯ng ành (a). Bờ ã
ữủc chựng minh.
ành lỵ 2.2.5 (Chẵnh quy hõa Bờ ã S) Cho f, g : Rn −→ R l cĂc h m to n phữỡng vợi [g ≤ 0] 6= ∅. Khi õ, cĂc kh¯ng ành sau l tữỡng
֓ng:
(a) g(x) ≤0 =⇒f(x) ≥ 0.
(b) (∀ε > 0)(∃λε ≥0)(∀x ∈ Rn)f(x) +λεg(x) + ε(kxk2 + 1) ≥ 0.
Chựng minh. [(b) =⇒ (a)] LĐy x ∈ [g ≤ 0] v ε > 0. Khi õ, tỗn tÔi λε ≥ 0 sao cho
f(x) ≥λεg(x)−ε(kxk2 + 1) ≥ −ε(kxk2 + 1).
Cho ε −→ 0, ta thu ữủc f(x) ≥ 0. Do õ, ta cõ kh¯ng ành (a).
[(a) =⇒ (b)] Ta x²t hai trữớng hủp sau:
Trữớng hủp 1. Cho f, g l cĂc h m thuƯn nhĐt ữủc ành nghắa bði f(x) = xTAx v g(x) = xTBx,
trong â A, B ∈ Sn. Náu n = 2, thẳ ta cõ
(0,0) ∈ {(f/ (x), g(x)) : x ∈ R2}+ intR+ ×R+
(náu khổng thẳ tỗn tÔi x0 sao cho f(x0) < 0 v g(x0) ≤ 0, iãu n y mƠu thuăn vợi (a)). Khi õ, theo Bờ ã 1.1.9, ta cõ
(0,0) ∈ {(A/ ãX, B ãX) : X ∈ S+2}+ intR+ìR+. M°t kh¡c, ta câ
X ∈ S+2, B ãX ≤ 0 =⇒AãX ≥ 0.
iãu n y k²o theo
−A ∈ {X ∈ S+2 : BãX ≤ 0}◦.
Tứ (1.1) chú ỵ rơng
{X ∈ S+2 : BãX ≤ 0}◦ = −S+2 + [
λ≥0
λB.
BƠy giớ, vợi mội ε > 0, tỗn tÔi λε ≥0 v Pε ∈ S+2 sao cho k(A+ λεB)−Pεk ≤ ε.
Do õ, vợi mồi x ∈ Rn, ta cõ
f(x) +λεg(x) = xT(A+λεB)x
= xTPεx+ xT((A+λεB)−Pε)x
≥ −εkxk2. Suy ra (b) thọa mÂn trong trữớng hủp n y.
Náu n 6= 2, thẳ ta ành nghắa mởt têp V ⊆ R2 nhữ sau:
V := {(f(x), g(x)) | kxk = 1}+R2+. Khi õ, V l mởt têp lỗi õng. Thêt vêy, náu n= 1 thẳ
{(f(x), g(x)) | kxk = 1}
l mởt têp ỡn phƯn tỷ. Hiºn nhiản, khi õV l têp õng v lỗi. Náun ≥ 3, tứ Bờ ã 1.1.8 ta suy ra V cụng l têp õng v lỗi, do tờng Minkowski cừa mởt têp lỗi compact v mởt têp lỗi õng l õng v lỗi.
Tiáp theo, ta cố ành ε > 0. Khi õ (−ε,0) ∈ V/ . Náu khổng thẳ tỗn tÔi kx0k = 1 sao cho
(x0) ≤ −ε < 0 v g(x0) ≤ 0,
iãu n y mƠu thuăn vợi (a). Khi õ, theo ành lỵ tĂch ch°t, tỗn tÔi r ∈ R,(λ1, λ2) ∈ R2 \ {(0,0)} sao cho vợi mồi (a1, a2) ∈ V ta cõ
−λ1ε < r < λ1a1 +λ2a2.
°c biằt, ta cõ (λ1, λ2) ∈ R2+\ {(0,0)} v vợi mồi x ∈ Rn m kxk= 1, ta câ
−λ1ε < r < λ1f(x) +λ2g(x). (2.5)
Tiáp án, ta s³ ch¿ ra rơng tỗn tÔi λε ≥ 0 sao cho
A+λεB +εIn 0. (2.6)
M iãu n y cho ta
f(x) +λεg(x) +εkxk2 ≥0, vợi mồi x ∈ Rn. Suy ra (b) thọa mÂn.
Ta x²t hai trữớng hủp:
Trữớng hủp 1.1. Náu λ1 = 0, thẳ λ2 > 0. Tứ (2.5), vợi mội x ∈ Rn m kxk= 1, ta câ
xTBx = g(x) > r
λ2 > 0.
Suy ra B l ma trên xĂc ành dữỡng v do õ tỗn tÔi λ0 (ừ lợn) sao cho A+λ0B 0.
Do õ, kát luên thọa mÂn khi ta chồn λε = λ0.
Trữớng hủp 1.2. GiÊ sỷ rơng λ1 > 0. Tứ (2.5), vợi mồi x ∈ Rn m kxk= 1, ta câ
0 ≤ λ1f(x) +λ2g(x) +λ1ε
= λ1f(x) +λ2g(x) +λ1εkxk2. Suy ra
f(x) + λ2 λ1
g(x) +εkxk2 ≥0, vợi mồi x ∈ Rn. °t λε = λ2
λ1 ta thu ữủc A+λεB +εIn 0.
Trữớng hủp 2. GiÊ sỷ rơng
f(x) =xTAx+aTx+α, g(x) =xTBx+bTx+β.
X²t cĂc h m thuƯn nhĐt dữợi Ơy trản Rn+1, tữỡng ựng ữủc sinh ra tứ f v g:
f(x, ρ) = xTAx+ρaTx+ρ2α = x ρ
!T
Hf x ρ
!
, (2.7)
g(x, ρ) = xTBx+ρbTx+ρ2β = x ρ
!T
Hg x ρ
!
. (2.8)
Tiáp theo, ta kát luên rơng
g(x, ρ) ≤ 0 =⇒ f(x, ρ) ≥ 0.
Theo Trữớng hủp 1, ta thu ữủc
(∀ε > 0),(∃λε ≥ 0)(∀(x, ρ) ∈ Rn+1)f(x, ρ) +λεg(x, ρ)+
+ ε
2(k(x, ρ)k2 + 1) ≥ 0.
Cho ρ = 1, ta ữủc
(∀ε > 0),(∃λε ≥ 0)(∀x ∈ Rn)f(x) +λεg(x) ≥ −ε
2(kxk2 + 2)
≥ −ε(kxk2 + 1).
Suy ra (b) thọa mÂn.
GiÊ sỷ rơng tỗn tÔi (x0, ρ0) ∈ Rn ìR sao cho
f(x0, ρ0) < 0 v g(x0, ρ0) ≤0.
Náu ρ 6= 0, thẳ
f x0
ρ0
= ρ−20 f(x0, ρ0) < 0 v
g x0
ρ0
= ρ−20 g(x0, ρ0) ≤ 0, iãu n y mƠu thuăn vợi giÊ thiát (a).
Náu ρ = 0, thẳ
xT0Ax0 < 0 v xT0Bx0 ≤ 0.
Tiáp án, cố ành x sao cho g(x) ≤ 0. Vợi mồi t ∈ R, ta cõ f(tx0 +x) =t2xT0Ax0 + 2t(a+Ax)Tx0 + f(x) v
g(tx0 + x) =t2xT0Bx0 + 2t(b+Bx)Tx0 +g(x).
BƠy giớ, ta lÔi chia th nh hai trữớng hủp:
Trữớng hủp 2.1. (b+Bx)Tx0 ≤0. Tứ xT0Ax0 < 0, vợi mồi t > 0 ừ lợn, ta câ
f(tx0 +x) < 0.
M°t khĂc, tứ xT0Bx0 ≤0,(b+Bx)Tx0 ≤ 0 v g(x) ≤ 0, ta cõ g(tx0 +x) =t2xT0Bx0 + 2t(b+Bx)Tx0 +g(x) ≤ 0.
iãu n y mƠu thuăn vợi (a).
Trữớng hủp 2.2. (b+Bx)Tx0 ≥0. Khi õ, tữỡng tỹ ta x²t iºm −tx0+x vợi t > 0 ừ lợn. Ta thu ữủc
f(−tx0 +x) < 0 v g(−tx0 +x) ≤ 0,
iãu n y cụng mƠu thuăn vợi kh¯ng ành (a). ành lỵ ữủc chựng minh ho n to n.
Nhữ ta s³ thĐy, trong hằ quÊ dữợi Ơy, náu trong ành lỵ 2.2.5 ta giÊ
thiát thảm rơng iãu kiằn Slater thọa mÂn, thẳ chẵnh quy hõa Bờ ã S thu gồn lÔi th nh Bờ ã S chuân.
Hằ quÊ 2.2.6 (Bờ ã S) Cho f, g : Rn −→ R l cĂc h m to n phữỡng,
ữủc ành nghắa bði f(x) = xTAx + aTx+ α v g(x) = xTBx + bTx+ β, A, B ∈ Sn, a, b ∈ Rn v α, β ∈ R. Cho Hf, Hg ữủc ành nghắa nhữ
trong (1.7). GiÊ sỷ rơng [g ≤ 0] 6= ∅ v tỗn tÔi x0 ∈ Rn sao cho g(x0) < 0. Khi â, c¡c kh¯ng ành sau l t÷ìng ÷ìng:
(a) g(x) ≤0 =⇒f(x) ≥ 0.
(b) (∃λ ≥0) f(x) +λg(x) ≥0.
(c) (∃λ ≥ 0)Hf +λHg 0.
(d) (∀ε > 0)(∃λε ≥0)(∀x ∈ Rn)f(x) +λεg(x) + ε(kxk2 + 1) ≥ 0.
Chựng minh. Theo Bờ ã 2.2.4, ta cõ (b) ⇐⇒ (c) v (c) =⇒ (d). Hỡn núa, theo ành lþ 2.2.5 ta câ (a) ⇐⇒ (d). Do â, ta ch¿ c¦n ch¿ ra (d) =⇒ (c).
[(d) =⇒ (c)] GiÊ sỷ ta cõ kh¯ng ành (d). Theo Bờ ã 2.2.4, thẳ
∃{λk} ⊆ R+, d(Hf +λkHg, S+n+1) −→ 0.
iãu n y k²o theo
Hf ∈ S+n+1 + [
λ≥0
λ(−Hg).
Tiáp theo, ta s³ ch¿ ra rơng S+n+1 +Sλ≥0λ(−Hg) l têp õng. Thêt vêy, ta °t
Zk = Pk +λk(−Hg)
Vợi Zk −→Z, trong õ Pk ∈ S+n+1 v λk ≥0. Vợi x0 ∈ Rn, ta lĐy
X0 = x0 1
! x0 1
!T
. Khi â
0≤ x0 1
!T
Pk x0 1
!
= Pk ãX0
= (Zk+λkHg)ãX0
= Zk ãX0 + λkg(x0).
Tứ g(x0) < 0, suy ra
0≤ λk ≤ Zk ãX0
−g(x0).
Do Zk −→Z v vẳ thá nõ bà ch°n, nản λk bà ch°n. Bơng cĂch chuyºn qua d¢y con, ta câ
λk −→ λ0 ≥ 0.
Tứ õ
Pk = Zk +λkHg −→ Z + λ0Hg ∈ S+n+1,
v do â ta câ
Z = (Z + λ0Hg) +λ0(−Hg) ∈ S+n+1 + [
λ≥0
λ(−Hg).
Suy ra têp S+n+1+ Sλ≥0λ(−Hg) l õng. Th nh thỷ Hf ∈ S+n+1 + [
λ≥0
λ(−Hg).
Khi õ, tỗn tÔi λ ≥ 0 sao cho
Hf +λHg 0.
Hằ quÊ ữủc chựng minh.