CHƯƠNG 2. XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TOÁN THỰC TIỄN
2.1. Mục tiêu và nội dung chủ yếu của dạy học chủ đề Tổ hợp – Xác suất
2.1.1. Mục tiêu 2.1.1.1. Về kiến thức
- HS nắm đƣợc các khái niệm về Tổ hợp – Xác suất.
- Các công thức để tính xác suất và điều kiện áp dụng.
- Biết đƣợc một số ứng dụng của Tổ hợp – Xác suất trong thực tế.
2.1.1.2. Về kĩ năng
- Rèn luyện cho HS kĩ năng nhận biết một bài toán Xác suất.
- HS biết vận dụng công thức Xác suất để giải các bài toán về Xác suất.
- Rèn cho HS kĩ năng tính toán nhanh, chính xác, trình bày lời giải khoa học.
2.1.1.3. Về tư duy, thái độ
- HS đƣợc rèn luyện khả năng tƣ duy logic và phát triển năng lực trí tuệ chung nhƣ: Phân tích, tổng hợp, khái quá hóa, đặc biệt hóa,…
- HS đƣợc học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo.
- HS đƣợc rèn luyện tính cẩn thận, chính xác trong quá trình tính toán, có thái độ nghiêm túc trong học tập, tích cực tham gia xây dựng bài.
2.1.2. Nội dung [7]
2.1.2.1 Hai quy t c đếm cơ bản a. Quy tắc cộng
Phát biểu quy tắc: Một công việc nào đó đƣợc thực hiện bởi 1 trong k phương án A1, A2, A3,… Ak
- Nếu phương án A1 có n1 cách thực hiện phương án A2 có n2 cách thực hiện
26 phương án Ak có nk cách thực hiện
và mỗi cách chọn của phương án này không trùng bất kì cách chọn nào của phương án còn lại thì có n1 n2 …nk cách thực hiện công việc ban đầu.
b. Quy tắc nhân
Phát biểu quy tắc: Một công việc được thực hiện bởi k bước liên tiếp.
- Nếu bước 1 có n1 cách thực hiện bước 2 có n2 cách thực hiện ……..
bước k có nk cách thực hiện
Ta có n1.n2…nk cách thực hiện công việc.
2.1.2.2. Hoán v - Chỉnh hợp - Tổ hợp I. Hoán vị
a) Đ nh nghĩa:
- Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1).
Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A đƣợc gọi là một hoán vị của n phần tử thuộc A (gọi tắt là 1 hoán vị của A).
- Lưu ý: Hai hoán vị của n phần tử chỉ khác nhau ở thứ tự sắp xếp.
b) Số các hoán v :
- Số các hoán vị của n phần tử đƣợc kí hiệu Pn .
- Công việc lập 1 hoán vị của tập A gồm n phần tử đƣợc thực hiện bởi n bước liên tiếp.
Vị trí thứ nhất có n cách chọn phần tử
Vị trí thứ hai có n – 1 cách chọn phần tử
Vị trí thứ ba có n – 2 cách chọn phần tử
………….
Vị trí thứ k có n – (k – 1) cách chọn phần tử
27
Vị trí thứ n – 1 có 2 cách chọn phần tử
Vị trí thứ n có 1 cách chọn phần tử
Theo QTN, có: n.(n – 1).(n – 2)…3.2.1 hoán vị của A
Pn = n.(n -1).(n -2)…3.2.1
- Kí hiệu: n.(n – 1).(n – 2)…3.2.1 = n!
Khi đó: Pn = n!
II. Chỉnh hợp a) Đ nh nghĩa:
- Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên k với 1 k n.
Mỗi cách sắp thứ tự k phần tử lấy từ n phần tử thuộc A đƣợc gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử thuộc A (gọi tắt là 1 chỉnh hợp chập k của A).
b) Số các chỉnh hợp:
- Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử đƣợc kí hiệu là: Akn
- Định lý: Số các chỉnh hợp chập k của một tập có n phần tử (1 k n) là:
( 1)...( 1) !
( )!
k n
n n n k n
A n k - Quy ƣớc: 0! = 1 và A0n = 1 III. Tổ hợp
a) Đ nh nghĩa:
- Cho tập A có n phần tử và số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n. Mỗi tập con của A có k phần tử đƣợc gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một tổ hợp chập k của A).
- Quy ƣớc: Tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng.
b) Số các tổ hợp:
- Số các tổ hợp chập k của n phần tử đƣợc kí hiệu là Ckn
28 - Định lý:
+) Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử (1 k n) là:
( 1)( 2)...( 1) !
! ! !( )!
k
k n
n
n n n n k n
k k k n k
C A
+) Quy ƣớc: C0n1
c) Hai tính chất cơ bản của số k
Cn
- Tính chất 1: Cho số nguyên dương n và số nguyên k với 0 ≤ k ≤ n.
Khi đó: CknCn kn
- Tính chất 2: Cho các số nguyên n và k với 1 k n
Khi đó: 1
1
k k k
n n n
C C C
2.1.2.3. Biến cố và xác suất của biến cố
I. Phép thử ngẫu nhiên và không gi n mẫu
- Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một thí nghiệm hay một hành động mà:
Kết quả của nó không đoán trước được;
Có thể xác định đƣợc tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó.
- Phép thử thường được kí hiệu bởi chữ T.
- Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đƣợc gọi là không gi n mẫu của phép thử và đƣợc kí hiệu bởi chữ (đọc là ô-mê-ga).
II. Biến cố - Định nghĩa:
+ Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay không xảy ra của A tùy thuộc vào kết quả của T.
29
+ Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra, đƣợc gọi là một kết quả thuận lợi cho A.
+ Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A đƣợc kí hiệu là A. Khi đó
người ta nói biến cố A được mô tả bởi tập A.