CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG DẠY HỌC BÀI TẬP TOÁN CỦA DẠNG TOÁN DIỆN TÍCH TRONG HÌNH HỌC Ở TIỂU HỌC THEO HƯỚNG
3. Tính diện tích hình chữ nhật biết
2.2 Dạy học bài tập nâng cao của dạng toán về diện tích trong hình học ở Tiểu học
Bài 1: Cho tam giác ABC, điểm M là trung điểm của cạnh AB. Qua M kẻ MN song song với BC Chứng minh rằng N cũng là trung điểm của cạnh AC.
Bước 1: Phân tích tìm lời giải
- Bài toán cho biết gì? (Bài toán cho tam giác ABC, điểm M, N là trung điểm của cạnh AB)
- Bài toán yêu cầu chúng ta làm gì? (Bài toán yêu cầu chứng minh rằng AN = CN)
- Sơ đồ phân tích đi lên tìm lời giải
Đến đây ta thấy SBMN = SCMN vì hai tam giác này có chung đáy MN và cùng chiều cao là chiều cao của hình thang MNCB). Ta có điều chứng minh Bước 2: Trình bày lời giải
Vì MN // BC nên tứ giác MNCB là hình thang với đáy MN và BC.
Do đó suy ra SBMN = SCMN (1) vì hai tam giác này có chung đáy MN và cùng chiều cao là chiều cao của hình thang MNCB)
Mặt khác biết AM = BM nên có SNAM = SNBM (2) Từ (1), (2) suy ra SMNA = SCMN.
Nhưng hai tam giác MNC và MNA có chung đường cao hạ từ M nên suy ra AN = CN.
Bước 3: Nghiên cứu sâu lời giải
i) Kết quả bài toán cho ta phương pháp chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau là gắn chúng vào làm đáy của hai tam giác có chung chiều cao và chứng minh rằng diện tích của hai tam giác đó bằng nhau
ii) Bài toán: Trong tam giác đoạn thẳng đi qua trung điểm của một cạnh của tam giác và song song với cạnh của tam giác đó thì có độ dài bằng nửa cạnh đó.
N A
B C
M
C.m.r: AN = CN C.m.r: SMAN = SMCN
C.m.r: SBMN = SCMN
Bài 2: Cho tam giác ABC, với hai điểm M và N là trung điểm của các cạnh AB, AC. Chứng minh rằng diện tích của tam giác AMN bằng 1
4 diện tích của tam giác ABC.
Bước 1: Phân tích tìm lời giải
- Bài toán cho biết gi ? (Bài toán cho tam giác ABC, điểm M, N là điểm chính giữa cạnh AB, AC)
- Bài toán yêu cầu chúng ta làm gì ? (Bài toán yêu cầu ta chứng minh diện tích tam giác AMN bằng 1
4 diện tích tam giác ABC) - Sơ đồ phân tích đi lên tìm lời giải
Đến đây ta thấy:
i) SAMN = 1
2 SABN (Hai tam giác này chung chiều cao hạ từ N tới AB và đáy AM = 1
2 AB) i) SABN= 1
2 SABC (Hai tam giác này chung chiều cao hạ từ B tới AC và đáy AN = 1
2 AC)
Do đó suy ra điều cần chứng minh.
Bước 2: Trình bày lời giải
Ta ký hiệu diện tích của các tam giác ABC, AMN, ABN lần lượt là SABC, SAMN, SABN. Do M là điểm chính giữa của cạnh AB nên AM = 1
2 AB
N A
B C
M
C.m.r: AMN ABC
S 1 S
4 C.m.r: AMN ABN
S 1 S
2 C.m.r: SABN 1 SABC
2
Hai tam giác AMN và tam giác ABN có chung chiều cao hạ từ N xuống cạnh đáy AB và AM = 1
2 AB nên suy ra: SAMN = 1
2 SABN (1) Do N là điểm chính giữa của cạnh AC nên AN = 1
2 AC
Hai tam giác ABN và tam giác ABC có chung chiều cao hạ từ B xuống cạnh đáy AC và AN = 1
2 AC nên suy ra SABN= 1
2 SABC (2) Từ (1) và (2) ta suy ra: SAMN = 1
4× SABC (đpcm) Bước 3: Nghiên cứu sâu lời giải
i) Qua chứng minh trên phát biểu tính chất chung: Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác sẽ tạo với hai cạnh tam giác đó thành tam giác mới có diện tích bằng 1
4 diện tích tam giác ban đầu
ii) Bài toán: Cho tam giác ABC, với diện tích là 280 cm2. Lấy ba điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC. Tính diện tích của tam giác MNP
iii) Cho tứ giác ABCD. Gọi các điểm M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tính diện tích của tứ giác ABCD biết diện tích tứ giác MNPQ là 100 cm2.
Bài 3:
Cho ∆ABC có hai cạnh bên AB = AC. Lấy điểm E nằm trên cạnh AB và điểm F nằm trên đường AC kéo dài sao cho BE = CF. Gọi I là giao điểm của EF và BC. Hãy chứng minh rằng I là trung điểm của EF.
Bước 1: Phân tích tìm lời giải
- Bài toán cho biết gi ? (Bài toán cho tam giác ABC và AB = AC. Lấy điểm E và F sao cho BE = CF)
- Bài toán yêu cầu chúng ta làm gì ? (Bài toán yêu cầu ta chứng minh rằng IE = IF)
- Sơ đồ phân tích đi lên tìm lời giải
Dễ thấy l1 = l2 vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.
Bước 2: Trình bày lời giải
Ta tính diện tích của tam giác ABC bằng hai cách là chọn đáy AB và chọn đáy AC nên ta có 1
2ABl1 = 1
2ACl2 (Với l1, l2 là chiều cao hạ từ C, B lần lượt tới các cạnh AB và AC )
Mà theo giả thiết có AB = AC nên theo tính chất duy nhất của kết quả phép chia là hai số bằng nhau cùng chia cho một số là 1
2AB nên được thương như nhau. Vì vậy ta có hệ thức l1 = l2.
Ta nhận thấy hai tam giác CBE và CBF cũng nhận l1, l2 là chiều cao của mình và có hai đáy bằng nhau là BE = CF, nên suy ra diện tích của chúng bằng nhau. Như vậy ta có SCBE = SCBF.
Nhưng hai tam giác CBE và CBF lại chung đáy BC, nên suy ra hai chiều cao thuộc cạnh BC bằng nhau, ta có h1 = h2 (Với h1, h2 là chiều cao hạ từ E, F tới BC.)
E
F A
B C
I h1
l1 l2
h2
C.m.r: IE = IF C.m.r: SBIE = SBIF
C.m.r: h1 = h2
C.m.r: SEBC = SFBC
C.m.r: l1 = l2
Ta lại thấy hai tam giác EBI và FBI cũng nhận h1, h2 là chiều cao tương ứng, đồng thời chúng chung đáy BI, nên suy ra diện tích của chúng bằng nhau. Như vậy ta có SEBI = SFBI.
Mặt khác thấy hai tam giác EBI và FBI lại có chung chiều cao hạ từ B tới cạnh EF, nên dựa vào đẳng thức trên suy ra IE = IF.
Bước 3: Nghiên cứu sâu lời giải
- Qua bài toán trên cần chú ý phương pháp chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau ở Tiểu học là gắn chúng vào hai đáy của hai tam giác có chung chiều cao
Bài 4:
Cho hình thang ABCD với hai đáy AB, DC và biết DC = 3AB. Hai cạnh bên BC và AD kéo dài cắt nhau tại O. Tính tỷ số OA
OD? Bước 1: Phân tích tìm lời giải
- Bài toán cho biết gi ? (Bài toán cho ABCD là hình thang, đáy là AB và CD. Điểm O là giao điểm cạnh bên BC, AD)
- Bài toán yêu cầu ta làm gì ? (Bài toán yêu cầu ta tính tỷ số OA
OD)
- Sơ đồ phân tích đi lên tìm lời giải
O
A B
D C
I h1
h2
Tính: OA ?
OD
Tính: BOA
BOD
S ?
S
Tính: AB? Tính: 1
2
h ? h
Tính: ABC
DBC
S ?
S
Dễ thấy tỷ số AB 1
CD 3. Như vậy ta có điều cần chứng minh Bước 2: Trình bày lời giải
- Tính OA = ? OD
Ta có COA
COD
S OA =
OD S (Hai tam giác này có chung chiều cao hạ từ C tới OD)
COA 1
COD 2
S h
S = h (Hai tam giác này có chung đáy OC và nhận h1, h2 là chiều cao hạ từ A, D tới OC )
Mặt khác ta thấy hai tam giác ABC và DBC có chung đáy BC và cũng nhận h1, h2 là chiều cao của mình nên ta có 1 ABC
2 DBC
h S h = S
Dễ thấy SDBC = 3SABC (Do chúng đều có chiều cao là chiều cao của hình thang và DC = 3AB). Vậy suy ra ABC
DBC
S AB 1
S DC 3
Từ các điều trên ta suy ra: COA 1 ABC
COD 2 DBC
S h S
OA AB 1
= = = = =
OC S h S DC 3.
Bước 3: Nghiên cứu sâu lời giải i) Bài toán 1:
Cho hình thang ABCD với hai đáy AB, DC và biết DC = 3AB. Hai cạnh bên BC và AD kéo dài cắt nhau tại O. Tính tỷ số OB
OC? i) Bài toán 2:
Cho hình thang ABCD với hai đáy AB, DC và biết DC = 3AB. Hai đường chéo AC và BD kéo dài cắt nhau tại I. Tính tỷ số IA
IC ?
Bài 5:
Cho▲ABC với hai điểm M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AB, AC. Hai đường thẳng CM cắt BN tại E và kẻ đường AE cắt cạnh BC tại điểm F. Hãy tìm tỷ số FB ?
FC Bước 1: Phân tích tìm lời giải
- Bài toán cho biết gi ? (Bài toán cho tam giác ABC, điểm M, N là trung điểm của các cạnh AB, AC)
- Bài toán yêu cầu chúng ta làm gì ? (Bài toán yêu cầu tìm tỷ số của hai đoạn thẳng FB ?
FC )
- Sơ đồ phân tích đi lên tìm lời giải
Dễ dàng chứng minh được SEBM = SEMA = SECN = SENA. Như vậy ta có điều cần chứng minh
Bước 2: Trình bày lời giải - Ta có BAN CAM ABC
S S 1 S
2 và hai tam giác BAN, CAM có phần chung là tứ giác AMEN nên suy ra SEBM = SECN
A
B C
M N
E
F h1
h2
Tính: FB ?
FC
Tính: EFB
EFC
S ?
S
Tính: SBEA SCEA
Tính: 1
2
h ? h
Tính: BEA
CEA
S ?
S
C.m.r: SEBM SEMA SECN SENA
- Dễ thấy SEBM = SEMA (Vì hai tam giác này chung chiều cao hạ từ E và hai đáy AM = BM). Đồng thời SECN = SENA (Vì hai tam giác này chung chiều cao hạ từ E và hai đáy AN = CN)
Từ ba đẳng thức trên ta suy ra SEBM = SEMA = SECN = SENA. (*) - Từ các đẳng thức (*) dễ dàng rút ra SBEA = SCEA.
Vậy suy ra BEA
CEA
S 1
S ; 1
2
h 1
h ; EFB
EFC
S 1
S ; FB 1 FC
Bước 3: Nghiên cứu sâu lời giải
i) Bài toán 1: Cho▲ABC với hai điểm M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AB, AC. Hai đường thẳng CM cắt BN tại E và kẻ đường AE cắt cạnh BC tại điểm F. Hãy chứng minh rằng F là trung điểm của cạnh BC.
ii) Một phương pháp chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau là chứng minh tỷ số giữa hai đoạn thẳng đó là 1.
Bài 6:
Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh là 20 cm. Cho biết hai điểm E thuộc cạnh AB và điểm F thuộc cạnh BC sao cho EA = EB = FB = FC. Gọi điểm I là giao điểm của CE và DF. Hãy tính diện tích của tứ giác AEID ? Bước 1: Phân tích tìm lời giải
- Bài toán cho biết gi ? (Bài toán cho hình vuông có cạnh 20cm, điểm M, N là trung điểm của các cạnh AB, BC)
- Bài toán yêu cầu chúng ta làm gì ? (Bài toán yêu cầu tính diện tích tứ giác SAMID = ?)
- Theo hình vẽ ta thấy SAMID = SABCD - SBEC - SICD. Vấn đề ở đây là tính diện tích tam giác ICD như thế nào?
- Phân tích trên tam giác ICD thấy biết mỗi cạnh CD = 20 và không biết chiều cao thuộc cạnh đó. Do đó không thể tính trực tiếp diện tích tam giác này. Ta tìm cách tính gián tiếp diện tích tam giác đó.
Vấn đề đặt ra tính diện tích tam giác ICD dựa vào tam giác FIC được không? Câu trả lời là có. Nhưng trong tam giác FIC cũng chỉ biết một cạnh FC = 10 và không thể tính diện tích của nó được. Mặt khác ta thấy tổng diện tích của hai tam giác ICD và FIC là 100, vậy để tính diện tích của tam giác ICD và FIC ta cần tính tỷ số diện tích của hai tam giác này.
- Sơ đồ phân tích tính tỷ số của hai tam giác:
- Sơ đồ phân tích đi lên tìm lời giải
- Đến đây ta thấy FEC
DEC
S 50 1
S 200 4 vậy ta đã đưa về dạng toán số học tìm hai số khi biết tổng và tỷ số của nó. Như vậy ta tính được SICD.
Bước 2: Trình bày lời giải
- Xét tỷ số diện tích của hai tam giác ICF và ICD:
ICF 1 ECF
ICD 2 ECD
S h S 50 1
= = = =
S h S 200 4 (Với h1, h2 là chiều cao hạ từ F, D tới IC) Mặt khác có tổng diện tích của hai tam giác ICF và ICD là
SICF + SICD = SCDF = 1
22010 = 100 (cm2)
Như vậy ta đưa về bài toán tìm hai số khi biết tổng là 100 và tỷ số là 1 4 . Vậy ta tính được diện tích tam giác ICD là
A B
D C
E
I F
20 cm
h1 h2
Tính: FIC
ICD
S ?
S
Tính: 1
2
h ? h
Tính: FEC
DEC
S ?
S
SICD = 100 : (4 + 1) 4 = 80 (cm2).
- Tính diện tích của tứ giác AEID:
Dựa vào hình vẽ ta có diện tích của tứ giác AEID là SAEID = SABCD - SEBC - SICD
Do đó thay các giá trị SEBC = 100 cm2 và SICD = 80 cm2 ta có SAEID = 400 - 100 - 80 = 220 (cm2).
Bước 3: Nghiên cứu sâu bài toán
i) Qua lời giải bài toán cho ta phương pháp tính diện tích của tam giác với cách tính gián tiếp như sau: Đưa về dạng toán tìm hai số khi biết tổng và tỷ số của chúng
ii) Khi tính diện tích tam giác chú ý chân dường cao nằm ngoài cạnh đáy tam giác đó
iii) Hãy giải thích về cách tính diện tích của tam giác như tam giác MCD trong bài toán như thế nào ?
Bài 7:
Cho hình thang ABCD với hai đáy AB, DC và biết DC = 3AB. Hai đường chéo AC cắt BD tại E. Tính tỷ số EA ?
EC
Bước 1: Phân tích tìm lời giải
- Bài toán đã cho biết gì ? (Cho hình thang ABCD với hai đáy AB, DC và biết DC = 3AB. Hai đường chéo AC cắt BD tại E)
- Bài toán yêu cầu chúng ta làm gì ? (Ttính tỷ số EA
EC)
- Sơ đồ phân tích đi lên tìm lời giải
Ta thấy AB 1
CD3 (Vì hai tam giác DAB và CAB có chiều cao là chiều cao của hình thang ABCD)
Bước 2: Trình bày lời giải
Xét tam giác ABD và BCD có chung chiều cao là chiều cao của hình thang ABCD nên: SABD
SBCD = AB CD = 1
3
Gọi h1, h2 lần lượt là chiều cao xuống cạnh đáy BD của hai tam giác ABD và BCD ta cũng có: : SABD
SBCD = h1
h2 = 1 3
Tam giác BEA và tam giác BEC có chung cạnh đáy BE và h1 là đường cao của tam giác BEA hạ từ A xuống BE, h2 là đường cao của tam giác BEC hạ từ C xuống BE nên ta có: BEA 1
BEC 2
S h
S = h = 1
3 . Vậy tỉ số EA EC = 1
3 Bước 3 : Nghiên cứu sâu lời giải
Bài toán tương tự:
Cho hình thang ABCD với hai đáy AB, DC và biết DC = 3AB. Hai đường chéo AC cắt BD tại I và hai cạnh bên CB cắt DA tại O.
A B
D C
E
h1
h2
Tính: EA ?
EC
Tính: BEA
BEC
S ?
S
Tính: 1
2
h ? h Tính: ABD
CBD
S ?
S
Tính: AB ? CD
Chứng minh rằng SADI = SBCI và tính tỷ số OA
OD ? Kết luận:
Trong dạy học các bài toán nâng cao thuộc dạng toán diện tích trong hình học ở Tiểu học theo hướng tiếp cận năng lực cần lưu ý sau:
- Khi phân tích tìm lời giải bài toán:
+ Vẽ hình mô tả các yếu tố đã cho và yếu tố phải tìm của bài toán chuyển động trên hình vẽ;
+ Trên cơ sở hình vẽ sẽ sử dụng các câu hỏi dạng phân tích đi lên xuất phát từ điều phải tìm (kết luận) của bài toán để phân tích tìm lời giải bài toán
+ Thông hiểu các mệnh đề cơ sở làm căn cứ suy luận logic trong hình học như: “Hai tam giác chung chiều cao và diện tích bằng nhau thì hai đáy bằng nhau”, “Hai tam giác chung đáy thì tỉ số giữa hai chiều cao bằng tỉ số giữa hai diện tích của hai tam giác đó”, …
- Khi nghiên cứu sâu lời giải thường xét bài toán tương tự, bài toán ngược, …