Bài 1: Tìm độ dài các trục, tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh của (E) có các phương trình sau:
a) 7x2+16y2 =112 b) 4x2+9y2 =16 c) x2+4y2− =1 0 d)
2 2 1( 0, )
mx +ny = n m> > m n≠ Bài 2: Cho (E) có phương trình
2 2
4 1 1 x + y =
a) Tìm tọa độ tiêu điểm, các đỉnh, độ dài trục lớn trục nhỏ của (E)
b) Tìm trên (E) những điểm M sao cho M nhìn đoạn thẳng nối hai tiêu điểm dưới một góc vuông.
Bài 3: Cho (E) có phương trình
2 2
25 9 1
x + y = . Hãy viết phương trình đường tròn(C ) có đường kính F1F2
trong đó F1 và F2 là 2 tiêu điểm của (E)
Bài 4: Tìm tiêu điểm của elip (E): x2cos2α+y2sin2α =1 (450 < <α 90 )0
Dạng 2: Lập phương trình của elip
Bài 1: Lập phương trình chính tắc của elip (E) biết:
a) Một đỉnh trên trục lớn là A(-2; 0) và một tiêu điểm F(- 2 ; 0) b) Hai đỉnh trên trục lớn là M( 3
2; 5 ), N 2 3 ( 1;
− 5 ) Bài 2: Lập phương trình chính tắc của elip (E) biết:
a) Phương trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở làx= ±4, y = 3±
b) Đi qua 2 điểm M(4; 3)và N(2 2; 3)− c) Tiêu điểm F1(-6; 0) và tỉ số 2 3 c a = Bài 3: Lập phương trình chính tắc của elip (E) biết:
a) Tiêu cự bằng 6, tỉ số 3 5 c
a = b) Đi qua điểm 3 4
( ; )
5 5
M và ∆MF1F2
vuông tại M
b) Hai tiêu điểm F1(0; 0) và F2(1; 1), độ dài trục lớn bằng 2.
Dạng 3: Điểm M di động trên một elip
Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M(x; y) di động có tọa độ luôn thỏa mãn 7 cos 5sin
x t
y t
=
= , trong đó t là tham số. Hãy chứng tỏ M di động trên một elip.
Bài 2: Tìm những điểm trên elip (E) :
2
2 1
9
x +y = thỏa mãn
a) Nhìn 2 tiêu điểm dưới một góc vuông c) Nhìn 2 tiêu điểm dưới một góc 60o Bài 3: Cho (E) có phương trình
2 2
6 3 1
x + y = . Tìm những điểm trên elip cách đều 2 điểm A(1; 2) và B(-2; 0) Bài 4: Cho (E) có phương trình
2 2
8 6 1
x + y = và đường thẳng d: y = 2x. Tìm những điểm trên (E) sao cho khoảng cách từ điểm đó đến d bằng 3
BÀI TẬP ELIP
DẠNG 1:
BÀI 1: Trong mp với hệ tọa độ Oxy cho elip (E) : x2 + 4y2 = 4 a/ Tìm tọa độ các đỉnh , tọa độ các tiêu điểm và tính tâm sai của elip .
b/ Đường thẳng đi qua tiêu điểm F2 của elip và song song với trục 0y cắt elip tại 2 điểm M,N .Tính độ dài đoạn thẳng MN .
BÀI 2: Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E) : 1 4 25
4x2 + y2 = . a/ Tìm tọa độ các tiêu điểm và tính tâm sai của elip .
b/ Tìm các giá trị của b để đường thẳng y = x + b có điểm chung với elip trên . BÀI 3: Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E) : 1
24 49
2
2 + y =
x
a/ Tìm tọa độ điểm M thuộc (E) sao cho : MF1 = 12 b/ Tìm tọa độ điểm N thuộc (E) sao cho : NF2 = 2NF1 . BÀI 4: Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E) : 1
2 6
2
2 + y =
x a/ Xác định độ dài các trục và tiêu cự.
b/ Tìm những điểm M thuộc (E) sao cho nó nhìn hai tiêu điểm của (E) dướ một góc vuông.
BÀI 5: Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E) : 1 9 14
2
2 + y =
x a/ Tìm độ dài tiêu cự và tính tâm sai của (E).
b/ Khi M chạy trên (E). Khoảng cách MF1 có giá trị nhỏ nhất và Gía trị lớn nhất bằng bao nhiêu ?
BÀI 6: : Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E) : 9x2 +4y2 =36 a/ Viết phương trình hai đường chuẩn của (E).
b/ Tìm điểm M thuộc (E) sao cho: MF1 = 3MF2
BÀI 7: Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E) : 1 16 25
2
2 + y =
x , tiêu điểm F1,F2
a/ Cho điểm M (3; m) thuộc (E) , Hãy viết phương trình tiếp tuyến của (E) tại M khi m > 0
b/ Cho A,B là hai điểm thuộc (E) sao cho AF1 + BF2 = 8. Tính AF1 + BF2 . DẠNG 2,3
BÀI 8: Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E) có khoảng cách giữa các đường chuẩn là 36 và bán kính qua tiêu điểm của điểm M thuộc (E) là 9 và 15.
a/ Viết phương trình chính tắc (E).
b/ Viết phương trình tiếp tuyến của (E) tại M.
BÀI 9: Trong mp tọa độ 0xy cho (E) đi qua điểm M (2;
3
5) và 1 tiêu điểm F1 ( -2; 0).
a/ Lập phương trình chính tắc của (E).
b/ Viết phương trình tiếp tuyến của (E) đi qua M (4; 0).
BÀI 10:Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho M ( 2; - 2 ) và N ( - 6 ; 1) a/ Lập phương trình chính tắc của elip đi qua M và N.
b/ Tính khoảng cách giữa hai đường chuẩn của elip trên.
BÀI 11: Trong mp tọa độ 0xy . Lập phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lớn bằng 2 5 và tiêu cự bằng 2. Viết phương trình 2 đường chuẩn của elip nói trên.
BÀI 12: Trong mặt phẳng 0xy cho M (- 5 ; 2).
a/ Lập phương trình chính tắc của elip có trục lớn nằm trên 0x đi qua M và khoảng cách giữa 2 đường chuẩn là 10.
b/ Viết phương trình các tiếp tuyến của elip trên biết tiếp tuyến song song đường thẳng (d): x + y + 2008
= 0.
BÀI 13: Trong mp tọa độ 0xy cho (E): 1 4 9
2
2 + y =
x .
a/ Viết phương trình tiếp tuyến của elip (E) tại các giao điểm của elip với đường thẳng y = 3 2x. b/ Viết phương trình tiếp tuyến của elip đi qua M (3; 5).
BÀI 14: Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E):
1. 4 9
2
2 + y =
x a/ Tìm tọa độ đỉnh và tiêu điểm .
b/ Viết phương trình tiếp tuyến của elip biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng d:
3x – y + 1 = 0.
BÀI 15: Trong mp tọa độ 0xy . Lập phương trình chính tắc của elip có tiêu cự 2 15 và tiếp xúc với đường thẳng d : x + y – 5 = 0.
BÀI 16 : Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho họ đường thẳng (dt ) :
3xcost – 4ysint + 5+cos2t , t : tham số .Khi t thay đổi (dt) luôn tiếp xúc với 1 elip (E) cố định .Tìm pt ct của elip đó , tính tâm sai của elip .
BÀI 17: Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E) : 18x2 + 32y2 = 576.
a/ Viết phương trình tiếp tuyến của elip tại điểm M(4;3)
b/ Tiếp tuyến đó cắt 0x,0y lần lượt tại A,B .Tính diện tích tam giác 0AB (0là gốc tọa độ ) DẠNG 4:
BÀI 18: Cho A, B,C cố định theo thứ tự này trên đường thẳng d cố định. Đường tròn (O) lưu động tiếp xúc với d tại A. Từ B và C kẻ những tiếp tuyến với (O). Hai tiếp tuyến này cắt nhau tại M. Tìm tập hợp điểm M.
BÀI 19: Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E): 4x2 + 9y2 = 36 .A1 , A2 là 2 đỉnh trên trục kớn.Điểm Mdi động trên(E) .Tìm tập hợp các trực tâm H của tam giác MA1A2 .
BÀI 20: Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E): x2 + 4y2 = 4. M(-2;m ) , N(2;n) , m khác n .
a/ A1 ,A2 là các đỉnh trên trục lớn của (E) . Viết phương trình các đường thẳng A1N , A2M .Xác định tọa độ giao điểm I của chúng .
b/ Đường thẳng MN thay đổi nhưng luôn luôn tiếp xúc với (E) . Tìm tập hợp các điểm I . ĐÁP ÁN
BÀI 1:
a/ 1
1 4
2
2 + y =
x
Đỉnh A1 ( -2; 0 ) và A2 ( 2; 0) , B1(0; 1) , B2 (0; 1) Tiêu điểm F1 (- 3 ; 0 ) , F2 ( 3 ; 0) Tâm sai e =
2 3 b/ (0,75) MN = 2MF2
M, N có hoành độ x = 3 MF2 = 2 - . 3
2
3 = 2
1 MN = 1 BÀI 2:
a/ (1 đ) a2 = 4
25, b2 = 4 ⇒ c2 = a2 – b2 = 4
9 ⇒c = 2
3 F1 ( ;0
2
−3
) , F2 ( 2
3; 0 ) , e = 5
= 3 a
c b/ (1 đ ) Phương trình hoành độ giao điểm : 41x2 + 50bx + 25b2 – 100= 0 Đường thẳng có điểm chung với elip khi và chỉ khi
2 41 2
41 4
0 41 ) 100 25
( 41 ) 25
( 2 − 2− ≥ ⇔ 2 ≤ ⇔ − ≤ ≤
=
∆ b b b b
BÀI 3:
a/ ( 1 điểm ) : a = 7 , b = 2 6 ⇒c = 5 MF1 = 7 +
7
5xM.MF2 = 12 ⇔xM = 7 yM = 49 72
7 6
2 − = 0 và yM = - 49 72 7
6
2 − = 0⇒ M ( 7; 0 ) trùngA1(0;5 ) b/ (1 đ ) M (x0 ; y0) . MF1 = 7 + 0 2 0
7 7 5 7 ,
5x MF = − x , NF2
= 2NF1
7 ) 7 5 ( 7 2
7+5x0 = − x0
⇔
giải ra : x0 =
15 66 8 15
49
0 =
− ⇒ y và y0 = -
15 66 8 . vậy : M1 (
15 66
;8 15
−49 ) M2 (
15 66
; 8 15
49 −
− ) BÀI 4 :
a/ 2a = 2 6 ; 2b = 2 2 ; 2c = 4 b/ M(x; y) ∈(E) : 2x2 + 6y2 = 12
M nhìn F1F2 dưới 1 góc vuông nên M thuộc đường tròn . Tâm O bán kính R= 2.
(C) : x2+ y2 = 4 tọa độ điểm M thỏa mãn hệ pt :
= +
= +
12 6
2
4
2 2
2 2
y x
y
x giải ra
±
=
±
= 1
3 y
x
kl : 4 điểm M BÀI 5: a/ 2c = 2 5 tâm sai e =
14 5 2 b/ MF1 = a + x
a
c , M( x;y ) thuộc elip nên : -a ≤ x ≤ a suy ra : a - c ≤ MF1 ≤ a + c
vậy : 14− 5 ≤MF1 ≤ 14+ 5. KL : BÀI 6:
a/ (0,5)
5 : 9
5,
: 9 2
1 =− ∆ =
∆ x x
b/ M(x;y) thuộc elip MF x MF x
3 3 5 3 ,
3 5 2
1 = + = −
MF1 = 3MF2 giải ra : x = 5 2
9
suy ra : y =
5 3
± 109 .KL: có 2 điểm M1, M2 BÀI 7:
a/ Tính ra m = 16/5 ( do m > 0 ) dùng công thức viết pttt tại điểm thuộc elip viết được :
3x + 5y - 25 = 0 b/ có : AF1 + AF2 = 10 Và BF1 + BF2 = 10
giải ra : AF2 + BF1 = 12 BÀI 8 :
a/ giả sử x > 0 ptct có dạng : 2 1
2 2
2 + =
b y a
x , a > b > 0 MF1 = a + x
a
c và MF2 = a - x a c
MF1 = 15 và MF2 = 9 suy ra : a = 12 khoảng cách 2 đường chuẩn bằng 36 suy ra : c = 8
b2 = 144 – 64 = 80 . KL : b/ dùng 12 - 9
12
8 x = giải tìm x sau đó tìm y , suy ra 2 điểm M1 , M2
Viết pttt tại M1 ,M2 BÀI 9:
a/ Dạng ptct elip . theo đề :
=
−
= +
4 25 1 4
2 2
2 2
b a
b
a giải ra : a2 = 9 , b2 = 5 . KL : b/ gọi d qua M nhận →n=(A;B) làm véc tơ pháp tuyến , A2 + B2 ≠ 0
d: Ax + By - 4A = 0 d tiếp xúc elip ⇔ 9A2 + 5B2 = 16A2 ⇔ 7A2 -5B2 = 0 Lí luận giải ra A = 5 suy ra : B = ± 7.KL : 2 PTTT BÀI 10:
a/ (1 đ) dạng ptct M,N thuộc elip nên :
= +
= +
1 1 6
2 1 4
2 2
2 2
b a
b
a giải ra : a2 = 8 và b2 = 4 .KL ptct
b/ Tính c = 2 khoảng cách 2 đường chuẩn bằng : 8 BÀI 11:
Tính được a = 5 , c = 1 suy ra : b2 = 4
ptct :
pt 2 đường chuẩn : x = 5± BÀI 12 :
a/ (1 đ ) dạng ptct . Theo đề ta có :
= +
= 4 1 5 2 10
2 2
2
b a
c a
(0,5) giải ra : a2 = 15 , b2 = 6 .KL ptct b/ ( 1 đ)
d’ song song với d có pt : x + y + C = 0 d’ tx với elip ⇔ 15 + 6 = C2 suy ra C = ± 21
KL : x + y ± 21 = 0 BÀI 13:
a/ (1 đ ) Tìm x = 2
± 3
pttt tại M1 : 1 0 4
2 2
3x + y − =
pttt tại M2 : 1 0 4
2 2
3x + y + =
b/ (1 đ) d : Ax + By -3A -5B = 0 d tiếp xúc ( E) ⇔ 9A2 + 4B2 = ( 3A + 5B )2
⇔ B = 0 ; B = - 7 10A
giải ra có 2 tt : x – 3 = 0 ; 7x – 10y +15 = 0 BÀI 14:
a/ đỉnh , tiêu điểm đúng b/ d’: x + 3y + C = 0 d’ tiếp xúc (E) ⇔ 9 +36 = C2
giải ra có 2 tt : x + 3y ±3 5 = 0 BÀI 15: Dạng ptct
c = 15 a2 − b2 = 15 (1) d tiếp xúc (E) ⇔ a2 + b2 =25 (2) (1) và (2) suy ra : a2 = 20 b2 = 5
KL:
BÀI 16: Dạng ptct :
(dt) tiếp xúc (E) ⇔ 9cos2t.a2 +16sin2t.b2 = 5 + cos2t
⇔ 3cos2t(a2 – 2 ) + 4sin2t(4b2 - 1 ) = 0 với mọi t
⇔ a2 = 2 và b2 = ẳ KL:
c2 = 2 - ẳ
2
= 7
⇒c
kl : F1,, F2