Một câu hỏi thường gặp trong tính chất đại số là tồn tại tính kế thừa bởi tổng trực tiếp hoặc hạng tử trực tiếp hay không. Và kết quả chỉ ra rằng hạng tử trực tiếp của môđun Baer có tính kế thừa.
Định lý 2.3.1. Cho M là môđun Baer. Khi đó với mỗi hạng tử trực tiếp N của M cũng là môđun Baer.
Chứng minh. Theo Mệnh đề 2.1.1, ta có M thoả mãn tính chất SSIP và Kerϕ ≤⊕ M,∀ϕ ∈ S. Vì ∀P ≤⊕ N trong đó N ≤⊕ M, P ≤⊕ M, thì rõ ràng N thoả mãn tính chất SSIP.
Với ψ ∈ End(N) có thể mở rộng ψ thành một tự đồng cấu của M, bằng cách lấy ψ = ψπN : M → N ⊆ M với πN là phép chiếu chính tắc lên N.
Ta có Kerψ ≤⊕ M mặt khác Kerψ = N0⊕Kerψ, dễ dàng kiểm tra điều này (cho M = N ⊕ N0). Điều này cho thấy Kerψ ≤⊕ N (sử dụng tính chất SSIP). Như vậy, N thoả mãn các điều kiện của Mệnh đề 2.1.1, do đó N là môđun Baer.
Chúng ta thấy rằng hạng tử trực tiếp của bất kì vành Baer là môđun Baer giống như R-môđun phải.
Hệ quả 2.3.1. Cho R là vành Baer với e2 = e∈ R là luỹ đẳng bất kì của R. Khi đó M = eR là một môđun Baer.
Từ đây cho chúng ta nhiều ví dụ về môđun Baer.
Dựa vào kết quả trên, chúng ta có thể mô tả tất cả các môđun Baer trong một lớp Z-môđun hữu hạn sinh.
Mệnh đề 2.3.1. Một Z-môđun hữu hạn sinh M là Baer nếu và chỉ nếu M là nửa đơn hoặc không xoắn.
Chứng minh. Nếu M là nửa đơn thì M rõ ràng là Baer. Nếu M là hữu hạn sinh và không xoắn thì M ∼= Zn, khi n ∈ N; Zn là mở rộng và không suy biến, theo Định lý 2.2.2 nó là Baer.
Tiếp theo giả sử M là hữu hạn sinh và Baer. Ta có thể phân tích M = t(M)⊕f(M) khi t(M) là môđun con xoắn của M và f(M) là môđun con không xoắn của M. Giả sử t(M) 6= 0 và f(M) 6= 0 theo [6, Định lý 8.4], t(M) ∼= Lp∈P Zpn(p) trong đó P ⊆ Z là tập các số nguyên tố hữu hạn (p) ∈ N,∀p∈ P và f(M) ∼= Zn, 0 6= n ∈ N.
Cho p0 là số nguyên tố thì n(p0) 6= 0 và ϕ : Z → Z
pn(p0 0) là đồng cấu được xác định bởi ϕ(x) = ˆx, x ∈ Z. Ker(ϕ) là môđun con của Z, do đó Ker(ϕ) là cốt yếu trong Z. Mở rộng ϕ thành ϕ là tự đồng cấu của M, trong đó ϕ = ϕ(πp0), πpo là phép chiếu chính tắc của M trên Zpn(po 0). Hạt nhân Ker(ϕ) ≤e M. Mặt khác Ker(ϕ) 6= M. Suy ra M không phải là Baer (mâu thuẫn).
Vậy t(M) = 0 hoặc f(M) = 0.
Tiếp theo, giả sử f(M) = 0 thì M = t(M) là tổng trực tiếp của các môđun họ Zpn(p), trong đó p là số nguyên tố và n(p) ∈ N. Vì vậy, Zpn(p) là môđun Baer theo Định lí 2.3.1. Giả sử tồn tại một số nguyên tố p sao cho n(p) > 1. Với Zpn(p), ta đặt ϕ(ˆx) = pˆx : Zpn(p) → Zpn(p). Đồng cấu ϕ 6= 0 (pãˆ1 = ˆp 6= ˆ0 trong đú n(p) > 1); Ker(ϕ) 6= 0 (pãpn(ˆp)−1 = pn(p)ˆ = ˆ0) và khi Zpn là đều vàKer(ϕ) không thể là hạng tử. Do đó Zpn(p) không phải là môđun Baer, mâu thuẫn. Vậy t(M) = LP Zp với P ⊆ Z là tập hữu hạn các số nguyên tố.
Cuối cùng, giả sử t(M) = 0, khi đó M = f(M) ∼= Zn. Vậy nó là môđun Baer (theo Ví dụ 2.1.1).
Nhận xét 2.3.1. Kết quả của Mệnh đề 2.3.1 đúng với bất kỳ môđun hữu
hạn sinh trên bất kì miền iđêan chính thay được của Z.
Tiếp theo, chúng tôi đưa ra môđun Baer không phân tích được trên vành tuỳ ý.
Định lý 2.3.2. M là môđun Baer không phân tích được khi và chỉ khi
∀06= ϕ∈ End(M), thì ϕ là đơn cấu.
Chứng minh. Cho M không phân tích được và 0 6= ϕ ∈ End(M). M là Baer, Ker(ϕ) ≤⊕ M. Do đó Ker(ϕ) = 0 hoặc Ker(ϕ) =M. Vì ϕ6= 0 ta khẳng định ϕ là đơn cấu.
Ngược lại, giả sử M phân tích được, suy raM = M1⊕M2 với M1, M2 6= 0. Lấy ϕ = π1 là phép chiếu chính tắc của M lên M1; Ker(ϕ) =M2 là thoả mãn (mâu thuẫn). Điều kiện để M là Baer, rõ ràng.
Định lí 2.3.2, giúp chúng tôi đưa ra các vấn đề sau đây:
Định nghĩa 2.3.1. Một môđun M được gọi là môđun mono-endo nếu tất cả tự đồng cấu khác không là đơn cấu hoặc tương đương với bất kì tự đồng cấu ϕ của M, thì Kerϕ là M hoặc 0.
Mệnh đề 2.3.2. Cho M là một môđun mono-endo. Khi đó,∀ϕ ∈ End(M), bất kỳ đồng cấu ϕ được xác định theo ảnh của ϕ của một phần tử 0 6= m ∈ M. Cuối cùng, nhúng End(M) vào tập {m ∈ M | rR(m) ⊇ rR(m0)}, trong đó 0 6= m0 ∈ M tuỳ ý.
Chứng minh. Cho0 6= m0 ∈ M. Giả sử tồn tạiϕ1, ϕ2 ∈ End(M), ϕ1(m0) = ϕ2(m0). Lấy ψ =∈ End(M). Khi đó m0 ∈ Ker(ϕ1 − ϕ2) 6= 0, ta có ϕ1 −ϕ2 = 0 (theo Định lí 2.3.2).
Tóm lại, bất kì đồng cấu ϕ được xác định duy nhất bởi ảnh tại m0. Vì m0 tồn tại một ánh xạ nào đó vào một phần tử với linh hoá tử phải lớn nhất trong R.
Chú ý 2.1. Nếu có một phần tử duy nhất với linh hoá tử tối thiểu trong R thì môđun mono-endo sẽ thành môđun iso-endo, cho tất cả tự đồng cấu khác 0 là đẳng cấu.
Khi thảo luận về tính phân tích được của môđun một câu hỏi được đặt ra là: tính phân tích được có thể trở thành tính không phân tích được hay không. Chúng ta có tính phân tích được, được biết dưới giả thiết của vành Noethe hoặc Artin. Nếu phép phân tích được tồn tại như vậy (nó là hữu hạn phải trong trường hợp này) chúng ta có kết quả sau đây:
Mệnh đề 2.3.3. Nếu môđun Baer có thể phân tích được thành tổng trực tiếp hữu hạn của hạng tử không phân tích được thì bất kì tổng trực tiếp phân tích được là hữu hạn.
Chứng minh. LấyM = M1⊕M2⊕ã ã ã⊕Mntrong đún ∈ Nlà tổng trực tiếp hữu hạn phân tích được. Giả sử M cũng phân tích được vì M = Li∈INi. Cho 0 6= mj ∈ Mi, j ∈ 1ã ã ãn. Khi đú, mj = Pi∈I
j ni, trong đó Ij là một tập con hữu hạn nào đú củaI,∀j ∈ 1ã ã ãn. Mặt khỏc,Mj∩(Li∈I
jNi) 6= 0; Hơn nữa, theo Mệnh đề2.1.1phép giao này là hạng tử trực tiếp củaMj, nên không phân tích được, do đó Mj ∩(Li∈IjNi) =Mj ⇒Mj ⊆ (Li∈Ij Ni). Mặt khỏc M = M1⊕M2⊕ ã ã ã ⊕Mn,⊆Li∈I
1∪...∪In Ni, do đó chúng ta có đẳng thức. Nhưng hợp của I1,ã ã ã ,In là tập hữu hạn, nờn chỉ cú một tập Ni 6= 0, với i ∈ I.
Tính chất của K-không suy biến và K-đối không suy biến được chúng tôi chứng minh dễ dàng dựa trên hạng tử trực tiếp, từ đó chúng ta có thể trả lời các câu hỏi trước đây.
Mệnh đề 2.3.4. Cho M là môđun K-không suy biến. Khi đó ∀N ≤⊕ M, thì N là K-không suy biến.
Chứng minh. Chọnϕ ∈ EndR(N)sao choKerϕ ≤⊕ N. Mở rộng đồng cấu này tới M bằng cách lấy ϕ = ϕπN : M ⇒ N ⊆ M, trong đó πN là phép
chiếu chính tắc trên N. Ta có Kerϕ = N0⊕Kerϕ trong đó M = N ⊕N0 suy ra Kerϕ ≤e M ⇒ ϕ= 0, vì M là K-không suy biến. Vậy ϕ = 0. Nhận xét 2.3.2. Hạng tử trực tiếp của K-đối không suy biến không phải là K-đối không suy biến.