Trong phần trước, ta đã thiết lập các điều kiện cần Fritz John cấp 2 cho nghiệm hữu hiệu yếu, trong đú điều kiện (RC2) đảm bảo rằng (λ, à) 6= 0.
Trong trường hợp C = Rn, ta có Tx¯2C = Rn. Cho nên, điều kiện (RC2) trở thành ∇h1(¯x), . . . ,∇hl(¯x) độc lập tuyến tính. Điều này có nghĩa là
∇h(¯x) là một toàn ánh từ Rn vào Rl. Để đảm bảo rằng λ 6= 0, ta xét điều kiện chính quy cấp 2 (CQ1) sau: Tồn tại (u0, v0) ∈ Ker∇h(¯x)×Tx¯2C sao cho
gi0(¯x)v0 +gi00(¯x, u0) <0 (∀i ∈ I0(¯x;u0)),
∇hj(¯x)v0 +∇2hj(¯x)(u0, u0) = 0 (∀j ∈ L).
Nhận xét 2.3
Điều kiện chính quy (CQ1) là tổng quát hóa của điều kiện chính quy Bental cấp 2 trong trường hợp các ràng buộc bất đẳng thức khả vi Fréchet hai lần.
Một điều kiện cần Karush-Kuhn-Tucker cấp 2 cho nghiệm hữu hiệu yếu có thể phát biểu như sau.
Định lí 2.2
Giả sử x¯ ∈ M là nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán (VEP). Giả sử rằng tất cả các giả thiết của Định lí 2.1 thỏa mãn; điều kiện chính quy (RC2) và điều kiện chính quy (CQ1) đúng. Khi đó, với mọi phương tới hạn u ∈ Ker∇h(¯x), tồn tại λk ≥ 0 (k ∈ J), λ 6= 0, ài ≥ 0 (i ∈ I) và
νj (j ∈ L) sao cho X
k∈J
λkFk,0 x¯(¯x)v + X
i∈I(¯x)
àigi0(¯x)v+X
j∈L
νj∇hj(¯x)v ≥ 0 (∀v ∈ Tx¯2C),
X
k∈J
λkFk,00x¯(¯x;u) + X
i∈I(¯x)
àigi00(¯x;u) +X
j∈L
νj∇2hj(¯x)(u, u) ≥ 0,
àigi(¯x) = 0 (∀i ∈ I), àigi0(¯x)u= 0 (∀i ∈I(¯x)).
Chứng minh
Bởi vì các giả thiết của Định lí 2.1 thỏa mãn, với mọi phương tới hạn u∈ Ker∇h(¯x), tồn tại λk ≥ 0 (k ∈ J), λ 6= 0, ài ≥ 0 (i ∈ I) và νj (j ∈ L) không đồng thời bằng không sao cho (2.1)–(2.4) đúng. Vì vậy,
X
k∈J
λk[Fk,¯0 x(¯x)v0 +Fk,¯00x(¯x, u0)] + X
i∈I0(¯x;u)
ài[g0i(¯x)v0 +gi00(¯x;u0)]
+X
j∈L
νj[∇hj(¯x)v0 +∇2hj(¯x)(u0, u0)] ≥ 0.
Bởi vỡ điều kiện (RC2) đỳng, sử dụng Định lớ 2.1 và nhận được (λ, à) 6=
(0,0). Do đó, nếu λ = 0 thì X
i∈I0(¯x;u)
ài[gi0(¯x)v0 +gi00(¯x;u0)] +X
j∈L
νj[∇hj(¯x)v0 +∇2hj(¯x)(u0, u0)]≥ 0.
(2.14) Mặt khác, do điều kiện chính quy (CQ1), ta nhận được
X
i∈I0(¯x;u)
ài[gi0(¯x)v0 +gi00(¯x;u0)] +X
j∈L
νj[∇hj(¯x)v0 +∇2hj(¯x)(u0, u0)]< 0.
Điều này mâu thuẫn với (2.14). Định lí được chứng minh.
Trong trường hợp C = X, ta nhận được điều kiện cần Karush-Kuhn- Tucker cấp 2 dạng đối ngẫu của nghiệm hữu hiệu yếu sau đây.
Hệ quả 2.3
Giả sử C =X, và x¯ ∈ M1 là nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán(VEP1).
Giả sử các giả thiết của Định lí 2.1 thỏa mãn; hệ ∇h1(¯x), . . . ,∇hl(¯x) độc lập tuyến tính và điều kiện chính quy (CQ1)đúng. Khi đó, với mọi phương tới hạn u ∈ Ker∇h(¯x), tồn tại λk ≥ 0 (k ∈ J), λ 6= 0, ài ≥ 0 (i ∈ I) và νj (j ∈ L) sao cho (2.6)–(2.9) đúng.
Chứng minh
Với C = X, ta có T¯x2C = X. Hơn nữa, nếu ∇h1(¯x), . . . ,∇hl(¯x) độc lập tuyến tính thì ánh xạ ∇h(¯x) = (∇h1(¯x), . . . ,∇hl(¯x)) là toàn ánh. Vì vậy, điều kiện chính quy (RC2) thỏa mãn. Sử dụng Địnhlí 2.2 ta suy ra
(2.6)-(2.9) đúng.
Tương tự như Hệ quả 2.2, ta thu được điều kiện cần Karush-Kuhn- Tucker cấp 2 dạng đối ngẫu cho bài toán (MP) như sau.
Hệ quả 2.4
Giả sử x¯ ∈ M là nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán (MP). Giả sử các giả thiết của Hệ quả 2.2 thỏa mãn, điều kiện chính quy (RC2) và điều kiện chính quy (CQ1) thỏa mãn. Khi đó, với mọi phương tới hạn u ∈ Ker∇h(¯x), tồn tại λk ≥ 0 (k ∈ J), λ 6= 0, ài ≥ 0 (i ∈ I) và νj (j ∈ L) không đồng thời bằng 0 sao cho (2.10)-(2.13) đúng.
Với điều kiện (CQ1), ta thu được λ 6= 0. Để biết thành phần λs của λ là số dương, ta xét điều kiện chính quy cấp 2 (CQ2-s) như sau: Với s∈ J, tồn tại (u0, v0) ∈Ker∇h(¯x)×Tx¯2C sao cho
Fk,¯0x(¯x)v0 +Fk,¯00x(¯x, u0) < 0 (∀k ∈J, k 6=s), gi0(¯x)v0 +gi00(¯x;u0) <0 (∀i ∈ I0(¯x;u0)),
∇hj(¯x)v0 +∇2hj(¯x)(u0, u0) = 0 (∀j ∈ L).
Một điều kiện cần Karush-Kuhn-Tucker cấp 2 dạng đối ngẫu cho nghiệm hữu hiệu yếu được phát biểu như sau.
Định lí 2.3
Giả sử x¯ ∈ M là nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán (VEP). Giả sử các giả thiết của Định lí 2.1 thỏa mãn; điều kiện chính quy (RC2) và điều kiện chính quy (CQ2-s) thỏa mãn. Khi đó, với mọi phương tới hạn u ∈ Ker∇h(¯x), tồn tại λs > 0, λk ≥ 0 (k ∈ J, k 6= s), ài ≥ 0 (i ∈ I) và νj (j ∈ L) sao cho
X
k∈J
λkFk,0 x¯(¯x)v + X
i∈I(¯x)
àigi0(¯x)v+X
j∈L
νj∇hj(¯x)v ≥ 0 (∀v ∈ Tx¯2C),
X
k∈J
λkFk,00x¯(¯x;u) + X
i∈I(¯x)
àigi00(¯x;u) +X
j∈L
νj∇2hj(¯x)(u, u) ≥ 0,
àigi(¯x) = 0 (∀i ∈ I), àigi0(¯x)u= 0 (∀i ∈I(¯x)).
Chứng minh
Cũng như trong chứng minh của Địnhlí 2.2, bởi vì tất cả các giả thiết của Định lí 2.1 và điều kiện (RC2) thỏa mãn, cho nên với mọi phương tới hạn u ∈ Ker∇h(¯x), tồn tại λk ≥ 0 (k ∈ J), ài ≥ 0 (i ∈ I) và νj (j ∈ L) với (λ, à) 6= (0,0), sao cho (2.1)-(2.4) đỳng. Do đú,
X
k∈J
λk[Fk,¯0 x(¯x)v0 +Fk,¯00x(¯x, u0)] + X
i∈I0(¯x;u)
ài[g0i(¯x)v0 +gi00(¯x;u0)]
+X
j∈L
νj[∇hj(¯x)v0 +∇2hj(¯x)(u0, u0)] ≥ 0.
Vì vậy, nếu λs = 0, thì X
k∈J,k6=s
λk[Fk,¯0x(¯x)v0 +Fk,¯00x(¯x, u0)] + X
i∈I0(¯x;u)
ài[g0i(¯x)v0 +gi00(¯x;u0)]
+X
j∈L
νj[∇hj(¯x)v0 +∇2hj(¯x)(u0, u0)]≥ 0. (2.15)
Do (CQ2-s), ta nhận được X
k∈J,k6=s
λkr[Fk,¯0x(¯x)v0 +Fk,¯00x(¯x, u0)] + X
i∈I0(¯x;u)
ài[gi0(¯x)v0+gi00(¯x;u0)]
+X
j∈L
νj[∇hj(¯x)v0 +∇2hj(¯x)(u0, u0)]< 0.
Điều này mâu thuẫn với (2.15). Vì vậy,λs >0.Định lí được chứng minh.
2 Bây giờ ta trình bày một điều kiện cần Karush-Kuhn-Tucker cấp 2 dạng đối ngẫu mạnh cho nghiệm hữu hiệu yếu với nhân tử Lagrange dương tương ứng với mọi thành phần của hàm mục tiêu.
Định lí 2.4
Giả sử x¯ ∈ M là nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán (VEP). Giả sử các giả thiết của Định lí 2.3 thỏa mãn; điều kiện chính quy (RC2-s) đúng với mọi s ∈ J. Khi đó, với mọi phương tới hạn u ∈ Ker∇h(¯x), tồn tại λk > 0 (k ∈ J), ài ≥ 0 (i∈ I) và νj (j ∈ L) sao cho
X
k∈J
λkFk,0 x¯(¯x)v + X
i∈I(¯x)
àigi0(¯x)v+X
j∈L
νj∇hj(¯x)v ≥ 0 (∀v ∈ Tx¯2C),
X
k∈J
λkFk,00x¯(¯x;u) + X
i∈I(¯x)
àigi00(¯x;u) +X
j∈L
νj∇2hj(¯x)(u, u) ≥ 0,
àigi(¯x) = 0 (∀i ∈ I), àigi0(¯x)u= 0 (∀i ∈I(¯x)).
Chứng minh
Với mỗi s∈ J, sử dụng Định lí 2.3 ta suy ra rằng với mọi phương tới hạn u∈ Ker∇h(¯x), tồn tại λ(s)k ≥ 0 (k ∈ J, k 6= s), λ(s)s > 0, à(s)i ≥ 0 (i ∈
I) và νj(s) ∈ R (j ∈ L) sao cho với mọi s ∈J, X
k∈J
λ(s)k Fk,¯0x(¯x)v+ X
i∈I(¯x)
à(s)i g0i(¯x)v+X
j∈L
νj(s)∇hj(¯x)v = 0 (∀v ∈Tx¯2C),
(2.16) X
k∈J
λ(s)k Fk,¯00x(¯x;u) + X
i∈I(¯x)
à(s)i g00i (¯x;u) +X
j∈L
νj(s)∇2hj(¯x)(u, u)≥ 0,
(2.17)
λ(s)i gi(¯x) = 0 (∀i ∈I), (2.18)
à(s)i g0i(¯x) = 0 (∀i ∈ I(¯x)). (2.19) Cho s = 1, . . . , r trong (2.16)-(2.19) rồi cộng từng vế ta suy ra với mọi v ∈ Tx¯2C,
X
k∈J
X
s∈J
λ(s)k Fk,¯0x(¯x)v+ X
i∈I(¯x)
X
s∈J
à(s)i gi0(¯x)v+X
j∈L
X
s∈J
νj(s)∇hj(¯x)v = 0,
(2.20) X
k∈J
X
s∈J
λ(s)k Fk,¯00x(¯x;u) + X
i∈I(¯x)
X
s∈J
à(s)i gi00(¯x;u) +X
j∈L
X
s∈J
νj(s)∇2hj(¯x)(u, u) ≥ 0,
(2.21) X
s∈J
λ(s)i gi(¯x) = 0 (∀i ∈ I), (2.22)
X
s∈J
à(s)i gi0(¯x) = 0 (∀i ∈I(¯x)). (2.23) Đặt λk := P
s∈Jλ(s)k (k ∈ J), ài := P
s∈J à(s)i (i ∈ I(¯x)), vj := P
s∈Jvj(s) . Từ (2.20)-(2.23) ta nhận được λk > 0 (∀k ∈ J), ài ≥ 0 (∀i ∈ I), νj ∈ R, và (2.1)-(2.4) đúng. Định lí được chứng minh.
Cuối cùng, chúng tôi trình bày một điều kiện cần Karush-Kuhn-Tucker cấp hai dạng đối ngẫu mạnh cho nghiệm hữu hiệu yếu.
Hệ quả 2.5
Giả sử C = X, và x¯ ∈ M1 là một nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán (VEP1). Giả sử các giả thiết của Định lí 2.4 thỏa mãn, trong đó (RC2)
được thay bằng điều kiện rằng ∇h1(¯x), . . . ,∇hl(¯x) độc lập tuyến tính. Khi đó, với mọi mọi phương tới hạn u ∈ Ker∇h(¯x), tồn tại λk > 0 (∀k ∈ J), ài ≥ 0 (i ∈I(¯x)) và νj (j ∈L) sao cho (2.6)-(2.9) đỳng.
Chứng minh
Bằng lập luận tương tự như lập luận đã được sử dụng để chứng minh Hệ quả 2.3, ta nhận được điều phải chứng minh.
Kết luận
Luận văn đã trình bày các kết quả của D.V.Luu ([6], 2018) về các điều kiện cần Fritz John và Karush–Kuhn–Tucker dạng nguyên thủy và đối ngẫu cho bài toán cân bằngvectơ không trơn có ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức và ràng buộc tập dưới ngôn ngữ đạo hàm theo phương cấp 2 Palés–Zeidan. Nội dung chính của luận văn bao gồm:
- Các kiến thức chuẩn bị về giải tích hàm và giải tích lồi;
- Các điều kiện cần Fritz John cấp 2 dạng nguyên thủy cho nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán cân bằngvectơ không trơn có ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức và ràng buộc tập qua đạo hàm theo phương cấp 2 Palés–Zeidan;
- Các điều kiện cần Fritz John cấp 2 dạng đối ngẫu cho nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán cân bằng vectơ đó;
- Các điều kiện cần Karush–Kuhn–Tucker dạng đối ngẫu dưới ngôn ngữ đạo hàm theo phương cấp 2 Palés–Zeidan với điều kiện chính quy cấp 2 thích hợp.
Điều kiện tối ưu cấp hai cho bài toán cân bằng vectơ không trơn có ràng buộc qua các dưới vi phân khác nhau là đề tài đã và đang được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu.
Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
[1] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội.
[2] Đỗ Văn Lưu(1999),Giải tích Lipschitz, NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội.
Tiếng Anh
[3] E.Constantin (2015),"Second-order necessary conditions in locally Lipschitz optimization with inequality constraint", Optim. Lett., 9, pp. 245–261.
[4] Ginchev, I., Ivanov, V.I. (2008),"Second-order optimality conditions for problems with C1 data", J. Math. Anal. Appl. 340, 645–657.
[5] Gutiérrez, C., Jiménez, B., Novo, V. (2010), "On second-order Fritz John type optimality conditions in nonsmooth multiobjective pro- gramming", Math. Program. Ser. B 123, 199–223.
[6] D.V.Luu (2018),"Second-order necessary efficiency conditions for nonsmooth vector equilibrium problems", Journal of Global Opti- mization, 70, 437–453
[7]D.V.Luu (2014), "Higher-order efficiency conditions via higher-order tangent cones", Numer. Funct. Anal. Optim. 35(1), 68–84.