CÁC HÀM ĐẶC BIỆT■ ■
§1. CÁC HÀM TRỰC GIAO 1. Định nghĩa hàm trực giao
X é t tích c ủ a hai vector k h á c k h ô n e và thực hiện toán tử là p h é p lấy tích v ô h ư ớ n g c ú a hai vector đó*
A = Aị1 + /í, ] + k , B = 5 ,1 + B-,J + k . T a c ó thê hiêu n h ư sau:
X é t t oán tử c ặ p c ủ a hai h à m thực k h á c k h ô n g m ộ t biến / ( x ) , g ( x ) :
H à m r ( x ) > 0 đ ư ợ c gọi là h à m trọng s ố h a y h à m trọng của tích phân.
N h ư vậy, ta có định nghĩa toán tử tích h à m A — *• T o á n tử tích v ô h ư ớ n g
B — - ( Ã . B )
( A . B ) =
A1B1 + A2B24 A3B3 0 = > A trự c giao với ẽ
f(x) g(x)
T o á n tử tích hàm ơ . g )
0 f(x) t rự c giao với g(x)
/1
(7.1)
a
T a c ó toán tử tích h à m c h o chính m ộ t h à m là
h
(7.2)
a
M ộ t h à m thực f ( x ) c ầ n phải thỏa m ã n
h '
(7.3)
(I
('ôniz thức tròn nói lên tính h ữ u h ạ n cùa h à m f . T ư ơ n g tự. với tích v ô
hướno cua h a i v e c to r. ta n ó i ra n g / (,v ), % ( x ) trự c g ia o n h a u trê n đoạn
{a,h) với trọ 11” số /• (.V) n ế u tích h à m của c h ú n g b ằ n g k h ô n g . T í c h h à m
bàng k h ỏ im c ó n ỵ h ĩa là d iệ n tíc h b ị bao bở i dư ờ ng c o n g V = r ( x ) f ( x ) g ( x )
trẽn đ o ạ n -Y = í/. .V = h b ă n tỉ k h ông.
M ộ t tập h ợ p h o ặ c m ộ t chuồi các h à m
.../ , ( Ạ - > / ra( Ạ - }
được I>ụi là t r ự c g i a o trên đoạn ( a , b ) với điều kiện hàm trọng số r ( x ) > 0.
n ế u c h o m ọ i aiá trị n o u v ê n c ủ a n và m ( n * m ) thì tích h à m c ủ a h à m fm v à fn thỏa m ã n điều kiện
h
\r {x ) f „ X x ) f Á x )d x = a
(7.4)
Ở đ â y tích h à m b ằ n g k h ô n g c h o tất cá các giá trị tổ h ợ p c ủ a m v à n với n í- m . N ế u chuỗi c ủ a các h à m Ị C - ^ ) } ’ n = 0,1,2... là m ộ t c h uỗi trực
g ia o , c ó thê viết biếu thức tích h à m c h o các c ặ p số n g u y ê n m v à n thỏa
m ã n m ố i q uan hệ
2 _ Í 0 ,
\ J'm ' fn) I jII ^mn
n m = n
(7.5)
T r o n g trường h ợ p đ ặc biệt, ||/J|2 = 1 đối với m ọ i giá trị n v à V x e (a, b), chuồi h à m I /„(.v)Ị d ư ợ c c h o là trực giao n h a u trên đ o ạ n (a , b). N h ậ n xét
rằng, nếu chuỗi {js'„(.v)j trực giao thì có thể xây d\rng một chuỗi hàm trực
giao m ớ i I f \(.v)Ị đ ư ợ c định n g h ĩ a là f (x) = ĩĩ^ -7- ^11.
Ví d ụ /: T ậ p h ợ p các h à m trực giao ị sin m n x
với n = 1,2,3,... là tập h ợ p các h à m trực giao trên đ o ạ n (0,1 ) với h à m trọng số r ( x ) = 1.
Giải. T h ậ t vậy. theo định n g h ĩ a tích h à m
/ " \ /.
. n m x . n n x f . m n x . n n x sin — — , sin — : = 1 sin — — sin
V L L ) 0 L L
( m - n ) nx ị m + n)
sin ---nx sin
L
2 ( m - r ì ) 2 [ m + n) B ì n h p h ư ơ n g c h u ẩ n h o á c h o m ỗ i h à m đ ư ợ c c h o bởi
( / . . / . ) = i / . r = H ^ * = j i í i - c o s w
0 L 0 2 y
r , -ịỉ.
= 0, m * n .
cỉx
X L . 2mnx L 1 ^ -
= — ---s in— = — , w = 1,2,3...
_2 4m7t z J0 2
r r
K ê t q u ả n à y đ ư ợ c viêt trong k ý hiệu tích h à m n h ư sau
/ _ _ \ r í o , m * n
. m n x . n n x L -
sin — Y ,sin—7 J = - -<-x 0//í/? „ = < I^
V L L J 1 — , m - n
C h ú ý răng, chuôi 2 . A77ĨX
sin— —
L L
(7.6)
c ũ n g là m ộ t chuỗi trực giao.
Ví d ụ 2: C h o n = 1,2,3,... đối với tập h ợ p các h à m Ịl,cos-/^ | là m ộ t tập h ợ p các h à m trực giao trong k h o ả n g ( o, L ) với h à m trọng số r ( x ) = 1 .
Giái. T h ậ t vậy, theo định nghĩa tích h à m : n n x ) r r m x , L . r m x
l,cos— — = cos——ax = — s i n —
L ) ỉ 0 L mi L
n n x
= 0; n - 1,2,3,..
cos — — — , c o s --mnx
L L / H n
mnx nnx
cos — — — cos — — —
L L
. ( m - n ) n x ( m + n ) n x sin --- — sin --- — —
L Ị L
2 ( m - n ) 2 ( w + tt)
= * A7.
/.
B ì n h p h ư ơ n g c h u ẩ n h q £ là: ||l|| = ị d x = L ;
0
0 ^ 0 V
2 /.
ĨÌTÍ X
cos — — =
L J
0
2 n n x
cos d x
X L . 2wur
— + ---- sin — —
2 4/771 0 2
= 1,2,3,
K ế t q u a n à y có thể đ ư ợ c c h u ẩ n h o á b ằ n g các h d ù n g k ý hiệu tích h à m 0. m * n
/ n iĩix n n xx
c o s ---- ,cos— —
L L
L 2' L
(7.7)
T ậ p h ợ p cỏc h à m trực giao đ ư ợ c viết Ị u c o s - ^ ^ l đối với ô = 1,2,3,...
rõ h ơ n là d ạ n g đ ư ợ c viết Ị c o s ^ ^ - Ị đối với rì = 0,1.2,3,... bởi vì c h ú n g ta m u ố n n h ấ n m ạ n h rằng trường h ợ p ti = 0 có d ạ n g c h u ẩ n b ình p h ư ơ n g khác.
T í c h h à m g ắ n với các h à m thực liên tục / ( x ) , g ( x ) v à tập h ợ p các h à m thực I fk (x)j v à ị g t (x)Ị thỏa m ã n các tính chất:
1) ( / < £ ) = ( £ , / ) ;
2) (c/',g) = c ( g f/ ) ; (f , c g ) = c ( g , f), c = const;
3) (./; + / 2^ ) = (./i,g) + ( / 2,g); ( / , g | + g 2) = ( / ’ớ i ) + ( / . ô 2 ) ; (7'8)
4) Í ẳ . / * ^ ỡ = ẳ ơ i ằ g ) ; ớ / . ấ ^ * ỡ = ắ ( / ’^*)-
V í --1 / 4 = 1 V k = \ / k = \
/ 1 = 0 n ế u v à chi n ế u f = 0 .
2. Quá trình trực giao hoá Gram-Schmidt
M ộ t tổ h ọ p tuyến tính cúa m ộ t tập h ọ p các h à m ( x) , / 2 (x),..., f (^)Ị đ ư ợ c viết:
C\f\{x ) + C2f2{x) + - + Cnfn{x ), trong đ ó c,,c2,...,c là các h ằ n g số tùy ý.
N ế u các h à n g số k h ô n g b ằ n g k h ô n g , trong đ ó c ó thể tìm thấy m ộ t số tổ h ợ p tuyến tính c ủa h à m I fm (x)j b ằ n g k h ô n g thì tập h ợ p các h à m n à y là p h ụ t h uộc tuyến tính. N g ư ợ c lại, n ế u chỉ m ộ t tố h ợ p tuyến tính b ằ n g k h ô n g với m ọ i X , khi đ ó c, = c 2 =... = cn = 0 , ta nói ràng tập h ợ p các h à m I fm ( x ) j ,
m = 1,2..n là đ ộ c lập tuyến tính. M ộ t tập h ợ p v ô h ạ n đ ư ợ c gọi là đ ộ c lập tuyến tính n ế u m ọ i tập h ợ p h ữ u h ạ n là đ ộ c lập t uyến tính. N h ậ n xét rằng, n ế u tập h ợ p I fm (x)Ị là m ộ t tập h ợ p trực giao thì n ó sẽ là m ộ t tập h ợ p đ ộ c
lập tuyên tính. Đ ê c h ứ n g tỏ điêu đó, giả sử c ó sô h ữ u h ạ n n . tô h ợ p tuyên tính c ủ a c h ú n g b ằ n g k h ô n g :
C J \ ( * ) + c 2 . f l ( * ) + - + C J n ( * ) = 0 •
N h â n cá hai v ế c ủ a p h ư ơ n g trình n à y với h à m r ( x ) fk ( x ) . tronụ d ó k là số cố định và 1 < k < n , sau đ ó thực hiện p h é p lấy tích p h à n đối với các h à m trực giao, ta có
c\ Ự \ J \ ) + C1 Ư2 -Á ) + ••• + c* (/*, /*) + - + ,./;) = 0. (7.9)
X é t m ỗ i tích h à m c ủ a p h ư ơ n g trình (7.9) và chỉ c h ú ý đ ế n h ạ n g thức k h á c k h ô n g ờ vế trái c ủ a p h ư ơ n g trình này. Đ ó là h ạ n g thức thứ k với tích h à m k h á c k h ô n g ck ( fk , fk ) = ck ị fk ||2 . P h ư ơ n g trình (7.9) rút g ọ n t hành ck| / t ||2 = 0. s uy ra ck = 0. T ừ đ ú c h o k = 1.2,....ô ta c ú thờ chớ ra tất ca cỏc ck là b ằ n g khôn g . C h ứ n g tỏ tập h ợ p trên là đ ộ c lập tuyến tính.
M ộ t tập h ợ p trực giao các h à m Ịì7„(a')| có thể đ ư ợ c x â y d ự n g từ m ộ t tập h ợ p các h à m đ ộ c lập tuyến tính k h ô n g trực giao Ị fn ( x ) Ị . Đ i ề u n à y d ư ợ c thực hiện b à n g c á c h đ ịnh nghĩa các h à m
go (*) = /o (*); ^1(x ) = f\ (x) - coiíTo (■x ) -
trong đó: C01 được chọn đế tích hàm ( # „ , £ , ) bằng không.
H à m tiếp theo đ ư ợ c đặt
êi (*) = fĩ i x ) - c02g0 i x ) - C\ĩgị (x ) •
trong đó: c02,cl2 đ ư ợ c c h ọ n để tích các h à m (íío'^2)’( á f p ^2) b ằ n g không.
H à m tiếp theo đ ư ợ c đặt
& . ( * ) = /ì (*) - C03^D (x ) - CI3^1 (■x ) - cĩĩ8i (A') •
trong đó: c0„ C ị , v à C,J đ ư ợ c c h ọ n đế các tích h à m ( g (). íí,).(gr íT)) v à { g 2,gĩ) b ằ n g k h ô n g .
T i ế p tục c á c h l à m n h ư thế c h o h à m t hứ n ta có
£ „ ( * ) =
k=0
M ỗ i m ộ t h ằ n g số trong các h ằ n g số chl với k = 0,1,2,..../7 — 1 d ư ợ c c h ọ n để c h o tích h à m (g„,,g„) = 0, m = 0,1,2,...,A7- 1. Q u á trình n à y m a n g tên là q u á trình trực g i a o G r a m - S c h m i d t . B ằ n g cách xét h ạ i m thức tổng quát, ta có thể đòi hỏi tích h à m tổng quát b à n g k h ô n g h oặc
(fĩ,„ - Ịĩ„ ) = g m - ./„ (*) - X (*)
V k=0
/;-l
(Ê,,, • ớĩ„) = (gô, ■ ) - X c*ằ (2ằ. ’ & ) = °-
A-=0
' //-I
(.y ) = U',„ ơ , | | á ĩ
B â y uiờ xét h ạ n g thức d ư ớ i d ấ u tống và chi c h ú ý đ ế n h ạ n g thức k h á c k h ôno, c ò n lại trong t ổ n g n à y khi k = m , kết q u ả là
= 0 = ằ C „ . % 4 Ỉ ; * = 0,1,2...n - l . 11**1
N h ư vậy. ta tỉm thấy m ỗ i hệ số c h ư a biết trong q u á trình trực giao G r a m - S c h m i d t đ ư ợ c c h o bới tích h à m chia c h o bình p h ư ơ n g c ủ a chuân.
17 d ụ 3: T ừ tập h ợ p c u a các h à m đ ộ c lập t u yến tính / , ( * ) = *";
n = 0.1.2.... ta x â y dựntỉ đ ư ợ c m ộ t tập h ợ p các h à m trực giao trong k h o ả n g (-1.1) vói h à m trọne r ( x ) = 1 . Bắt đ ầ u tiến trình trực giao G r a m - S c h m i d t b ằ n g cách dặt g0( x ) = /0(x) = l v à c h ú ý 1 : = 2. T i ế p theo, đặt
£ i ( a') = ./i(-v ) ~ c' o i £ u ( x ) v ớ i c 0\ đ ư ( ? c c h ( ? n s a o c h o ( g p & o H 0 t a đ ư ( ? c
g , ( x ) = x - c0|(l) với C01 =
X
- = 0, h o ặ c g j ( x ) = X với
2 = ( x , x ) = ị x 2d x = — .
-I 3
N h ậ n xét ràng, h ằ n g số C01 đ ư ợ c c h o bởi tích h à m chia c h o bình p h ư ơ n g chuẩn, s ố h ạ n g tiếp theo trong tập h ợ p trực giao là:
g 2 (x) = ./; ( x ) - c ữ2g 0 ( x ) - c l2g, (x);
g 2 (x) = X 2 - c 02l - c n x,
trong đ ỏ hệ số đ ư ợ c c h ọ n sao c h o cả hai tích h à m ( g0, g 2) v à ( g | , g 2) b ằ n g khôníỉ. H ệ số n à y tìm đ ư ợ c bởi tích h à m chia c h o bình p h ư ơ n g chuẩn, tức là
( x2, l ) _ i _ ( * 2ằx ) II "ĨĨ2 c —02
í
C I2 0 .
T ừ đó:
g 2( x ) = x 2 - ^ , với £2
45 Số hạng tiếp theo là:
g 3 ( * ) = /3 ( x ) - c 0 3 ^ 0 ix )- C I 3 ^ I ( * ) - c2ìg 2( * ) ;
= X 3 - C M'03 1 - c ^ x - c .13' '23 V - ỉ ' V 3
trong đó:
c 03 í f l ^ ) ọ. , = í f ! 4 = ỉ ; c „ =
,2 — ư ’ lI3 m 1,2 — ’ 23
f 1 x
x \ x 2---
3 = 0.
2 1 X ---
V ậ y
& ( * ) = X 3 _ 3 — X v à gì
175
/ /
T i ê p tục n h ư trên, ta đ ư ợ c các h à m tiêp theo:
128
/ X 510 35
£,(.x ) = x X + — với
5V ’ 9 21 £5
[ 1025 128 4 3 6 5 9
T ậ p h ợ p các h à m trực giao đ ư ợ c d ù n g đ ể x â y d ự n g n g h i ệ m c ủ a các p h ư ơ n g trình vi p h â n đ ạ o h à m riêng.
§2. CÁC HỆ STURM-LIOUVILLE
H ệ Sturm-Liouville đ ầ y đ ủ c ó c h ứ a p h ư ơ n g trình vi p h â n tuyến tính thuần nhất
L { y ) = - ị ị p { x ) ^ - + q { x ) y = - X r ( x ) y (7.10)
dx y d xy
xá c định trên k h o ả n g a < x < b c h ứ a m ộ t t h a m số X v à bị ràng b u ộ c ở điều kiện biên ở m ỗ i đ i ể m c ó d ạ n g
M ô ) + P , “ - - = 0; p 3j ( i ) + p , ~ ^ = 0, (7.11)
a x a x
trong đó: P p P 2, P 3 v à P 4 là các h ằ n g số đ ộ c lập c ủ a X, các c ặ p (P|,Ị32 ) v à ( P 3,P4 ) k h ô n g đ ồ n g thời b ằ n g không.
Đ i ề u đ ó đ ư ợ c biểu thị b ằ n g hệ thức pf + P2 ^ 0 v à P3 + P4* 0. P h ư ơ n g trình vi p h â n (7.10) c ó m ộ t t h a m số X v à m ộ t toán tử vi p h â n tự liên h ợ p
V ). C á c hệ số trong p h ư ơ n g trình (7.10) là p ( x ) , p'(x), q ( x ) và r(x ) là thực và liên tục với đòi hỏi /;(x) > 0, /•(;<:)> 0 trong k h o ả n g a < X < b .
K h i điều kiện biên (7.11) đ ư ợ c thay thế bởi điều kiện biên tuần h o à n c ó d ạ t m
y ( a ) = y ( b), y'(a) = y ' ( b) ^ (7.12) thì tập h ợ p (7.10) v à (7.12) đ ư ợ c gọi là hệ Sturm-Liouvilỉe tuần hoàn. K ê t h ợ p với p h ư ơ n g trình (7.11), ta đ ư a ra m ộ t vài n h ậ n xét, tính chất v à c h ú ý sau:
1) C h ú n g ta chí xét n g h i ệ m liên tục k h á c k h ô n g c h o hệ Sturm-Liouville.
H ệ Sturm-Liouville c h o bởi p h ư ơ n g trình (7.10) c ó thế k h ô n g có n g h i ệ m , có m ộ t n g h i ệ m d u y nhất h o ặ c có m ộ t số v ô h ạ n n g h i ệ m , s ố v à loại c ủ a n g h i ệ m p h ụ thuộc v à o giá trị đ ư ợ c c h ọ n X . T h a m số X sẽ đ ư ợ c c h ọ n sao c h o thu đ ư ợ c n e h i ệ m k h ô n g â m .
2) G i á trị c ủ a Ả đế n g h i ệ m tồn tại v à k h á c k h ô n g đ ư ợ c gọi là trị riêng.
T ậ p h ợ p các trị riêng kết h ợ p với bài toán Sturm-Liouville đ ư ợ c gọi là p h ố c ù a bài toán. N ế u tất cả các trị riêng là thực v à c ó m ộ t số v ô h ạ n các giá trị riêng k ý hiệu là À.,, Ằ,2,..., Ằ n,... trong đ ó X \ là trị riêng n h ỏ nhất v à X — > 00 khi n — ằ 00 thỡ h à m sổ k h ỏ c k h ụ n g t ư ơ n g ứ n g với cỏc trị riờng đ ư ợ c gọi là các h à m riêng. Đ ố i với m ỗ i trị riêng Ẳ n t ư ơ n g ứ n g c ó m ộ t h à m riêng đ ư ợ c viết là v„ (*) = _y(x;À.n ) . N h ậ n xét rằng, n ế u y l là m ộ t h à m riêng thì cy n c ũ n g là m ộ t h à m riêng, với h ằ n g số 0. Đ ô i khi đ ể c h o tiện, n g ư ờ i ta k ý hiệu trị ricng n h ỏ nhất là Ằ 0 .
3) H à m riêng y n ( x ) , n = 1,2,3 c ó n - ỉ k h ô n g đ i ể m trên k h o ả n g a < X < b .
4) T ậ p h ợ p các h à m riêng trực giao n h a u trong k h o ả n g (a,ố) với h à m trọng là r ( x ) , đ ó là tích h à m kết h ợ p với hai h à m riêng k h á c n h a u thỏa m ã n
h
{yn>ym)= \ r {x)y,Ax)ym{x)dx = ữ’ n ế u w *K , (7.13)
a
v à b ì n h p h ư ơ n g c h u ẩ n k h á c k h ô n g c h o m ỗ i giá trị n
{yn>yn)= ịr{x)yl(x)dx*0. (7.14)
a
5) C á c h à m trị riêng tạo t h à n h m ộ t tập h ợ p đ ầ y đủ. G i ả s ử rằng f(x) là m ộ t h à m trơn t ừ n g k h ú c v à có thể coi n h ư m ộ t chuỗi c ó c h ứ a các h à m riêng y„(x) c ó d ạ n g
/ ( * ) = ẳ cằ-yằ(*)- (7-15) n=nu
C á c trị riêng l à m thành m ộ t tập h ợ p đ ầ y đ ủ n ế u
h ( k V
Ị i m J V ( x ) . f \ x ) - Ỵ j c j n (x) í ừ = 0, (7.16)
’ ụ V ” =ô(. /
trong đ ó n 0 là chỉ số bắt đ ầ u có giá trị 0 h o ặ c 1 p h ụ thuộc v à o việc đ á n h số các trị riêng.
C h u ỗ i v ừ a biểu diễn đ ư ợ c gọi là chuỗi F o urier tổnọ, q u á t, c ò n các h ằ n g số C n đ ư ợ c gọi là các h ằ n g s ố Fourier. C ó thể chỉ ra các hệ số Fourier đ ư ợ c c h o bởi m ộ t tích h à m chia c h o bình p h ư ơ n g chuẩn. N ế u n = 1.2,3... ta có thể viết
H x) f ( x)yẢx)dx
c" = I M P *---■ (7'17)
IWI j ' r ( x ) y ] ( x ) d x
u
6) H ệ Sturm-Liouville đ ư ợ c gọi là m ộ t h ệ đ ầ y đ ủ n ế u các hệ số trong p h ư ơ n g trình vi p h â n thỏa m ã n p [ x) > 0, q ( x ) > 0 và r ị x) > 0 ở m ọ i nơi, v à điều kiện biên (7.11).
7) N e u m ộ t trong các điều kiện đ ầ y đ ủ đ ã c h o trong tính chất 6 là k h ô n g đ ư ợ c thỏa m ã n , thì h ệ Sturm-Liouville đ ư ợ c gọi là h ệ Sturm-Liouville đơn.
V í dụ, h à m p ( x ) biến m ấ t ở các đ i ế m mút; h o ặ c m ộ t trong các h à m p ( x ) , q ( x ) , A -(x)có g iá trị v ô hạn ở các đ iểm mút; h o ặ c tất c ả các điều k iện biên b ằ n g h ằ n g số, h oặc b ằ n g không; hoặc m ộ t h a y cả hai đ i ể m m ú t a, b trở n ê n v ô h ạ n thì hệ Sturm-Liouville ớ trên đ ư ợ c gọi là m ộ t hệ Sturm-Liouville đơn.
Đ ể c h ứ n g m i n h tính chất trực giao, bắt đ ầ u với giả thiết ràng, c h o hai trị riêng k h á c n h a u X m v à X n ứ n g với hai n g h i ệ m riêng k h á c nhau, k h á c k h ô n g
ym {x ) y „ { x ) p h ư ơ n g trình vi p h â n L { y ) = - Ằ , r ( x ) > ’, trong đ ó L ( y ) là toán tử vi p h â n tự liên h ợ p đ ư ợ c xá c định trong c ô n g thức (7.10).
V ì thế c ó thể viết:
= ( 7 1 8 )
L{yn(x)) = - K r(x) yAx)-
D ù n g đ ồn g nhất thức G reen và thay u = y n ( x) và V = y m ( x ) thu được
) - yH My„ )}/•* = p{x)[ y„ (.v) (.y) - (.v) >•;,(.y)]
c=>
<=>
JỊ ( v ) r ) - v„, (-l„r(x) y„ )}/v = p { x ) [ y ảl ( x ) ý m (x) - y," (.v).r(v)'
( /
h
(*„ - K ) í/-(-v )>'„ ( * ) > ’„, - p { b ) [ y „ ( h ) ) i ( h ) - {b)y'„ (b)_ -
(I
- p{“)[y„ (")>ằ. H - -H,, (a)ý„ (a)_
(7.19) V ố trái c u a p h ư ơ n g trình (7.19) có m ộ t tích p h â n biếu diễn tích h à m của hai h à m riênu. C h ú r m b à n tì khôntỉ khi hai h à m riêng n à y trực giao ( n * m ).
X é t các t rườ n g h ợ p sau:
T r ư ờ n g h ợ p Đ i ề u kiện
1) p ( a ) = 0: p ( b ) = 0 2) p ( a ) = 0; p ( b ) * 0
p,;'„(*) + P Ay'„{b) = 0
P.^(ố) + PX(6) = 0
y„(b)y:,(b)-y:,(b)ym(b) = 0
3) p(a)* 0 ;/?(/?) = 0
P|j'„(ô) + Íỡ2.v,'(ớ,) = 0 ớỉlXằ(ữ) + p2X,(ơ) = °
y„{a)y'n{a) - y lÁ a)y,Áa) = °
4) p(u)*0-,p(b)*0
p.1>™ ib) + p4>í ib) = 0
y„{h)y'n,{b) - y' Ảb)y,Áb) = 0
P| yằ ia) + M , (a) = Pi y,n (fl)+p2>’,'„ {“) =0
y Á a)y'Ảa) - y Á ° ) y Ả a) = Q
H à m / (x) trơn từng k h ú c biểu diễn dưới d ạ n g chuỗi c ủa các h à m riêng
X
/ ( * ) = Ỵ j c ^ n ( * ) = C I>'| ( x ) + C 2 > ’: ( * ) + C.,^3 ( x ) + - ( 7 -2 0 )
/J=l
N h â n cả hai v ế với r ( x ) v„, { x ) d x rồi lấy tích p h â n từ a đ ế n b ta có
Ỳ (X ) / (X ) y m ( x ) d x = Ụ \ y m) = c, ( , y m ) + c 2 (y 2,y m ) + c 3 (; 3, y m ) + ...(7.21)
T ậ p h ợ p các h à m {>’„} trực giao n h a u trong k h o ả n g (a,ố), s uy ra
(./>„■) = c™ ừ ™ ’> 0 = cJ W | 2 ’ (7.22) trong đ ó các h ệ sổ c ó d ạ n g
( f V ) \r {x ) f { x ) y Á x )dx
c"'= i ổ f = \.--- ; w = 1 ’2 ’3 - <7 -2 3 )
i H I Ị r ( x ) y2m( x ) d x
§3. HỆ STURM-LIOUVILLE CHO CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC VÀ HÀM MŨ 1. Hệ Sturm-Liouville trong khoảng 0 < X < L
X é t bài toán Sturm-Liouville :
y" 4- Ằy = 0 , 0 < X < L\
ị (7 .2 4 )
Ịj,(0) = 0;,(z.) = 0.
S o s á n h với p h ư ơ n g trình Sturm-Liouville (7.19) ta suy ra /?(x) = 1, ợ ( x ) = 0 v à r ( x ) = 1. Y ê u cầu tìm trị riêng Ả để p h ư ơ n g trình c ó n g h i ệ m k h ô n g t ầ m thường, tức là n g h i ệ m k h á c k h ô n g . X é t các trường h ợ p c ủ a Ả sau:
T rư ờng hợp Đ iểu k iệ n
1) X = -co2 => y” -(ở2y = 0
y = c, sh cox + c, ch (OX
y(0) = 0 = Ci sh0 + C2 chO=>C\ =0
y(L) = 0 = Cy sh £ => c, = 0 2) Ầ = 0 = > / = 0
y = c\x + C4
j;(0) = 0 = c30 + c 4=> c4 =0 y(L) = 0 = C]L=>Cĩ =0
3) Ả = co2 => y" + co2y = 0
y = c, sin oox + C6 cos (OX
jv(0) = 0 = C5 sin0 + C6 cos0 => c\ = 0
y(L) = 0 = C5 sin ư>L => C5 * 0
I A n n 1 -1
Sin (OL = 0 = sin mi co =-— ,ô = 1,2...
L
N h ư v ậ y chỉ c ó t r ư ờ n g h ợ p 3, khi
- -V 1
X = X = (!) =11 n nn
L n = 1,2,3...
thì p h ư ơ n u trinh m ớ i c h o n ạ h i ệ m k h á c không. Đ ó là n g h i ệ m n n x
(7.25)
(7.26)
= y{x, K) = sin(0„.Y = s i n - y - ; n = 1,2,3.
2. Hệ S t u r m - L i o u v i l l e trong khoảng - L < X < L X é t bài toán Sturm-Liouville
— ^ + Ằ F = 0; - L < X < L
dx- (7.27)
Y ê u cầu tìm trị riêng Ả để p h ư ơ n g trình có n g h i ệ m k h ô n g t ầ m thường.
X é t các trường h ợ p c ù a Ằ sau:
T r ư ờ n g h ợ p
n 1 J 2 f
1) Á • (!) >
d x
<jỷ F = 0 F - c, sh cox + c\ c h cox F' = C,co c h 0JA' + C,G) sh 0) X
j2 r’
2) A. = 0 => — -- = 0 d x 2
/ • = C y X + c ,
íi ■ F
3) X = o r = > — + o)2F = 0
F = C 5 cos cox + C 6 sin (OX F ' = - C 5(osincox + C 6cocoscox
Ê)/<?ô kiờn ____ -__ I--
F { - L ) = s h ( -0)Z) + c, c h ( - ơ ) Z )
= F ( L ) = C Ì sh(coL ) + C 2 ch(col)
F ' { - L) = C lCDch(-coZ,) + C 2a>sh(-(oZ,)
= > C , = C 2 = 0 = > F = 0 F ' { - L ) = C Ĩ = F ' ( L ) = C Ĩ
F ( - L ) = C Ĩ ( - L ) + C \ = F ( L ) = C 3L + C ứ
= > c, = 0, c 4 tùy ý . C h ọ n = 1.
F ( - L ) = C 5 cos{-coZ,) + C 6 sin(-(oZ,)
= = c, cos(coZ,) + C fi sin(coZ,)
= > 2 C 6 sin(co/_) = 0 ; C 5 tùy ý;
F ' ( - L) = - C 5cũsin(-coZ,) + C 6cocos(-cũZ,)
= F ' ( L ) = - C 5cosin(o)Z) + C 6<xằcos((ol)
= > 2 C 5 sin (co/,) = 0 ; C 6 tùy ý
= > sin (ùL = 0; C 5, C 6 tùy ý .
_ . m i . „
sin coL = 0 = sin m t = > (0 = (O0 = — ,/7 = 1,2 L
r í \ - n r m r m
F ( x ) = c. cos — + c, sin —
v ' 5 I 6 L
T ó m lại. bài toán Sturm-Liouville có d ạ n ỵ
lì r ! /./•' 0: - L < X < L
cix
F { - L ) = F ( L ) : F ' ( - L ) = F ' ( L )
( n n Ỵ
có các trị riêng là Ằ,0 = 0, X = — - ; n = 1,2,3... t ư ơ n g ứ n g với các h à m V L
riêng j l , c o s - — ,sin-~— Ị. C á c trị riêng n à y thỏa m ã n các điều kiện trực giao n h ư sau:
, . r m x \V . rm:
1, sin — — = sin
L ) _[ L
n n x \ 'r n n x , - , _ . l,cos— — = cos - lix • 0. n = 1,2.3,...;
L ) _] L
n n x . m n x sin---- ,sin
L L
rnix n m x
cos — — , c o s ....
/. L
. rnix . m n x . _
s in ----sin---d x = 0, n * nr.
L L (7.28)
HTCX . m n x c o s ---,sin— —
I.
-
\ /
-
H Ĩ I X m n x .
c o s ---- c o s ---d x = 0, n ± m \
L L
r m x . m n x , . w cos — — sin — (Ấx — 0, V H, rn.
L L
L L
B ì n h p h ư ơ n g c h u ấ n c ử a các h à m riêng có d ạ n g (1,1)= Jd x - 2 L
-ỉ.
. VÌĨÍX . ĨÌĨÍX sin — , sin —
L L J
M I X n n x cos — , cos — —
L L
L
M I X
2 /■_r . n n x . M IX - r _
= sin-— sin-— = Ả (7.29)
_{ L L
2 _
f A77TX /7 7 ĨX .
= cos — - cos — — d x - L .
-/. L 1
Đ ố i với các h à m m ũ , m ộ t tập h ợ p h à m (ị),; (x) đ ư ợ c gọi là trực giao n ế u
h __________
( ỳ „ { x ) ^ n , { x )) = khi m * n , (7.30)
a
trong đ ó ộ m (x) là liên h ợ p p h ứ c c ủ a h à m <Ị)m (x)
m x \
Ví d ụ các h à m ộ„(.v) = t' 1 trực ui a o n h a u tronụ k h o a n g (-/../.) với h à m trọ n u /*(.v) = 1 :
0 , k h i IV & /7 2L. khi m - n i m r(.v) = 1 :
( < i v O - .. ' ^ = 1
(7.31)
§4. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HÀM BESSEL 1. Phương trình và hàm Besse!
P h ư ơ i m trình Bessel là p h ư ơ n g trình có dạnti A - ỹ + .ỴV' + (.Y: - V : )'r = 0.
tronu đ ó V là h a n ụ s ô .
P h u ơ n n trình (7.31) c ó đ i ế m k v dị tại X - 0. T ì m r m h i ệ m riênu c ủa p h ư o r m trình d ư ớ i d ạ i m chuồi
= K * 0 )-
k-0
D ặ t chuỗi (7.32) v à o phưưntí trình (7.31) ta có
(7.32)
( p ’ v )Í/„.Y ( p + l ) V a tx p-t +. t ị h p + k)2- ^ +uk ,Ị.v’’4* =0
k---2 '■L '
(7.33) C h u ồ i (7.33) chí h an tỉ khôntĩ khi các hệ số c ùa X b ằ n g khônt>. T ứ c là
(7.34) (7.35)
ị ỷ - V 2 = 0 .
(p + l ) " - - v ' c i ị - 0 ,
(p + k ) ’ - V- a k + a k 2 = 0 , k - 2 , 3,... (7.36) T ừ (7.34) s u y ra p = ± v .
N ê u c h ọ n p = V . n h ậ n đ ư ợ c
suy ra V ậ y :
( ^ 2 -3-4 a ?k^ = 0. (k = 0,1,2...).
(7.37)
(7.38)
k = 2 => a2 = a ,... .
(V + 1)1!
k = 4 => aA = -
k = 6 = > a (> = -
a 2 a 2 a 0
4 ( 2 7 + 4 ) = 2 2 (v + 2)2! = 2 1 (v + í)(v + 2 [ 2 ! ; _ J U _ = ______aA = _____________ ô0______________
6 ( 2 v + 6) 2 ( v + 3)3! 2 6 (v + lj(v + 2 ) ( v + 3)3!
a ữ (-1) k = 2 k = > Cỉ-,. = —
2*' 2 H (v + l)(v + 2)....(v + Ả:)/t!
C h ọ n a ữ c ó d ạ n g
2 T ( v + 1) ’
trong đ ó r ( v ) là h à m G a m m a x ác định đ ố i với m ọ i giá trị d ư ơ n g V ( cũng n h ư xác định đối với m ọ i giá trị p h ứ c với p h ầ n thực d ư ơ n g ) c ó d ạ n g
r ( v ) = ịe 'x v~'dx .
0
Hình 7.1. Đồ thị hàm r ( v )
K h i c h ọ n a0 , h ệ số a 2k có thể viết dướ i d ạ n g
( -1)*
° 2k ~ 2 2*+v*!(v + l)(v + 2)...(v + A ) r ( v + ĩ j ' í 7 '39)
N ế u s ử d ụ n g tính chất c ủ a h à m G a m m a r ( v + 1) = V r ( v ) có thể viết
(v + l ) ( v + 2)...(v + Jfc)r(v + l) = r ( v + A + l ) .
C h ú ý rànu
cc
r ( l ) = j V ' c ử = l, r ( * + l) = *!
0
C ô n g thức (7.39) c ó d ạ n g e ọ n h ơ n
^2k (-1)*
7- (7 -4 0 )
2 & ! F ( v + Ả: + 1)
T h a y các giá trị c ủ a hệ số a lk,alk , v à o chuỗi ta n h ậ n đ ư ợ c n g h i ệ m riênu c ủ a p h ư ơ n g trình (7.31):
v V * +v
. H ) -
J >(x ) = ' v ’ ẳ--t ữ k \ Y { v + k + \) — T • ^ ( 7. 4 1 ) N g h i ệ m n à y đ ư ợ c gọi là h à m Bessel loại 1 c ấ p V . C h u ỗ i (7.41) hội tụ với m ọ i X .
Jn(x)
1
\Jo(x)
Jị(x)i j5(x)
Hình 7.2. ĐỒ thị hàm Bessel loại 1 Jn (x)
S ử d ụ n g n g h i ệ m thứ hai p, = - V c ó thể tìm đ ư ợ c n g h i ệ m thứ hai c ủ a p h ư ơ n g trình (7.31), n ó n h ậ n đ ư ợ c b ằ n g c á c h thay V b ằ n g - V . B ở i vì p h ư ơ n g trình (7.31) chỉ c h ứ a V 2 n ê n n ó k h ô n g thay đổi khi thay V b ằ n g - V . T a có
f \ 2k~v
* ( - 0 * f
J " ' ^ = ; § £ ! r ( - V + £ + ! ) ■
(7. 42)
Ncu V không phái sổ nụuyên thì ntĩhiệm riêng ./ (.v) và J _ . ( x ) của
p h ư ơ n g trình s ẽ đ ộ c lập tuyến tính, bởi vì khai triến các s ố h ạ n g của (7.37) v à (7.38) theo các bậc k h á c n h a u c ủa X . C ò n n ế u V là số niuiyên d ư ơ n g n thì dễ dàníì thấy ràim các n e h i ệ m ,/v (X ) v à J _ v {x) là p h ụ thuộc tuyến tính.
T hật v ậ y khi V n g u y ê n , k =0,1...,/7-1 thì đại l ư ợ n u ( - V + Ả + 1) n h ậ n các giá trị n g u y ê n â m h a y b ằ n g k h ô n g , đối với các giá trị n ày r ( - v + k + 1) = 00 .
Đ i ề u n à y s uy từ các c ô n g thức
Y ( m + \)
r (0) J Í Í
m
GO
0
. r ( - i ) (0) = — CO.
N h ư v ậ y n h ạ n e thức đ ầ u tiên troníỉ khai triển c h u y ể n b à n ti không, d o đ ó có
^ í - 1)* 7
Ị ( x ) = y - — — ± ± 1 - _____
1 "y ’ t r { k + \)r(~n+k + \) (7.43)
N c u đặt k = n + l v à thay v à o c ô n g thức (7.43) ta có:
-n+2n+2l
(-0 2
/ (x) = Ỳ ... V -________ :• ( Ì V T _____ [ 2
A ' h \ {n+i + \ ) r ( i +ỉ ) 1 A r ( ô w * I)r(/ • 1 )'
(7.44)
suy ra
J <7 - ô )
N e u V là số n g u y ê n d ư ơ n g n thì n g h i ệ m J v (x) và J (.v) là p h ụ thuộc tuyến tính.
Đ e tìm n e h i ệ m tổng quát c ủa p h ư ơ n g trình với V b à n g sổ n g u y ê n n cần phái tìm m ộ t số h ạ n g k h á c đ ộ c lập tuvến tính với J v {x). M u ố n vậv ta đ ư a h à m (x) về d ạ n g
J v ( x ) c 0 S V 7 i- J _ v ( x )
(7 .4 6 ) Sin V7Ĩ
C h ú ý răng:
/ s / \ J ( x ) c o s v n - . / , (x) Yn (x) = lim Y v (x) = lim — -
v->" SÌIIVTĨ
Vi ,/ (1 (.t) = (-1)" J „ { x ) c h o n ê n khi lấv yiới h ạ n biểu thức trên có d ạ n g 0/0 . áp d ụ n g q u v tấc I/Hopital thu đ ư ợ c biểu thức t ư ờ n g m i n h c ủ a Yn ( x ) :
7 • • X
71 2 71 k=o k\ V 2 y
Ẽ
(-1)'
/ \/j+2Ấ:
V 2 /
(7.47)
n TZk=0 k\[k + n)
r ( k + 1) r ( n + k + 1) r(Ả; + l) r(A7 + Ấ: + l)
H ìn h 7.3. Đồ thị hàm Bessel loại II Y„(x)
K h i rỉ = 0 , h à m
Y A x ) = - J Á x )ìn^ - - Ỹ j
7Ĩ z 71 í._n
( - i y JC
V 2 / r ( * + i ) (*!)’ r (t + 1 )
R õ ràng h à m K v (x) n à y c ũ n g là n g h i ệ m c ủa p h ư ơ n g trình (7.31), bởi vì n ó là tổ h ợ p t u y ế n tính c ủ a hai n g h i ệ m riêng J v ( x) v à J „ v (x) c ủ a p h ư ơ n g trình này. Y (x) đ ư ợ c gọi là h à m Bessel loại II c ấ p V h a y c ò n đ ư ợ c gọi là h à m Weber. J v (x) v à Yv (x) là hai h à m độc lập tuyến tính, với V là số h ữ u tỷ, n ó tạo n ê n hệ n g h i ệ m c ơ b ả n c ủa p h ư ơ n g trình (7.31).
y = q j v {x) + C ĩYv {x) (7.48)
2. Các tính chất truy hồi của hàm Bessel
H à m Bessel c ó các tính chất:
X X
J : ( x ) = - J , tí( x ) + - J , ( x ) , n ' w = - n . , w + 7 n w ( 2 X 7 . 4 9 )
j ,ả x ) = — j á * ) -j .ả x ) ’ n . , w = — n w - n - , w (3)
X X
T a c h ứ n g m i n h c ô n g thức (2), thật vậy:
È d x
J v (x)
_ d _ Ỷ
~ d x h ũ
(-l)á
.2 k
2 v+2*/t!r(v + Ấ: + l) - 1
( - l ) V
v + 2 / t - l
d_
d x
_ --- K=u — ■' ■ \ / A — I —
T r o n g biểu thức cuối, thay tổng k b ằ n g k + 1 ta có
■ ~ f ( - ■ ) * * “ " Ỷ
/ J f } V + 2 k-1 / /, I L I l \ '
k= 0 ‘
JẢ X)
C h ú ý rằng
' JẢ XY
h2*-'(*-l)!r(v + ifc + l)
%
/ \ V + I + 2Ấ-
( - l ) * í - ì
1 00 V / ^)
1 y 1 \ ^ J______ __
x v h k \ r ( v + l + k + ỉ)
( - l ) V * +'
2 v+2k+ĩk ĩ r { v + Ã + k + 1)
J v+1 ( * )
d_
d x
_ J [ ị x ) x v - \ x ^ J v (x) _ J [ \ x ) V , , V J v+iị
2 V “ V v J v V X' J ' “ V
X X x . x X
J v + I ( * )
= > J[ (x) = - J v+I ( x ) + - j r (x), y ; ( x ) = - r v+l ( x ) + - j; (x).
X X
Đ ó là điều phải c h ứ n g m i nh.
3. Một vài trường hợp riêng của hàm Bessel
T r o n g vật lý - toán t h ư ờ n g g ặ p các h à m sau
J 0 (x), J,(x), r0 (x), J , (x),
±ô+ — 2
với H n g u y ê n . H a i h à m đ ầ u tiên đ ư ợ c biểu diễn d ư ớ i d ạ n g chuỗi:
2 4 6
r / \ . X X X
J 0 (x) = 1 - — r + — — --T ---ĩ-- 1----7 + — ; o W 2 2 x 4 2 x 4 x 6
■ A ô = Đ
2 4 6
X X X
2 x 4 2 x 4 2 x 6 2 x 4 2 x 6 2 x8
T ừ c ô n g t h ứ c t r u y h ồ i , / v ! ( x ) = — J v ( x ) - J | ( x ) , c á c h à m
X
J y ( a - ) c ó thó đ ư ợ c t ì m t ừ . / ( , ( x ) . ,/ị ( x ) .
C á c h à m . / , (x). J ! ( . v ) đ ư ợ c b i ề u d i ễ n n h ư s a u
2 Ắ-=0
H ) J Í--Ì v 2 y
+ 2*
k\r/ 3 - + k ì
v 2 T h e o c ô n g t h ứ c c ú a h à m G a m m a t a c ó
l x 3 x 5 x . . . x ( 2 Ấ ; + l ) r 1 N
í 1 1
= ^ J | ( X ) = J ỵ
: V 7LV n
T ư ơ n g t ự
X J X ... X ^z/c T 1 j 1
^Ẩ: + l ^ o 5
(-I)*(*r I X .
(2V + I ) ! \ n x s m x '
J J ( x ) = J — c o s x .
"2 V 71X
/ X 2 v . , X . , X
V
Á p d ụ n g c ô n g t h ứ c J v+I ( x ) = . / v ( x ) - J v_! ( x ) t a t ì m đ ư ợ c : X
< v > = V
2 ( s i n x ^
- ỉ 2 > . I . . . (
71 N nx
A 7
V x V V 7ĨX
ĨS1I1
l 2 J
1 - CUb X
A 2 j
2 V TUC
- s i n x + s i n X ---
2
1 í w ^- '
1 71
— cos X ---- >
X l 2 )
2_
u x
4. Hàm Bessel ảo
X é t p h ư ơ n g t r ì n h
\ X )
s i n ( x -7t ) + — c o s ( x -7i )
X 2y" + x ý + ị x 2 - V 2 = 0, v ớ i X đ ư ợ c t h a y b ằ n g i X .
N ế u X đ ư ợ c t h a y b à n g 7 X , p h ư ơ n g t r ì n h ( 7 . 5 0 ) c ó d ạ n g
( 7 . 5 0 )
(ixf J ~ 2 + iix) d Ụ x )
\ à y 4_
’ d [ix)
1
L
( i x ý - y = 0 <=>
2 d 2y d y Ị- 2 2 -ị 2 d 2y d y /
— -f + x — + - X ' - V V = 0 <=> X — - Ỷ + x — -
í/x í ử L J ^ v
+ v 2 ) v = 0
dx- d x v '•
h a y x 2y" + x y ' - ( x 2 + V 2 )> ’ = 0. (*)
(*) được gọi là thể biến dạng của phương trình B e ss e l, nghiệm có dạng
.y (x) = c, J v (iX) + C 2Yv (i X).
N h ư v ậ y
/ . \2Ả:+V / \ 2k + v
( - 1 ) 1 - / 2* / v ( - l ) * -
00 V / 00 V / <-)
J (ỊX) = y ___ ±±1 __ = y _____ _A ±1 __
A ’ ả * ! r ( v + * + i) ả k \ r ( v + k + ỉ)
/ \ 2 Ắ : + V / \ 2 k + v
/v ( - l ) * ( - l ) * f — 1 [ - 1
00 V / V / ọg ^
= y ________ _____= /V y__ i± z ____ = / 7
t í Ả:!r(v + * + l) £a*!r(v + Ả: + l) vV 7
C h o n K v (x) = — — ^ ^ , ta có n g h i ê m c ủ a p h ư ơ n g trình (7.31) 2 sinv7t
là tổng c ủ a các h à m Bessel ảo loại I v à II, c ó d ạ n g y ( x ) = C ]ỉv (x) + C 2K v (x).
U ứ
Hình 7.4. Hàm Bessel ảo loại I ln ( x ) Krt(x)
Hinh 7.5. Hàm Bessel ảo loại I! K n ( x )
§5. TÍNH TRỰC GIAO CỦA HÀM BESSEL 1. Tính chất trực giao thứ nhất của hàm Bessel
X é t p h ư ơ n g trình
x 2y" + xy' + ( k 2x 2 - v 7- ) y = 0, (7.51) trong d ó k là h à n g sổ n à o đ ó k hác không.
N ế u thay / = k x, khi đ ó ta đ ư a p h ư ơ n g trình (7.51) v ề d ạ n g
r ộ + / ậ + ( / 2 - v 2)j/ = 0. (7.52)
d t clt K 1
(7.52) là p h ư ơ n g trình Bessel biến số /, vì v ậ y n g h i ệ m có d ạ n g
y ~ J v ( k x ) hay X2--- ^4—— + x— —— - + (&2X2 - V2) J v ( t a ) = 0 . (7.53)
C h i a hai v ế c ủ a (7.53) c h o X ta có d_
d x
d J v (kx)
X---— --- +
( 2 ^
d x , x x ;
J v{kx) = 0.
.ấy hai giá trị k h á c n h a u c ủ a k v à viết 2 p h ư ơ n g trình t ư ơ n g ứng:
J v (k}x) = 0 \ x J v (k2x);
d d J v (k [X)
_i_
< 2 \
k 2X - — \
d x d x
[ /V Ị A
V * )
d x dJÁ k2Xĩ +
í 1 \
ị k ; x- — 1
cỉx d x l x -i
T r ừ hai vế c ủ a p h ư ơ n g trình c h o nhau, ta có (kị - k ;)x J v (k ỉx ) J v ( k 2x) = —
, s dJ„ịk.x) , ,dJ„(k-,x)
( M ) ; ; (*.*) ^
L ấ y tích p h â n từ 0 đ ế n I p h ư ơ n g trình trên ta đ ư ợ c
0
C h ú ý rằng, n ế u V > - 1 , h à m ./v (*) có tất cả các n g h i ệ m thực. V ì theo (7.41):
/ \ 2 k + v k X
/ M = y ______ i ± z ____9 1
A j Ố Ẳ ! r ( v + H i )
sẽ có t ừ n g c ặ p g i ố n g n h a u về giá trị tuyệt đối, n h ư n g n g ư ợ c n h a u v ẻ dấu.
n ê n ta chỉ xét các n g h i ệ m d ư ơ n g . G i ả s ử k { = — , , trong đ ó
L z<
là hai n g h i ệ m d ư ơ n g k h á c n h a u c ủ a p h ư ơ n g trình J v (x) = 0. S u y ra
(7.54)
T h ậ t vậy, giả s ử k = — với n là n g h i ệ m d ư ơ n g c ủ a p h ư ơ n g trình L
J v (x) = 0 . T r o n g c ô n g thức (7.54), thay kị = k, c h o k2 - > k v à coi k 2 n h ư là biến số, ta có
0
/ r \ J r
K h i k 2 - > k , vê phải có d ạ n g bât định — , áp d ụ n g q u y tăc L'Hopital ta có
k-ỵ-tklim
M I |imj Ị ^ K W Ị
k ỉ ~ k ‘ - ỉ - ( k i - e )
dk-Ị
- Ị i
' ! 2 k, 2
V ậ y
T a có
2 k 2
) x J l ị ụ ^ d x = (7.55)
N h ư vậy, c ô n g thức (7.55) c ó d ạ n g
D o đó, ta c ó c ô n g thức trực giao
' r í X 0 \ L )
J v A
* ' L -
\ L )
&■ II
0, ứ
i * j
ứ (7.56)
v ớ i Ịa, v à n là n g h iệ m d ư ơ n g c ủ a p h ư ơ n g trìn h J v ( x ) = 0 .
2. Tính chất trực giao thứ hai của hàm Bessel
N ế u c h o điều kiện:
a./,. (*) + p*./, {x) - 0, V > - 1 ;
\ x J ;
s i
d x =
ỵ2 ( 2 q 2 2 N
L ị . a - p V
1 + 2 . . 2
PV
(7.57)
(7.58)
c ó |U là n g h i ệ m d ư ơ n g c ủ a p h ư ơ n g trình trên thì giả s ử k x = —u , k 2 - — ,
I. Z|
trong d ó |a ,(i là hai n g h i ệ m d ư ơ n g k h á c n h a u c ủ a p h ư ơ n g trình (7.57), tức là:
a J v{k ìL ) + $ k ìL J lr (klL ) = 0\
a J v(k2L ) + $ k 2L J Í ( k ỉL ) = 0.
N h â n p h ư ơ n g trình trên với J v(k 2L) v à p h ư ơ n g trình d ư ớ i với J v ( k ị L ) , rồi trừ c h o n h a u ta thu đ ư ợ c
K J[. { K L ) J V ( ụ ) - ỵ ! { k , L ) J , { k , L ) = 0.
K h i k ị * k 2 :
ị x J v (kix ) J v (k2x ) d x = L [ k ]J w (k2L ) J l ( k ỊL ) - k 2J v (kìL ) J ' ( k ỉL ) \ = 0.
0
T r o n g t r ư ờ n g h ợ p này, ta c ũ n g có tính trực giao c ủ a các h à m Bessel
L
d x = 0, j * j .
(X
C h ú ý răng, n ê u V > - 1 và — + v > 0 thì n g h i ệ m c ủa p h ư ơ n g trình là thực.
p
G i ả s ừ k = — , trong đ ó |J. là n g h i ệ m c ủ a p h ư ơ n g trình (7.57), theo c ô n g
Lẩ
thức (7.58) ta đặt = k, c h o k 2 — > k v à coi k 2 n h ư là biến số, ta c ó
' f „ , { b )j. ( M ) * -
0 kị k
X X 0
• f I A / I 1 • ^ 1 1 A . ' A * I V/ v / 1 ^. w
K h i k 2 - > k v ê phải c ó d ạ n g bât định — , á p d ụ n g q u y tăc L'Hopital ta c ó
\xJ[ dx L Ị V ? 0 0 ■-K ( n R 0 0 ■- \ X J Í ( tx R
2 k
. (7 .5 9 )
T h e o p h ư ơ n g trìn h B essel
1
■ M n ) = o.
N h â n p h ư ơ n g trình trên với (n) ta đ ư ợ c ' • - ỉ '
( n K ' ( n W v ( n K (n) = -M- N h ư vậy, c ô n g thứ c (7.59) có d ạ n g
^ w -
d x — — — 2
+ •/v2 M
T ừ p h ư ơ n g trình (7.57), s u y ra a
T h a y n g ư ợ c lên trên, ta c ó c ô n g thức trực giao
"0, i * j
1 ' £ V
-A
0 V
d x = c r - Ị 3 2v
PV2
2. . 2 'N\
A 2 W .
M- = = 1-1, (7.60) i = j
§6. KHAI TRIỀN MỘT HÀM TÙY Ý VÀO CÁC HÀM BESSEL
H ã y tìm h ệ số khai triển m ộ t h à m tuỳ ý v à o c h u ỗ i c ủ a các h à m Bessel ( x \
J v ỊJ.( — trên đ o ạ n 0 < X < L trong 2 t r ư ờ n g hợp:
V L J
a) 1-1, (/■ = 1,2,...) là n g h i ệ m c ủ a p h ư ơ n g trình J v (x) = 0.
b ) | i ( (/ = 1,2,...) là nghiệm của phương trình a J v(.x) + p .x J '( x ) = 0.
( X >
T r o n g §5, đ ã c h ứ n g tỏ các h à m J v |I( — trực giao v à c h u ẩ n h o á trên V L )
đ o ạ n 0 < X < L . K h a i triển m ộ t h à m bất k ỳ v à o c h uỗi các h à m Bessel ( X \
J v — với h ệ số khai triển là a :
" ■ 7
, V > - 1 , 0 < X < L . f { x ) = Ỳ a ,J s
/=1 V L y
a) N ế u n, (/■ = 1,2,...) là n g h iệ m củ a p h ư ơ n g tr ìn h J v ( x ) = 0 , theo cô n g th ứ c (7 .5 6 ) ta có
/p ( X ( Y >
x J v ;7 J v 7 í/.Y = <
0 l I-) V L )
N h à n hai vế với x J X L a
rồi lấy tích p h â n từ 0 đ ế n L suy ra đ ư ợ c hệ số
d x .
0, i * ị
N g ư ờ i ta gọi khai triên n à y là khai triên Fourier-Bessei b) N ế u |A; (/ = 1,2,...) là n g h i ệ m c ủ a p h ư ơ n g trình
c Ư v (.r) + P x J x'(x) = 0.
T h e o m ụ c 2, §5 ta c ó
0, i * j 1 X / ,
\ ụ 'IL J I-1/
L
d x = L
1 + ạ -Ị3 V
PV
2..2 \
N h â n hai v ế c ủ a p h ư ơ n g trình đ ã c h o với x J n — rồi lấy tích p h â n
' /
từ 0 đ ê n L s u y ra đ ư ợ c hệ sô a. =
L 2 I • |; ' J,! M ‘
V p M', J
N g ư ờ i ta gọi khai triên n à y là khai triên Dy n i - B e s s e l 2 \
I.
Ị x f ( x ) A
L
d x
§7. ĐA THỨC LEGENDRE 1. Đa thức Legendre
P h ư ơ n g trình L e g e n d r e c ó d ạ n g d "
d x d x
4- X y = 0,
h o ặ c
2s d 2y dy
(1 — x ) — ^ - - 2 x — + X y = 0
d x dx
2 d 2y d 2y d y 7---- + 2 x — - X y = 0
d x d x d x
(7.61)
(7.62)
V
f 7
trong đ ó Ả là t h a m sô n à o đó, p h ư ơ n g trình có các đ i ê m đ ặc biệt tại x = ± \ .
v ấ n đề đặt ra là tìm giá trị c ủa t h a m số X, sao c h o p h ư ơ n g trình tồn tại n g h i ệ m k h ô n g t ầ m t h ư ờ n g trong đ o ạ n [-1,1].
T ì m n g h i ệ m c ù a p h ư ơ n g trĩnh L e g e n d r e d ư ớ i d ạ n g chuỗi y = ị a ỵ .
>1=0 T h a y y v à o (7.62) ta n h ậ n được:
Ỳ n(n - 1) a nx" - Ỳ n (" - 1 ) a nx n'2 + 2Ỳ n a , y - a nx " = 0 •
/7=2 n = 2 /1=1 n = 0
T h a y n = n + 2 v à o số h ạ n g thứ hai ta thu đ ư ợ c
[ n ( n + ì ) - x ] a n - ( n + 2 ) ( n + \ ) a ll+ĩ = 0 ,
h a y là
n{n + 1) - Ằ (n + ỉ)(n + 2) các hệ số a ữ v à ữ, tuỳ ý.
K h i a 0 * 0, a t = 0 ta có n g h i ệ m riêng c ủ a p h ư ơ n g trình L e g e n d r e chỉ c h ứ a các b ậc c h ẵ n c ủ a X. K h i a ữ = 0, ữ, * 0 ta c ó n g h i ệ m riêng c ủ a p h ư ơ n g
trình Legendre chỉ chứa các bậc lẻ của X.
K h i Ằ - n ( n + 1) p h ư ơ n g trình có n g h i ệ m d ư ớ i d ạ n g chuỗi đ ế n bậc n.
T ì m n g h i ệ m t ư ơ n g ứ n g c ủ a p h ư ơ n g trình d
d x
a „+2 = (7.63)
0 - * ■ ) £ d x
+ n ị n + \)y = 0 , h a y
(ằ9 i. ci) 0-1
( v v ) ằ S w u V
2 , d 2y ~ _ d y
( l - x 2) ^ ỷ - 2 x ^ - + n ( n + \)y = 0
d x d x
có d ạ n g chuỗi b ậ c n.
X é t đ a thức b ậ c 2n:
Z = (x2 - Ỉ Ỵ . (7.64)
D ễ d à n g thấy rằng, đ a thức (7.64) thỏa m ã n p h ư ơ n g trình vi p h â n sau (x 2 -1) — - 2 n x z = 0 .
d x
(7.65) Đ ạ o h à m hại vế c ủ a p h ư ơ n g trình (7.65) n lần theo X , ta n h ậ n đ ư ợ c
/ ì - 2 \ u z . . 1 \ _ (n - \) A t ’
( l - j c 2) ^ ^ + ô(rt + l ) z ("-n = 0
d x
(7.66)
N ê u vi p h â n p h ư ơ n g trình n à y m ộ t lân n ữ a theo X , sẽ tìm đ ư ợ c z ịn) thỏa m ã n p h ư ơ n g trình (7.61):
(1 - A"? ) r (,Ml) 4- n ( n + l ) z ' /1-1)
(1 - x 2)z{n+2) ~ 2 x z {n+]) + n ( n + \)z(,ì] = 0 ;
(1 - .V ) ----2 x — ---- h n { n + 1 = 0 .
d x cix
N h ư vậy, p h ư ơ n g trình (7.62) c ó n g h i ệ m V = C z {in = c^ c i " ( x 2 - i ỵ
dx' trong đ ó (' là h à n g số. Đ ặ t c = 1
2"n\
ta có
W - ỹ T j < r ( f . i r . < ô - 0 . U - . ) . (7.67) 2 n ! dx
Đ â y là đ a thức L e g e n d r e , là n g h i ệ m c ủ a p h ư ơ n g trình (7.61) khi X = n ( n + }). M ộ t vài giá trị đ ầ u tiên c ủa n g h i ệ m là:
= 1; I\ {*) = Pị w = ị ( 3 * ’ - 1); /; (*) ~ ( 5 * ! - 3 x ) .
C h ú n g m i n h ràng, các đ a thức L e g e n d r e với b ậc k h á c n h a u trực giao v à c h u ẩ n h o á với n h a u trong k h o ả n g (-1,4-1).
P h ư ơ n g trình c ủ a hai đa thức L e g e n d r e k h á c n h a u là:
'/ r ( l - * v ằ ] + ^ „ ( x ) = 0 d x
cỉ_
d x
( i - x 2)/ì;(x)] + ^ , ( x ) = o
N h â n p h ư ơ n g Irình đ ầ u với p „ ( x ) , p h ư ơ n g trình t hứ hai với p (X ), trừ hai p h ư ơ n g trình rồi lấy tích p h â n 2 vế trong k h o ả n g từ (-l, + l) ta được:
( K - K ) ) r n ( x ) P J x ) d x = Ị ị p (,-)^[(l - .r2 )p;,(x)] - w | ; [ ( l - x 2)P'm { x ) ị d x
N h ư v ậ y Ọ , m - X n ) ị P Á x ) P m {x)dx = 0, -!
h a y là 'ịpn(x)pm (x)dx = 0 ( m * n) (7.68)
-1
tức là các đ a thức L e g e n d r e trực giao n h a u trên đ o ạ n (— 1,-t-l).
B â y giờ c h u â n h o á đ a thức b à n g c á c h xét bình p h ư ơ n g c ủ a đa thức L e g e n d r e
I
H „ = ị p ; { x ) d x . -I
S ử d ụ n g c ô n g thức t ư ờ n g m i n h c ủ a đ a thức L e g e n d r e , tích p h â n trên có d ạ n g
d ”(x2 - 1)” d ' \ x 2 - \ Ỵ H - , 1 'f
" 2 2'\n\ý
d x .
2 J> ! r d x ” dx'
T í c h p h â n t ừ n g p h ầ n n lần v à c h ú ý ràng sẽ xuất hiện m ộ t h ạ n g thức b ê n ngoài tích p h â n b ằ n g k h ô n g ta có
, 2 1v,rf2V - Ị ) "
-í 2 0 !) ,
Biết rằng
| ( x 2 - \)"dx = (-1)".2 -1
ị P ^ ( x ) d x = — ~
dx-" 2 2'\n\)
^ { ( x 1 - \ Ỵ d x . -I
2.4...2/7 3.5...(2w + l)
d o đ ó
-1 2/7 + 1
N h ư v ậ y tính trực giao và c h u ẩ n h o á c ủ a đ a thức L e g e n d r e trên đ o ạ n (-1,+1) là
ị 0, m & n
(x)Pm d x =
- I
(7.69)
m = n
2n + \
V ứ i tính trực uiao c ủ a các d a thức Legendre. c ó thô khai triên h à m bât k ỳ v à o chuỗi các đa thức L e g e n d r e
/J=0
trong d ó
2/7 + 1
a = J/(.v)/>.(.v)<iv
-I
2. Các tính chất của đa thức Legendre
1) /’,(-*) = ( - i m . Y ) ;
2) />„_,(P ) = 0 . •
2 {n\y
3, p„0) = l r„{-1) = (-1 )";
4) C á c n g h i ệ m c ủ a P n(x) đ ề u thực v à n ằ m trong k h o ả n g (-1,+ 1).
3. Đa thức Legendre liên kết
T ì m trị riêng và h à m riêng c ủ a p h ư ơ n g trình
d + X - m
ỉ - x -
y = 0, - 1 < X <
(7.70) dx
>’(±l)| < co
N g h i ệ m đ ư ợ c tìm d ư ớ i d ạ n g
y { x ) = ( \ - x 2 ý v ( x ) , F ( ± 1 ) * 0 . (7.71) T a p ủ
^ = (l - ,v:) V'(x) - — (l - . r ) 2 x V ( x ) = (] - X 2) 2 v'(x) - (l - * 2ý~' m x V ( x) ;
dx 2
/ ỊH . m
( l - x 2) ^ = ( l - x 2) 2 V ( x ) - ị ỉ - x 2)1 mxV(x)-,
I 1 /II 2 2
(1 ~ = (1 “ Ằ':)2 0 - *2)r (*) - 2(m + 1) * r (*) + Ị T T ^ Ị ^ (^) - (x)
T h a y v à o p h ư ơ n g trình (7.70), ta được:
d
d x
d_
dx
2\ í/v +
■> \ m 1 - r
>> = (l - X 2) K " - 2 ( w + lỊ.vK' + À.- m { m + 1) V - 0
V ậ y p h ư ơ n g trình (7.70) c ó d ạ n g
[ \ - x 2 ) V " - 2 ( m + \)xV' + X - m { m + l)J V = 0.
M ặ t khác, vi p h â n m lần p h ư ơ n g trình L e g e n d r e (7.61) ta cỏ d
dx'
(l - - 2 x — + X y
[ 1 dx- dx
= 0.
V ì = Ệ C
1=0
suy ra
c m =
d'
m ị ^ 0 _ , . ^ r,2 _ r n { m - \ )
; =1; c = w ; c-m = - ± - —
dx'
t/1 2 x — dx
d dx'
1/ÌÌ+2 7 w+1 / ///
<=> ( l - x 2 ) ---y - - 2 ( m + l ) . x ---y + Ị"ầ. “ /w(aw + 1)"|--- = 0 . 1 '</x",+2 v ; Í & B,+I L v clx"
S o s á n h (7.72) với (7.73), suy ra
T a c ó n g h i ệ m
t ư ơ n g ứ n g với trị riêng
= >. = ô ( ằ + !)•
’
k lì- n [ n + \), /7 = 1,2...
(7.72)
(7.73)
(7.74)
(7.75)
/)j"' (x) là h à m L e g e n d r e liên kết c ấ p m , với /H = 0,1,2... v à
r!,°'{*) = rA*y,
p\"'\x)í- 0, m < n .
4. Tính trực giao và chuẩn hoá của đa thức Legendre liên kết
N h â n p h ư ơ n g trinh (7.72) với (l - X 2 ) ta có
( l - x 2 Ị V " - 2 ( m + \ ) ị l - x 2^ x V + ị x - m ( m + l)](l - -V2) v = 0 , trong đ ó V (x) và Ằ đ ư ợ c xác định theo c ô n g thức (7.74).
T h a y 1 1 1 + ] b ă n g m , ta được:
(1 - .r )'" V " - 2 m x ( \- X 2)"' 1 V' + [ k - m ( m - 1 )](l - -V: )"' 1 V = 0 ;
X - w(/7? - l ) ] ( l - X2 Ị V .
ij_
d x
d V
c ừ
' i I • / \ / :
với l (.V ) = -
v ' í/a 1 D o d ó
cì_
c ỉ x
Đ ư a v à o k ý hiệu ( i - * 7
íử'"
A. — m ( m — 1) ( l - . v 2)
r . = f / >,",)(x)/>(",)(jcW;t = f ( ln.k ị n K Ị k \ - X 2 Ỵ d^ - - ^ d x .^ t/x™
T í n h tích p h â n L"'Ả = [ (l-.Y2 ) ^ ^ — t ử b ằ n g c á c h áp d u n g
v ' í/x '" từ '"
c ô n g thức tính tích p h â n t ừ n g phần, đặt u = (
l - 2 ) d x m
d v = d x
S u y ra
W- II 1 X u < r '/>„ đ"'Pk
í/x'"-1 d x m
- Í 1
x )
í/--■/>„ d " ’Pk d x " ^ d x m
= [ ô ( /7 + 1)- m ị ^ m
í/m = - [ằ, - m (m - 1 )1 — — - - d x d x/II-I
V = d m -'p„
dx'"-'
I ị x - w ( m - l ) J I
1
I
)]f-I
— — p--- — 7- d x 6/x"'-1 cử"'"1
dx dx"'-' d x m]
D o đ ó
c = ( ô + w - 1)(ô - /n+ 2 ) 2 . V ậ y /.;% biểu diễn q u a L"Ả2 n h ư sau
L " k = (/7 + m ) { n + m - 1)(ô - m 4-1)(/7 - m + 2)ư'~k2.
T i ế p tục c á c h l à m n h ư trên ta thu đ ư ợ c c ô n g thức
ư ’k = (/7 + ô2)(/7 + ô7- l ) . . . ( / 7 + l ) x ( / ? - m + l)(/7-ft7 + 2)...nL°n k .
Vì
(n + m ) ị n + m - 1 ... ằ + l /7!f i;
h( / 7 - w + l)(w-tf7 + 2)...w =
suy ra V ậ y
e , = ( * ) *
-I
( /7 — A?7 )
k - rì
2/7 + 1 ( / 7 - m ) !
H a y c ô n g thức c h u ẩ n h ó a c ủ a đ a thức L e g e n d r e liên kết là 2 (/7 + w) !
2 ô + 1
0.
p
2/7 + 1 ( t t - m ) !
(7.76)
(7.77)
§8. ĐỊNH NGHĨA HÀM CẦU 1. Hàm cầu
X é t p h ư ơ n g trình L a p lace đ ư ợ c viết trong h ệ tọa đ ộ c ầu r 2 õll
ầ u = _L_a_
r 2 õr õr
sinG ae
r 2 sin0 Ỡ 0 trong đ ú ô = w(/',0,tp).
D ù n g p h ư ơ n g p h á p tách hiến đặt
w(r,e,cp) = /?(r).r(e,ẹ).
T h a y (7.79) v à o p h ư ơ n g trình (7.78) ta có
— 1____ệ ĩ - = o r 2 sin2 9 0cp2
(7.78)
y (e ,q > ) õr
2 Õ R ( r ) ) R ( r ) d ^ a d Y ( Q , <p) õr sin 9 Ỡ 0
sin0 ae
C h i a hai vế c h o /?(r)y(0,(p) ta có
C h ọ n :
1 ổ 1 1 ổ 1 ỡ 2r(0,(p)
R ( r ) dr 1, * , h "iPCD
sin 9 50
5111 Ư
l 50 J sin2 0 ỡ(p2
(7.79)
sin 0 ỡcp
- 0
_ 1 _ õ _ R ( r ) õr
1 r ( 0 , c p j
2 ÕR(r)
õr = x
1 d
s i n B --- --- + 1 a2r(e,cp)~
sin0 (90l 50 J sin2 9 ỡcp2 = - x
B ằ n g c á c h c h ọ n Ằ c h o các biểu thức trên ta có các p h ư ơ n g trình sau
và
J _ d _ R ( r) ả r
1 a sin0 Ổ 0
2 d R ( r ) d r Õ Y
ae
R ( r ) d r R { r ) dr
sin 9 + Ô 2Y
sin2 9 ỡcp2
+ X Y = 0.
ỉ ỉ à m R thóa m ã n p h ư ơ n g trình
r -R" + 2 r R ' - l R = 0.
N g h i ệ m c ủ a R c ó d ạ n g
trong đ ó n thỏa m ã n p h ư ơ n g trình X = n [ n + 1) .
X é t bài toán ngoài, d o n n g uyên, A = 0 s uy ra R = B.
,ằ+1
P h ư ơ n g trình c h o Y có d ạ n g 1 õ s in0 Ỡ 0
sin0ẼL
5 9
1 õ Y sin 0 ổ ọ H à m Y thỏa m ã n điều kiện
> ( e , < p ) = 7 ( 0 , ( p + 271)
Jr(o,cp)|<oo,|r(7t,cp)|<oo
N g h i ệ m c ủ a p h ư ơ n g trình Laplace có d ạ n g
ô(r,9,(p) = ^ ^ ỏ .
N g ư ờ i ta đ ị n h n g h ĩ a h à m c ầu là ĩighiệm c ủ a p h ư ơ n g trình 1 ỡ ( ■ " Õ Y ^ + 1 d X + n ( n + ỉ)Y„ = 0( , w s i n G Ỡ 0 5 0
(7.80)
r + ^ r = 0. (7.81)
(7.82)
(7.83)
si n 2 0 ỡ(p:
Yn (0,(p + 271) = Y„ (e,cp);|r„ (0,cp)Ị < co; Y„ (ĩt,(p)| < co
P h ư ơ n g trình trên c ò n đ ư ợ c gọi là p h ư ơ n g trình x á c đ ịnh h à m cầu. Đ ể giải p h ư ơ n g trình h à m cầu, c h ọ n
r(e,cp) = 0 (e).o(cp). (7.84) T h ay (7.84) v à o p h ư ơ n g trình (7.83) ta có
o d sin 0 d B
sin 9 d P d Q
+ p í/2o
sin2 9 t/cp'
+ n ( n + \)p<£> = 0 ;
1 d
P s i n B (JQ
sinG dP_
d e +
d 2 cp sin2 0 o í/cp
J- + ô ( ô + 1) = 0 .
C h ọ n 1 d10
0 dcp
Y = - m , h à m ® thỏa m ã n p h ư ơ n g trình
<t>' + m 2 o = 0 0 ((p + 2 n ) = <5 (9 )
(7.85)
v à
sin 0 d9
d í . a d P s i n 0 - —
d Q
+ m
n ( n + 1) — — v ’ sin 0
p = 0. (7.86)
Đ ặ t X = COS0 = > d x = - s i n 0 í / 9 , p h ư ơ n g trình (7.86) đ ư ọ c đổi sang biến m ớ i
s in0 d Q d
d ( . dP
sintì— -
dd
<=>
d x
+
+
n { n + \) ---m v ' sin 0
ô ( ô + ! ) - m l - x 2
p = 0
p = 0 .
Đ â y là p h ư ơ n g trình x ác định đ a thức L e g e n d r e liên kết v à đ ã đ ư ợ c giải ở §7. N g h i ệ m c ủ a p h ư ơ n g trình n à y là
d ”'P.
p = pỊ;-'(x) = ( \ - x - y
dx'
m < rì
h a y p = ( c o s 0 ) = (sin 0 ) ’
d mp„{ COS0)
d ( c o s G )
V ớ i m ỗ i n c ó n + 1 n g h i ệ m riêng c ủ a p h ư ơ n g trình đ ó là p „ , p „ , V ớ i m ỗ i c ặ p n g h i ệ m
cos W(p sin tmp
t ư ơ n g ứ n g với n + l n g h i ệ m , ta có 2/7 4-1 n g h i ệ m c ủ a h à m c ầ u đ ộ c lập tu yến tính là:
p ^ ] (cosG)cos(p (cosG)sin(p p {n'"] ( c o s 0 ) c o s / m p
1 ( c o s 0 ) c o s 2 ( p
( c o s 0 ) s i n 2(p
P " ( c o s G ) c o s H(p P ” (cos9)sin /7(p
r ( c o s G ) s i n wcp
trong d ú w = 1,2...,/7; ô = 0,1,2...
T h e o c ô n g thức trên, ta q u y ư ớ c 2/7 + 1 h à m c ầ u là F <0) ( c o s 0 ) = P n (cosG);
K ll)( c o s 9 ) = ^ (l) (cos9)cos(p K (l) ( c o s 9 ) = (cos9)sin(p
}’í ",,( c o s 9 ) = ( c o s 0 ) c o s w c p yI'"'ì (cosG) = / 5)í"')( c o s 0 ) s i n wcp
(cos 0) = (cos 0) cos m p K (,,)( c o s 0 ) = /^''*(cos0)sinmp V ậ y n g h i ệ m c ủa p h ư ơ n g trình (7.83) c ó d ạ n g
Yằ(Q*<Ỉ>) = ẳ K ằ cosw(P + 5 ™sin,mP R (m)(cos0) = ẳ
/ô=0 m =-n
trong đ ó
c 4 „ m - {)
B. m > 0
H à m }'jo|(0) = Pn ( c o s 0 ) k h ô n g p h ụ thuộc v à o cp đ ư ợ c gọi là h à m đới, tức là hình c ầ u chia t h ành n + 1 m i ề n vĩ tuyến, tại đ ó d ấ u c ủ a h à m đới đ ư ợ c b ả o toàn.
X é t h à m
.(±A)
sin 0 Ế .
dt r.ụ)
/=COS0
sin Ả:cp cosẢxp
trên hình cầu, bởi vì sin 9 c h u y ể n b à n g k h ô n g ở trên các cực, các h à m sin Ả:cp
c h u y ê n b ă n g k h ô n g tai các đ ư ờ n g kin h tuyên 2k . c o s k ọ
V ớ i 2/7 + 1 h à m c ầ u trực giao v à c h u ẩ n h o á có thể khai triến h à m / ( 0 , cp) bất k ỳ v à o c h uỗi các h à m c ầu
/ ( e >(p) = ẳ rô(0’(p) = ẳ ẳ ( ^ ™ cosw(P + 5 - sinm(P K W (cos0) (7-87)
/1=0 /í=0 m=0
|Yo°(0.<J>)|2
0 / Q x \ \ 2
|Y, (0.ệ)|
|V2°(0.<ị>)|2
|Y 3°(8.<t>)|2
|Y,'(0.*)|2
|Y3'(e,<t>)i2 |v32(e-4>)i2 |Y33(0,Ộ)|2
§
ịRetvnei)]2
ReỊY^e^)]2 Rc[Y,m(0.*)]-
Re[Yim(0.<t>)]2 Re[Yr(6.<t.)]2 Re[Y,"(e,ôị>)]2
Í Í T 7 t i ' ...r
Im[Y,m(e.ôt.)]2
0
Im[Y|m(6,<|>)]2 Im[Y|'"(0,<ị>)]:
Hình 7.7. Dạng hàm cằu
X é t bài toán
A v + A.v = 0, v = 0.
T h a y toán tứ L a p l a c e trong tọa đ ộ cầu, ta có
2. Dao động riêng của hình cầu
r1 õr
d ( 2 õv r —
^ õr + 7 T A 0,pv + ^v - 0 r
tronq đó:
A 0 , V = — ---—
°-,p sin 9 ao sin0
õ v
~ÕQ
+ 1 Ẽrỵ_
sin2 9 ỡcp2 Giái p h ư ư n g trình d ư ớ i d ạ n g tách biến
v ( r , 0 , ọ ) = R { r ) Y (0,cp), thay v à o (7.89) ta đ ư ợ c :
d ( 2 d R ^ r — d x V d x
R
A Y
+ X r 2 + ^ i = 0 Y
\ . J + ịiY = 0
r 1 d x
d í , d R ) ( ịi' Ả --— d x
+ R = ữ
Giải hệ p h ư ơ n g trình (7.91) với điều kiện
lỵ L u < 0 ° ’ ỉ/ ( 0 , ẹ + 27r) = r ( 0 , 9 ) = > n = n ( n + l) V ớ i m ỗ i n có t ư ơ n g ứ n g với 2/7 + 1 h à m c ầu
^ (o,( ẹ , ( p ) = ^ ( c o s 0 )
0 , ọ ) = P,[^(c o s 0 ) c o s /cp
r (/)(0,(p) = P,(/)(cos0)sin/cp, ( / = 1,2,...,ô) Q u a y v ề p h ư ơ n g trình với R :
r 2 dr r
dr
+ X n ị n + 1) R = 0;
R ( r 0 ) = 0 , R ( 0 ) ô x > .
N h ờ c á c h đặt biến m ớ i y ( r )
ýi R ( r ) = :~ suy ra:
\ỉr
(7.88)
(7.89)
(7.90)
(7.91)
(7.92)
(7.93)
(7 .9 4 )