CHỦ ĐỀ 3: CON LẮC ĐƠN
II. PHÂN D ẠNG BÀI T ẬP
2) Chu kỳ dao động nhỏ
+ Con lăc đơn: T 2 π g
= ℓ
2 2
2 2
4 4 T g
g T
π π
=
⇒
=
ℓ
ℓ
+ Con lắc vật lý: 2 I T = π mgd
2 2 2 2
4 4 T mgd I
g I
T md π π
=
⇒
=
BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC – ÔN, LUYỆN THI ĐẠI HỌC VẬT LÝ CHỦ ĐỀ 3: CON LẮC ĐƠN 8 VÍ DỤ MINH HỌA:
VD1. Một con lắc đơn có chiều dài l = 16 cm. Kéo con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng một góc 90 rồi thả nhẹ. Bỏ qua mọi ma sát, lấy g = 10 m/s2, π2 = 10. Chọn gốc thời gian lúc thả vật, chiều dương cùng chiều với chiều chuyển động ban đầu của vật. Viết phương trình dao động theo li độ góc tính ra rad.
HD: Ta có: ω =
l
g = 2,5π rad/s; α0 = 90 = 0,157 rad; cosϕ =
0 0
0 α
α α
α = − = - 1 = cosπ ϕ = π.
Vậy: α = 0,157cos(2,5π + π) (rad).
VD2. Một con lắc đơn dao động điều hòa với chu kì T = 2 s. Lấy g = 10 m/s2, π2 = 10. Viết phương trình dao động của con lắc theo li độ dài. Biết rằng tại thời điểm ban đầu vật có li độ góc α = 0,05 rad và vận tốc v = - 15,7 cm/s.
HD: Ta có: ω =
T
2π = π; l = 2 ω
g = 1 m = 100 cm; S0 = ( )2 22
αl +ωv = 5 2 cm;
cosϕ =
S0
αl
= 2
1 = cos(±
4
π ); vì v < 0 nên ϕ =
4
π . Vậy: s = 5 2cos(πt +
4
π ) (cm).
VD3. Một con lắc đơn có chiều dài l = 20 cm. Tại thời điểm t = 0, từ vị trí cân bằng con lắc được truyền vận tốc 14 cm/s theo chiều dương của trục tọa độ. Lấy g = 9,8 m/s2. Viết phương trình dao động của con lắc theo li độ dài.
HD: Ta có: ω =
l
g = 7 rad/s; S0 = ω
v = 2 cm; cosϕ =
S0
s = 0 = cos(±
2 π );
vì v > 0 => ϕ = -
2
π . Vậy: s = 2cos(7t -
2
π ) (cm).
VD4. Một con lắc đơn đang nằm yên tại vị trí cân bằng, truyền cho nó một vận tốc v0 = 40 cm/s theo phương ngang thì con lắc đơn dao động điều hòa. Biết rằng tại vị trí có li
độ góc α = 0,1 3rad thì nó có vận tốc v = 20 cm/s. Lấy g = 10 m/s2. Chọn gốc thời gian là lúc truyền vận tốc cho vật, chiều dương cùng chiều với vận tốc ban đầu. Viết phương trình dao động của con lắc theo li độ dài.
HD: Ta có S20= 022 ω
v = s2 + 22 ω
v = α2l2 + 22 ω
v = 242 ω α g
+ 22 ω
v ω =
2 2
0 v
v g
−
α = 5 rad/s;
S0 = ω0
v = 8 cm; cosϕ =
S0
s = 0 = cos(±
2
π ); vì v > 0 nên ϕ = -
2 π . Vậy: s = 8cos(5t -
2
π ) (cm).
VD5: Một con lắc đơn dao động điều hòa với chu kì T =
5
π s. Biết rằng ở thời điểm ban đầu con lắc ở vị trí biên, có biên độ góc α0 với cosα0 = 0,98. Lấy g = 10 m/s2. Viết phương trình dao động của con lắc theo li độ góc.
HD: Ta có: ω =
T
2π = 10 rad/s; cosα0 = 0,98 = cos11,480 α0 = 11,480 = 0,2 rad;
cosϕ = α0
α =
0 0
α
α = 1 = cos0 ϕ = 0. => α = 0,2cos10t (rad).
BÀI TOÁN 5. VA CHẠM TRONG CON LẮC ĐƠN PHƯƠNG PHÁP
+ Trường hợp va chạm mềm: sau khi va chạm hệ chuyển động cùng vận tốc Theo ĐLBT động lượng: PA+PB=PAB ⇔m vA A+m vB B =(mA+m )VB Chiếu phương trình này suy ra vận tốc sau va chạm V
+ Trường hợp va chạm đàn hồi: sau va chạm hai vật chuyển động với các vận tốc khác nhau
vA 2và vB2.
Theo định luật bảo toàn động lượng và động năng ta có
A B A 2 B2
dA dB dA 2 dB2
P P P P
W W =W +W
+ = +
+
A A B B A A2 B A 2
2 2 2 2
A A B B A A2 B B2
m v m v m v m v
1 1 1 1
m v m v m v m v
2 2 2 2
+ = +
⇔
+ = +
từ đây suy ra các giá trị vận tốc sau khi va chạm vA 2và vB2. VÍ DỤ MINH HỌA
VD1.
Con lắc đơn gồm 1 quả cầu khối lượng m1= 100g và sợi dây không giãn chiều dài l = 1m. Con lắc lò xo gồm 1 lò xo có khối lượng không đáng kể độ cứng k = 25 (N/m) và 1 quả cầu khối lượng m2 = m1= m = 100g
1. Tìm chu kì dao động riêng của mỗi con lắc.
2. Bố trí hai con lắc sao cho khi hệ CB... (hình vẽ) kéo m1 lệnh khỏi VTCB 1 góc α = 0,1 (Rad) rồi buông tay.
a) Tìm vận tốc quả cầu m1 ngay trước lúc va chạm vào quả cầu (α<<).
b) Tìm vận tốc của quả cầu m2 sau khi va chạm với m1và độ nén cực đại của lò xo ngay sau khi va chạm.
c) Tìm chu kì dao động của hệ
Coi va chạm là đàn hồi xuyên tâm, bỏ qua ma sát.
HD. Tìm chu kì dao động riêng của từng con lắc khi chưa gắn vào hệ:
+ Con lắc lò xo: 1 2. 2. 0,1 0, 4 25
T m s
π k π
= = = (s)
+ Con lắc đơn : 1 2. 2. 1 2 10
T l s
π g π
= = =
2.
a) Vận tốc m1 ngay sau va chạm:
m1gh = =m1g.l.(1 - cosα) = 1m v1 o2 2
góc α nhỏ áp dụng công thức gần đúng 1 cos 2sin2 2 2 α α α
− = =
V0= α gl =0,1 10 = 0,316 (m/s)
b) Tìm vận tốc v2 của m2 ngay sau khi va chạm với m1 và độ nén cực đại của lò xo sau khi va chạm.
+ Gọi v1, v2là vận tốc của m1, m2 ngay sau khi va chạm
áp dụng định luật bảo toàn động lượng m1vo = m1v1 + m2v2 (1)
k m2 m1
l
BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC – ÔN, LUYỆN THI ĐẠI HỌC VẬT LÝ CHỦ ĐỀ 3: CON LẮC ĐƠN 10 định luật bảo toàn động năng: 1m v1 o2 1m v + m v 1 12 1 2 22
2 = 2 2 (2)
theo đề bài m1= m2 nên từ (1) => vo = v1+ v2 (3) từ (2) => vo2 = v12 + v22 (4) Từ (3) và 4 => vo2 = (v1+ v2)2 = v12 + v22 => 2v1. v2 = 0
=> v1 = 0 ; v2 = v0 = 0,316 (m/s)
+ Như vậy, sau va chạm, quả cầu m1 đứng yên, quả cầu m2 chuyển động với vận tốc bằng vận tốc của quả cầu m1 trước khi va chạm.
+ Độ nén cực đại của lò xo
2
2 2 2
1k. l 1m .v
2 ∆ = 2 → ∆l = 0,02 (m) = 2 (cm) c) Chu kì dao động :
khi m1 của con lắc đơn từ vị trí biên về vtcb đập vào vật m2 của con lắc lò xo dừng lại. vật m2 nén cực đại rồi quay lại vtcb đập vào m1 truyền toàn bộ năng lượng cho m1( bỏ qua mọi hao phí do tỏa nhiệt) m2 lại đứng yên, m1 lại chuyển động ra biên như vậy chu kỳ của hệ T = (T1 + T2) / 2 = (2 + 0,4)/2 = 1,4 (s)
BÀI TOÁN 6 : SỰ THAY ĐỔI CHU KỲ CON LẮC ĐƠN KHI THAY ĐỔI ĐỘ CAO h, ĐỘ SÂU d
* Phương pháp:
Để tìm một số đại lượng liên quan đến sự phụ thuộc của chu kì dao động của con lắc đơn vào độ cao so với mặt đất và nhiệt độ của môi trường ta viết biểu thức liên quan đến các đại lượng đã biết và đại lượng cần tìm từ đó suy ra và tính đại lượng cần tìm.
Gia tốc trọng trường ở mặt đất: g = 2
R