Một thuộc tính quan trọng của mô hình không gian theo thuyết vạn vật hấp dẫn chính là khoảng cách giữa các chất điểm. Theo 5.2.1, ta coi cây phân loại như là các hành tinh trong không gian, và như vậy khi xem xét khoảng cách giữa các hành tinh thì phải cần có tính đến mối liên hệ của các nút thuộc cây. Các trường hợp khác được tính theo cách tính khoảng cách của các nút trong cây và thêm hằng số C.
dij = dtij + C (5.3) Trong đó :
dij : khoảng cách giữa hành tinh i và j
dtij : khoảng cách giữa nút i và nút j
C : hằng số.
Do ta xét trường hợp chất điểm đặt tại hành tinh nào thì chịu lực hấp dẫn của hành tinh đó và các hành tinh khác. Với trường hợp chất điểm đặt tại hành tinh nào thì khoảng cách của chất điểm tới hành tinh được xác định là hằng số C = 1. Điều này cũng phù hợp với thực tế tính toán lực hấp dẫn của các hành tinh với chất điểm nằm trên bề mặt của nó. Khi đo khoảng cách từ chất điểm tới hành tinh được tính bằng khoảng cách của chất điểm tới tâm của hành tinh.
Các trường hợp xác định thông số khoảng cách của chất điểm và hành tinh.
i, Khoảng cách của hai hành tinh với trường hợp trong kiến trúc cây đó là 2 nút cha con. Trường hợp này ứng với tài liệu được xét tại vị trí nút cha và khoảng cách của tài liệu tới các nút con.
Hình 5.6 : Khoảng cách từ nút cha đến các nút con trực tiếp
ii, Khoảng cách trực tiếp của vật đối với hành tinh chứa nó. Là trường hợp khi ta xét tài liệu đưa vào với chính nút đó. Giá trị khoảng cách của chất điểm so với hành tinh này là d[ii] = C = 1.
Hình 5.7 : Khoảng cách giữa chất điểm đưa vào nút và chính nút đó
iii, Khoảng cách giữa các hành tinh mà trong kiến trúc cây đó là anh em. Là trường hợp chất điểm đưa vào và tính khoảng cách của nó tới các hành tinh mà trong kiến trúc cây đó là anh em.
d[iii] = 2 (5.5)
Hình 5.8 : Khoảng cách giữa 2 nút con có cùng nút cha trực tiếp
iv, Khoảng cách giữa các hành tinh mà trên kiến trúc cây chúng cách nhau k cấp. Trường hợp chất điểm đặt tại hành tinh và khoảng cách của nó tới hành tinh mà trên kiến trúc cây cách nhau k cấp.
Hình 5.9 : Khoảng cách từ nút cha đến các nút con dưới k cấp
v, Khoảng cách giữa các hành tinh mà trên kiến trúc cây chúng cách nhau k cấp giống như trường hợp iv. Trường hợp chất điểm đặt tại hành tinh và khoảng cách của nó tới hành tinh mà trên kiến trúc cây là con cấp thứ k.
d[v] = k+2 (5.7)
Hình 5.10 : Khoảng cách từ nút con đến nútcha k cấp
vi, Khoảng cách giữa hai hành tinh mà trong kiến trúc cây có cùng cha cấp thứ
k và l. Ứng với trường hợp khoảng cách chất điểm đặt tại hành tinh tới hành tinh khác mà trong kiến trúc cây, hai hành tinh này có chung cha ở cấp thứ k và l.
d[vi]= k+l +2 (5.8) k cấp
Hình 5.11 : Khoảng cách từ nút đến các nútkhác có chung nút cha và khoảng
cách tới nút cha lần lượt là k và l