Lần đầu, chúng tôi chứng minh sự ràng buộc thấp hơn bằng cách sử dụng một công thức ngắt. Sau đó, chúng tôi hoàn thành chứng minh sử dụng một tham số mã hóa ngẫu nhiên.
A. Cá Nhân Của Bộ Thu ML
Bộ thu mà có các lỗi xác suất giảm thiểu cho mỗi người dùng i là bộ thu ML cá thể. Bộ thu ML cá thể với người dùng i xử lý các người dùng khác như nhiễu riêng biệt với cấu trúc được biết đến (codebooks), và khiến cho một phát hiện ML bản tin của người dùng. Đây là, nhìn chung, khác nhau từ bộ thu ML chung mà cùng nhau phát hiện những bản tin của tất cả những người dùng ([10, Sec. 4.1.1] có một số thảo luận thêm về điều này). Nhưng nó rất dễ dàng để liên hệ xác suất lỗi của hai người dùng. Rõ ràng, lỗi xác suất lỗi chung ML Pe (xác suất mà bất kỳ người dùng được phát hiện không chính xác) là một ràng buộc trên cho mỗi của các xác suất lỗi cá nhân ML Pe(i). Mặt khác, chúng ta có thể xem xét một bộ thu chung trong đó sử dụng các bộ thu ML cá thể để thực hiện một quyết định từ mã của người dùng; hiệu suất của máy thu này phải có một ràng buộc trên Pe. Hơn nữa, bởi sự kết hợp của sự kiện ràng buộc, xác suất lỗi của bộ thu chung này nhỏ hơn tổng của các xác suất ML cá nhân của lỗi. Do đó, chúng tôi kết luận rằng
Vì vậy, đòi hỏi mỗi P phân hủy như SNR là tương đương với việc yêu cầu các lỗi xác suất ML chung Pe để phân hủy như SNR. Vì vậy, nó cũng đủ để làm việc với chỉ một bộ thu ML chung cho các bằng chứng dưới đây
B. Các Ràng Buộc Dưới: Công thức Ngắt
Trong kênh điểm-điểm, ngắt được định nghĩa là sự kiện mà các thông tin lẫn nhau của các kênh, như là một chức năng của thực hiện các trạng thái kênh, không hỗ trợ tốc độ dữ liệu mục tiêu, tức là,
Với I(X;Y) mà là thông tin lẫn nhau của một liên kết điểm-điểm với m anten truyền và n anten thu.
Với đầu vào có i.i.d. mục CN(0,1) suy ra
Nó có thể được hiển thị ([12, Sec 3.B.]) Mà ta có thể hạn chế đến i.i.d. CN đầu vào và kết quả là mất suất được đặc trưng trong [12, Định lý 4]: tại một tốc độ dữ liệu R = r*logSNR(bps/Hz)
với d*Km,n(r) định nghĩa như trong Định lý 1: cho số nguyên r, mức tăng sự đa dạng (m-r)(n-r) và một hàm tuyến tính piecewise giữa những điểm số nguyên. Nó được trình bày trong [12, Bổ đề 5] mà xác suất mất điện này cung cấp một giới hạn thấp hơn của lỗi xác suất tối ưu, lên đến số mũ SNR, tức là, cho bất kỳ mã hóa chương trình với một tốc độ dữ liệu R = r*logSNR(bps/Hz), xác suất phát hiện lỗi là thấp hơn giới hạn bởi
Bằng trực giác, khi sự gián đoạn xảy ra, có một xác suất cao làm cho một phát hiện lỗi, cho dù bất kì vấn đề mã hóa và giải mã kỹ thuật được sử dụng; Do đó, khả năng phát hiện lỗi là thấp hơn giới hạn bởi đó ngắt.
Trong các kênh đa truy nhập, chúng ta có thể xác định một sự kiện mất điện tương ứng, do đó chúng tôi muốn chỉ ra rằng các kênh là quá nghèo như vậy mà tốc độ dữ liệu mục tiêu không được hỗ trợ, ít nhất là cho một tập hợp con của người dùng. Định nghĩa của ngắt được đưa ra như sau.
Định nghĩa 6: Sự Kiện Ngắt: Đối với một kênh đa truy cập với K người dùng, mỗi
trang bị với m anten truyền và n anten thu, sự kiện ngắt là
Các công đoàn được thực hiện trên tất cả các tập con và
Với Xs bao gồm các tín hiệu đầu vào từ người dùng trong. Ý nghĩa của định nghĩa này là như sau: xác suất của cúp mang một giới hạn thấp hơn xác suất lỗi của bất kỳ chương trình. Để thấy rằng, Os phải xảy ra cho một tập hợp con S. Hãy để một genie cung cấp các bộ thu với các thông tin phụ của tất cả những biểu tượng Xsc dữ liệu chính xác được truyền bởi người sử dụng trong. Nhưng vẫn tỷ lệ mục tiêu số tiền của người sử dụng trong S không được hỗ trợ. Do đó, một phát hiện lỗi (của người sử dụng trong thiết lập S) xảy ra với một xác suất cao khi Os xảy ra.
Trong lập luận trên, khi nhận được thông tin thần của dữ liệu Xsc, người nhận có thể mà không mất tính tối ưu, hủy bỏ sự đóng góp từ các tín hiệu nhận được, sau đó các kênh có thể được viết như
Với chứa các hệ số tương ứng mờ dần cho người sử dụng trong.
Bằng cách cho phép người sử dụng trong hợp tác, vấn đề là giảm đến một vấn đề điểm- điểm với |S|m anten truyền và n anten thu, và một ma trận Hs hệ số fading. Bây giờ, chúng ta có thể chọn các đầu vào X để có i.i.d. phân phối Gauss, như vậy là được giảm thiểu cho tất cả S cùng một lúc. Hãy để cho tốc độ dữ liệu mục tiêu của người sử dụng i được R = r*logSNR(bps/Hz) với r Є {1,…,K}, từ (24), ta có
Với S* là tập hợp con của r Є {1,…,K} với tốc độ phân hủy chậm nhất của P(Os),
tức là
Kết hợp với thực tế là P(O) >= P(Os)*, ta có
Là tổng bên dưới.
Bổ đề 7: Đối với một hệ thống đa truy cập với K người dùng, mỗi trang bị m anten phát và n anten thu, cho phép tốc độ dữ liệu của người dung i được Ri = r*logSNR(bps/Hz), cho i = 1,…,K. Xác suất phát hiện lỗi của bất kỳ chương trình mã hóa là thấp hơn giới hạn.
Với d*Km,n(r) như trong định lý 1.
Do đó, để đáp ứng yêu cầu đa dạng của d cho mọi người dùng, tốc độ dữ liệu truyền đi phải đáp ứng
Cho tất cả
C. Ràng Buộc Trên: Mã Hóa Ngẫu Nhiên
Bổ đề 7 đưa ra một giới hạn thấp hơn của lỗi xác suất tối ưu. Trong phần này, chúng tôi hoàn thành các giấy tờ chứng minh Định lý 2 bằng cách hiển thị rằng điều này thực sự là ràng buộc chặt chẽ, cho đến quy mô của số mũ SNR, với điều kiện là chiều dài khối l >= Km + n -1. Chúng tôi thấy rằng đối với bất kỳ (r1,…,rK) thỏa mãn (26), có tồn tại một chương trình mã hóa mà đạt được sự đa dạng phổ biến d.
Để làm được điều này, chúng ta xem xét toàn bộ các i.i.d. CN mã số ngẫu nhiên.
Cụ thể, mỗi người sử dụng tạo ra một codebook C(i) có chứa từ mã SNR^(ri*l), ký hiệu là X1(i),X2(i)... X(i)SNR^ri*l. Mỗi từ mã là một m*l ma trận với i.i.d. CN(0,1) mục. Một khi đã chọn, những codebooks được tiết lộ cho người nhận. Trong từng thời kỳ khối, các tín hiệu truyền của người dùng chỉ đơn giản là chọn từ các codebooks C(i) tương ứng equiprobable theo thông điệp được truyền đi.
Hãy xem xét xác suất phát hiện lỗi của người nhận doanh ML. Chúng tôi đầu tiên xác định cho mỗi tập khác rỗng một sự kiện lỗi (gọi là một "loại S lỗi")
Với mi là thông điệp được giải mã cho người sử dụng i. Điều này, là sự kiện mà người nhận ra các quyết định sai về các thông điệp của tất cả người dùng trong thiết lập, và làm cho các quyết định chính xác cho các phần còn lại. Rõ ràng, chúng ta có
Trong phần tiếp theo, chúng ta nghiên cứu P(εs), giả sử mà không mất tính tổng quát đó S = {1,2,…|S|}. Để cho
được truyền đi, mà là từ mã truyền bởi người sử dụng. Ký hiệu X1 là một từ mã X0 mà khác về những biểu tượng truyền của tất cả các người sử dụng trong S nhưng trùng trên những truyền bởi những người sử dụng khác, đó là
Với
Bây giờ một lỗi loại S xảy ra nếu người nhận làm một (sai) quyết định có lợi cho một trong những từ mã X1 như vậy. Điều này xảy ra chính xác khi nào
Tại đây , đầu tiên |S|m cột của H và với i= 0,1
Bây giờ, việc tính toán P(εs) được giảm xuống tìm xác suất, trung bình hơn H và W, rằng có tồn tại một từ mã như vậy mà (27) là thỏa mãn.
Kể từ khi từ mã đều i.i.d. CN(0,1), tính toán này cũng giống như đối với các xác suất lỗi của một liên kết điểm-điểm với |S|m truyền và n anten nhận, với i.i.d CN(0,1) mã ngẫu nhiên như đầu vào, và một tốc độ dữ liệu tổng thể . Trong [12, Phần 3.3], nó cho thấy rằng đối với các kênh điểm-tới-điểm được mô tả ở trên, với chiều dài khối l >= |S|m + n -1, xác suất lỗi, tính trung bình CN(0,1) trong mã quần ngẫu nhiên, có sự đa dạng
Bây giờ xác suất lỗi trùng với các ràng buộc thấp hơn từ việc xây dựng ngắt
Các bằng chứng về tuyên bố này được dựa trên các tính toán của các điều kiện lỗi xác suất cặp P(X0 ->X1 | H = H) như trong [12, Công thức (19)], trung bình trên toàn thể các mã. Nói cách khác, chúng ta chỉ sử dụng các tài sản độc lập từng đôi của codebook
X0 và X1, tức là, đối với bất kỳ cặp từ mã khác nhau, và tất cả các mục được tạo ra một cách độc lập từ những bộ quần áo đồng Gauss.
Trong điện toán P(εs) cho các kênh đa truy cập, chúng tôi thực hiện các quan sát chính đó X0^S và X1^S (27) là cặp độc lập. Do đó, các bằng chứng trong [12] có thể được sử dụng để hiển thị
Với là được sum ghép kênh của người sử dụng trong.
Xác suất lỗi tổng thể là
Với S* tối đa hóa số mũ của SNR của P(εs), nghĩa là,
Điều này hoàn thành bằng chứng về kết quả chính của bạn.