Tích phân là một trong những phát minh vô cùng quan trọng của Toán học và có nhiều ứng dụng trong thực tiễn. Tuy nhiên trong chương trình sách giáo khoa lớp 12 hiện nay thì chưa có các ví dụ mô tả ứng dụng trực tiếp của tích phân ngoài việc tính diện tích hình phẳng và thể tích của khối tròn xoay của những hàm số một cách cách gượng ép.
Câu hỏi là, việc tính diện tích hình phẳng hay thể tích khối tròn xoay đó có những ứng dụng thực tiễn như thế nào. Để trả lời câu hỏi này chúng ta có một số lý thuyết cơ sở được xây dựng hết sức tự nhiên như sau:
1) Ta đã biết, với một đại lượng biến thiên s(t) thì tốc độ thay đổi (vận tốc) của nó theo thời gian chính làs0(t). Ngược lại, khi biết tốc độ thay đổi s0(t) của một đại lượngs(t)thì có thể suy ra mô hình hàm số biểu thị cho đường đi của đại lượng đó bằng cách lấy nguyên hàm của s0(t). Tức là
s(t) = Z
s0(t)dt.
Kết hợp thêm các điều kiện ban đầu thích hợp để tìm ra s(t) một cách chính xác.
2) Khi biết tốc độ thay đổi s0(t) của một đại lượng s(t). Sự chênh lệch giá trị của đại lượng s(t) trong khoảng thời gian từ a đến b được xác định bởi công thức:
s(b)−s(a) =
b
Z
a
s0(t)dt.
Đây là mấu chốt quan trọng để giải quyết các bài toán thực tiễn như khi biết tốc độ tăng trưởng của một đại lượng, ta có thể tìm một hàm số biểu thị số lượng của đại lượng đó qua từng thời kì. Nhiều vấn đề nghiên cứu liên quan tới nội dung này có thể kể đến như: sự gia tăng dân số, nhu cầu tiêu dùng một loại hàng hóa nào đó, sinh học, mô trường... Rất tiếc ở nước ta các dữ liệu cho những việc nghiên cứu như trên chưa được cung cấp nhiều nên tác giả không tìm được các số liệu như mong muốn. Do đó, trong phần này tác giả xin được sử dụng số liệu được cung cấp của các cơ quan thuộc chính phủ Mỹ để minh họa.
Ví dụ 2.19. Một hồ nước bị ô nhiễm được xử lý bằng một chất diệt khuẩn. Tốc độ phát triển của số lượng vi khuẩn sống sót B được mô hình bởi
B0(t) =− 3000
(1 + 0,2t)2, t≥0
với B là số lượng vi khuẩn trên mỗi ml nước và t là số ngày tính từ khi hồ nước được xử lý. Biết số lượng vi khuẩn ban đầu là 10000 con/ml nước. Sử dụng mô hình này xác định số lượng vi khuẩn sau 5 ngày. Liệu số lượng vi khuẩn có thể vượt qua 2000 con/ml nước.
Lời giải.
B =
Z −3000
(1 + 0,2t)2dt =−3000 Z
(1 + 0,2)t−2dt= 15000(1 + 0,2t)−1+C
= 15000 1 + 0,2t +C
B(0) = 10000⇒15000 +C = 10000⇒C =−5000 Số vi khuẩn sau 5 ngày sẽ là B(5) = 2500con/1ml.
Như vậy số lượng vi khuẩn đã vượt qua 2000 con/ml nước.
Ví dụ 2.20. Tốc độ thay đổi của số lượng người V (tính bằng ngàn người) tham gia công tác tình nguyện ở nước Mỹ từ năm 2000 đến năm 2006 có thể được mô hình bởi hàm số
V0(t) = 119,85t2−30et+ 37,261e−t
với t là năm (t = 0 ứng với năm 2000). Hỏi số lượng người tham gia tình nguyện trong giai đoạn trên tăng lên hay giảm đi với số lượng bao nhiêu.(Nguồn: Cục thống kê lao động nước Mỹ).
Lời giải. Sự chênh lệch của số người tham gia tình nguyện trong giai đoạn từ
năm 2000 đến năm 2006 là:
V =V(6)−V(0) =
6
Z
0
119,85t2−30et+ 37,261e−t dt
=
119,85
3 t3−30et−37,261e−t
6
0
=−3473,756166−(−67,261)≈ −3406
Ví dụ 2.21. Một quả bóng được ném lên với vận tốc là 20 m/s bắt đầu từ độ cao 24m . Xác định một hàm số mô tả chiều caos của quả bóng theo thời giant (tính bằng giây).
Lời giải.Đặt t= 0 ứng với lúc quả bóng bắt đầu được ném lên. Theo giả thiết chúng ta có s(0) = 24và s0(0) = 20.
Quả bóng rơi xuống do tác động của trọng lực. Gia tốc tại thời điểm t bất kỳ làs00(t) =−9,8m/s2.
Vận tốc của quả bóng tại thời điểmt là:
s0(t) = Z
−9,8dt=−9,8t+C1 s0(0) = 20⇒C1 = 20 Do đó ta có: s0(t) =−9,8t+ 20.
s(t) = Z
(−9,8t+ 20)dt =−9,8t2+ 20t+C2 s(0) = 24⇒C2 = 24
Vậy độ cao của quả bóng được cho bởi hàm số s(t) = −9,8t2 + 20t+ 24
Ví dụ 2.22. (Dân số) Một nghiên cứu chỉ ra rằng sau x tháng kể từ bây giờ, dân số của thành phố A sẽ tăng với tốc độ10 + 2√
2x+ 1 người trên một tháng. Dân số của thành phố sẽ tăng bao nhiêu trong 4 tháng tới.
Lời giải.Gọi f(x) là dân số của thành phố saux tháng.
Tốc độ thay đổi của dân số là f0(x) = 10 + 2√
2x+ 1.
Suy ra
f(x) = Z
10 + 2√
2x+ 1
dx= 10x+ 2 Z √
2x+ 1dx
Z √
2x+ 1dx = 1 2
Z
(2x+ 1) 1
2d(2x+ 1) =1
3(2x+ 1) 3 2 +C
Do đóf(x) = 10x+2
3(2x+ 1) 3 2 +C.
Số dân trong 4 tháng tới là:
f(4)−f(0) = 10.4 + 2
3.(2.4 + 1) 3
2 +C−
0 + 2 3 +C
≈57người
Ví dụ 2.23. (Dân số)Tốc độ tăng các cặp đôi kết hôn (đơn vị tính: triệu người)của nước Mỹ từ năm 1970 đến năm 2005 có thể được mô hình bởi hàm số f(t) = 1,218t2 −44,72t+ 709,1 với t là năm(t= 0 ứng với năm 1970). Số lượng các cặp đôi kết hôn vào năm 2005 là 59513 ngàn người.
a) Tìm một mô hình biểu thị cho số lượng các cặp đôi kết hôn của nước Mỹ.
b) Sử dụng mô hình đó để dự đoán số lượng các cặp đôi kết hôn của nước Mỹ vào năm 2012. Kết quả của bạn liệu có hợp lí? Giải thích vì sao?
Lời giải.
a) Để tìm một mô hình cho số lượng các cặp đôi kết hôn ta tìm nguyên hàm của f(t).
F(t) = Z
1,218t2−44,72t+ 709,1 dt
= 1,218
3 t3− 44,72
2 t2+ 709,1t+C
= 0,406t3−22,36t2+ 709,1t+C
Số lượng các cặp đôi kết hôn vào năm 2005 là 59513 triệu người nên ta có F(35) = 59513
⇔0,406.353−22,36.352+ 709,1.35 +C = 59513
⇔C = 44678,25
Vậy một mô hình cần tìm là F(x) = 0,406t3−22,36t2+ 709,1t+ 44678,25.
Hình 2.4 Bảng thống kê số lượng cặp đôi kết hôn nước Mỹ năm 2012 b) Số lượng các cặp đôi kết hôn vào năm 2012 là
F(42) = 65097,138 triệu người
Theo báo cáo của Cục điều tra dân số nước Mỹ (hình 2.4) thì vào năm 2012 tổng số các cặp đôi kết hôn của nước Mỹ khoảng 61,047 triệu người.
So với kết quả lý thuyết thì sự chênh lệch là tạm chấp nhất được.
Ví dụ 2.24. Trọng lượng của một bào thai người nặng khoảng 0,04 ounce (1 ounce
=28,3495 gram) sau 8 tuần tuổi. Trong suốt 35 tuần tiếp theo, trọng lượng của bào thai này được dự đoán sẽ tăng với tốc độ:
B0(t) = 24361e−0,193t
(1 + 784e−0,193t)2,8≤t≤38
với B là cân nặng tính bằng ounce vàtlà thời gian tính bằng tuần. Hãy tính trọng lượng của bào thai sau 25 tuần tuổi.
Lời giải.Cân nặng của bào thai này là:
B =
Z 24361e−0,193t (1 + 784e−0,193t)2dt Đặt u= 1 + 784e−0,193t, ta có
B = 160,998 Z du
u2 =−160,998
u +C =− 160,998
1 + 784e−0,193t +C B(8) = 0,04
⇒ − 160,998
1 + 784e−0,193.8 +C = 0,04
⇒C =−0,916
Do đó ta có hàm số cân nặng của bào thai là B(t) =− 160,998
1 + 784e−0,193t −0,916,8≤t≤43.
Cân nặng của bào thai sau 25 tuần tuổi là:
B(t) =− 160,998
1 + 784e−0,193t −0,916 ≈22,08(ounce)
Ví dụ 2.25. Trong nghiên cứu khoa học, người ta sử dụng thể tích của một quả trứng để xác định kích thước của nó là một cách dự báo khá tốt về các thành phần cấu tạo của trứng và đặc điểm của con non sau khi nở ra.
Một quả trứng ngỗng được mô hình bởi quay đồ thị hàm số y =
1 30
√7569−400x2,−4,35 ≤ x ≤ 4,35 quanh trục Ox như hình 2.5. Sử dụng mô hình này để tính thể tích quả trứng (x, y được đo theo đơn vị cm).
Lời giải.Thể tích của quả trứng được xác định bởi:
Hình 2.5 V =π
4,35
R
−4,35 1 30
√7569−400x22 dx
= π 900
4,35
R
−4,35
(7569−400x2)dx≈153cm3