Câu 4. (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Một chiếc xô hình nón cụt đựng hóa chất ở phòng thí nghiệm có chiều cao 20 cm, đường kính hai đáy lần lượt là 10 cm và 20 cm. Cô giáo giao cho bạn An sơn mặt ngoài của xô (trừ đáy). Tính diện tích bạn An phải sơn (làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy).
A. B.
C. D.
Hướng dẫn giải
Ta có Với ,
Vậy .Chọn C.
1942,97cm .2 561,25cm .2 971,48cm .2 2107,44cm .2
1 2
S =π r + r lxq
r = 51 r =102
2 2
2 2
2 1
l = h + r -r = 20 + 10-5 = 5 17
S =π 5+10 5 17 = 75 17xq �971,48
Câu 5. (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG – GL) Một bình đựng nước dạng hình nón (không có nắp đáy), đựng đầy nước. Biết rằng chiều cao của bình gấp 3 lần bán kính đáy của nó. Người ta thả vào bình đó một khối trụ và đo được thể tích nước trào ra ngoài là . Biết rằng một mặt của khối trụ nằm trên mặt đáy của hình nón và khối trụ có chiều cao bằng
đường kính đáy của hình nón (như hình vẽ dưới).
Tính bán kính đáy R của bình nước.
A. B. R= 4 (dm)
C. R=2(dm) D. R= 5(dm) Hướng dẫn giải
Gọi h, h’ lần lượt là chiều cao của khối nón và khối trụ.
R, r lần lượt là bán kính của khối nón và khối trụ.
Theo đề ta có: h=3R, h’=2R Xét tam giác SOA ta có:
. Ta lại có:
Chọn C.
Câu 6. Với một miếng tôn hình tròn có bán kính bằng R = 6cm. Người ta muốn làm một cái phễu bằng cách cắt đi một hình quạt của hình tròn này và gấp phần còn lại thành hình nón ( Như hình vẽ). Hình nón có thể tích lớn nhất khi người ta cắt cung tròn của hình quạt bằng
Hướng dẫn giải
16π (dm )3
9
R = 3(dm).
r = IM = SI =h - h' 3R - 2R= =1
R OA SO h 3R 3
r = R1
� 3 Vtru =πr h' = π×2 R92×2R = 2πR9 3= 16π9 R = 83 R = 2 dm.
� �
Gọi x (x>0) là chiều dài cung tròn của phần được xếp làm hình nón.
Như vậy, bán kính R của hình tròn sẽ là đường sinh của hình nón và đường tròn đáy của hình nón sẽ có độ dài là x.
Bán kính r của đáy được xác định bởi đẳng thức 2
2 r x r x
� .
Chiều cao của hình nón tính theo Định lý Pitago là: h =
2
2 2 2
4 2
R r R x
.
Thể tích của khối nón:
2 2
2 2
2
1 .
3 3 2 4
x x
V r H R
� �� �
� � .
Áp dụng Bất đẳng thức Côsi ta có:
2 2 2 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6
2 2
2 2 2
4 . . ( ) 4 8 8 4 4 .
9 8 8 4 9 3 9 27
x x x
x x x R R
V R
� �
� �
� � �
� �
� �
� �
Do đó V lớn nhất khi và chỉ khi
2 2
2
8 2 4
x x
R
2 6 6 6
x 3 R x
� �
(Lưu ý bài toán có thể sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, tuy nhiên lời giải bài toán sẽ dài hơn)
Câu 7. (LÝ TỰ TRỌNG – TPHCM) Một cái ly có dạng hình nón được rót nước vào với chiều cao mực nước bằng
2
3 chiều cao hình nón. Hỏi nếu bịch kín miệng ly rồi úp ngược ly xuống thì tỷ số chiều cao mực nước và chiều cao hình nón xấp xỉ bằng bao nhiêu?
A.0,33. B. 0,11. C. 0,21. D. 0,08
Hướng dẫn giải Gọi chiều cao và bán kính đường tròn đáy của cái ly lần lượt là h và R.
Khi để cốc theo chiều xuôi thì lượng nước trong cốc là hình nón có chiều cao và bán kính đường tròn đáy lần lượt là
2 3
h và
2 . 3
R
Do đó thể tích lượng nước trong bình là 8
27 V �
Phần không chứa nước chiếm 19 . 27V
Khi úp ngược ly lại thì phần thể tích nước trong ly không đổi và lúc đó phần không chứa nước là hình nón và ta gọi h’ và R’ lần lượt là chiều cao và bán kính đường tròn đáy của phần hình nón không chứa nước đó.
Ta có
' ' R h
R h
và phần thể tích hình nón không chứa nước là 19 27V
3 3
2 2
' 19 ' 19 ' 19
. ' . . .
3 27 3 27 3
h h h h
R R
h h
� �
� �� � �
� �
Do đó tỷ lệ chiều cao của phần chứa nước và chiều cao của cái ly trong trường
hợp úp ngược ly là
' 3 319
1 .
3 h
h
Chọn B
Câu 8. Khi sản xuất hộp mì tôm, các nhà sản xuất luôn để một khoảng trống ở dưới đáy hộp để nước chảy xuống dưới và ngấm vào vắt mì, giúp mì chín.
Hình vẽ dưới mô tả cấu trúc của một hộp mình tôm (hình vẽ chỉ mang tính chất minh họa). Vắt mì tôm có hình một khối trụ, hộp mì tôm có dạng hình nón cụt được cắt ra bởi hình nón có chiều cao 9cm và bán kính đáy 6cm. Nhà sản xuất đang tìm cách để sao cho vắt mì tôm có thể tích lớn nhất trong hộp với mục đích thu hút khách hàng. Tìm thể tích lớn nhất đó ?
Hướng dẫn giải
Đây thực chất là bài toán khối trụ nội tiếp khối nón, ta có kí hiệu các kích thước như sau:
Ta có thể tích vắt mì tôm được tính bằng V B h. r h2.
Đây là ứng dụng của bài toán tìm GTLN, GTNN trên một khoảng (đoạn) xác định:
Ta sẽ đưa thể tích về hàm số một biến theo h hoặc r. Trước tiên ta cần đi tìm mối liên hệ giữa h và r. Nhìn vào hình vẽ ta thấy các mối quan hệ vuông góc và song song, dùng định lí Thales ta sẽ có:
6 18 3
9 6 2
h r r
h
�
Khi đó V f r r2.18 32 r 32r3 9r2