- Nhận xét các nghiệm được cung cấp trong đáp án để chọn khoảng nghiệm, bước nhảy thích hợp.
- Chuyển hết phương trình sang vế trái. Vế phải bằng 0.
- Dùng tính năng bảng giá trị của CASIO – fx 570 ES để kiểm tra.
Ví dụ: Nghiệm của phương trình: 𝟒𝒙𝟐−𝒙+ 𝟐𝒙𝟐−𝒙+𝟏 = 𝟑
A.x = 1; x = 2 B. x = -1; x = 1 C. x = 0; x = 1 D. x = -1; x = 0
Nhận xét: các phương án nghiệm là -1; 0; 1; 2. Bắt đầu -1; Kết thúc: 2. Bước nhảy 1.
Máy tính chuyển sang chế độ TABLE: Mode 7
Nhập hàm f(X) = 4^(X^2-X) + 2^(X^2-X+1) – 3. Start: -1; End: 2; Step: 1. Sau 5 giây có ngay x = 0; x = 1 là nghiệm. Đáp án C
Ví dụ: Nghiệm của phương trình: 32+x+ 32−x = 30 là: A. 0 B. PTVN C. 3 D.
±1
Nhận xét: phương án nghiệm: -1, 0, 1, 3. Bắt đầu: -1; Kết thúc: 3. Step: 1
Máy tính chuyển sang chế độ TABLE: Mode 7
Nhập hàm f(X) = 3^(2+X) + 3^(2-X) – 30. Start: -1; End: 3; Step: 1. Sau 5 giây có ngay không có F(X) nào bằng 0. Vậy Đáp án B.
Ví dụ: Nghiệm phương trình: 3x−1. 52𝑥−2𝑥 = 15 là: A. 1 B. 2; -log25 C. 4; -log25 D. 2;
log35
Có 3 phương án chứa -log25 và log35 nhưng ta sẽ kiểm tra sau.
Các phương án nghiệm 1; 2; 4. Vậy Bắt đầu: 1; Kết thúc: 4; Step:1
Tương tự 2 ví dụ trên, nhập dữ kiện, sau 5 giây có ngay F(2) = 0. Vậy đáp án B hoặc D
Chỉ cần kiểm tra 1 trong 2 thằng bằng cách: (Giả sử kiểm tra log35)
Nhấn AC. Giữ nguyên f(X) bằng cách nhấn dấu =. Nhập Start = log35 ; End = 2*log35;
Step = 1. Nếu máy không có tính năng nhập logab thì thay bằng log(b)/log(a). Sau 5’
thì log35 không là nghiệm. Vậy đáp án B
Lưu ý: không nhập Start = a; End = a; Step = 0. Máy sẽ báo Error.
Ví dụ: nghiệm của phương trình: 𝒍𝒐𝒈𝟒(𝒍𝒐𝒈𝟐𝒙) + 𝒍𝒐𝒈𝟐(𝒍𝒐𝒈𝟒𝒙) = 𝟐 là: A.2 B. 4. C. 8 D.16
Máy tính chuyển sang chế độ TABLE: Mode 7
Nhập hàm f(X) = 𝒍𝒐𝒈𝟒(𝒍𝒐𝒈𝟐𝑿) + 𝒍𝒐𝒈𝟐(𝒍𝒐𝒈𝟒𝑿) − 𝟐. Start: 2; End: 16; Step: 2. Sau 10 giây có ngay F(16) = 0. Vậy Đáp án D.
Ví dụ: nghiệm của phương trình: 𝒍𝒐𝒈𝟐(𝒙𝟐+ 𝟑𝒙 + 𝟐) + 𝒍𝒐𝒈𝟐(𝒙𝟐+ 𝟕𝒙 + 𝟏𝟐) = 𝟑 + 𝒍𝒐𝒈𝟐𝟑 là:
A.0 ; -3 B. – 4 ; - 3 C. – 5 ; - 4 D. 0; - 5 Máy tính chuyển sang chế độ TABLE: Mode 7
Nhập hàm f(X) = 𝒍𝒐𝒈𝟐(𝑿𝟐+ 𝟑 ∗ 𝑿 + 𝟐) + 𝒍𝒐𝒈𝟐(𝑿𝟐+ 𝟕 ∗ 𝒙 + 𝟏𝟐) − 𝟑 − 𝒍𝒐𝒈𝟐𝟑. Start: -5;
End: 0; Step: 1. Sau 10 giây có ngay F(-5) = 0; F(0) = 0. Vậy Đáp án D.
Ví dụ: nghiệm của phương trình: 𝒍𝒐𝒈𝒙(𝒙 + 𝟏) = 𝒍𝒐𝒈 (𝟑
𝟐) là: A.VN B.1/2 C.2 D. 3 Máy tính chuyển sang chế độ TABLE: Mode 7
Nhập hàm f(X) = 𝒍𝒐𝒈𝒙(𝑿 + 𝟏) − 𝒍𝒐𝒈𝟏𝟎(𝟑/𝟐). Start: 1/2; End: 3; Step: 1/2. Sau 5 giây có ngay không có F(X) nào bằng 0. Vậy Đáp án A
Ví dụ: nghiệm của phương trình: 𝟐𝒙+ 𝟐𝒙−𝟏 = 𝟒 là:
A.0 ; -3 B. – 4 ; - 3 C. – 5 ; - 4 D. 0; - 5
Nhập hàm f(X) = 𝒍𝒐𝒈𝟐(𝑿𝟐+ 𝟑 ∗ 𝑿 + 𝟐) + 𝒍𝒐𝒈𝟐(𝑿𝟐+ 𝟕 ∗ 𝒙 + 𝟏𝟐) − 𝟑 − 𝒍𝒐𝒈𝟐𝟑. Start: -5;
End: 0; Step: 1. Sau 10 giây có ngay F(-5) = 0; F(0) = 0. Vậy Đáp án D.
Ví dụ: nghiệm của phương trình: 𝟒𝒍𝒐𝒈𝟐𝟓𝒙 + 𝒍𝒐𝒈𝒙𝟓 = 𝟑 là: A. 𝟓; √𝟓 B.1; 1/2 C.1/5; 5 D. 1/5; √𝟓
Máy tính chuyển sang chế độ TABLE: Mode 7 Nhập hàm f(X) = 4 ∗𝒍𝒐𝒈𝟐𝟓𝑿 − 𝒍𝒐𝒈𝒙𝟓 − 𝟑.
Do có √5 và khoảng chia lớn, còn bộ nhớ máy tính chỉ tính được 25 giá trị nên ta kiểm tra trước 1/5; ẵ; 1 với bước nhảy 1/10. Nghiệm 5 và √5 kiểm tra sau
Start: 1/5; End: 1; Step: 1/10. Sau 5 giây có ngay không có F(X) nào bằng 0. Vậy loại cỏc phương ỏn chứa 1/5 ; ẵ ; 1. Đỏp ỏn A
Nếu cẩn thận thì Kiểm tra 5 với √𝟓
Nhấn AC. Giữ nguyên f(X) bằng cách nhấn dấu =. Nhập Start = √𝟓 ; End = 5; Step = (5+√5)/2. Sau 5 giây, cả hai đều có F(X) = 0.
Dạng 2: Tính giá trị biểu thức: Cứ nhập biểu thức vào máy tính, sau 5 – 10 giây, sẽ có ngay đáp án.
Dạng 3: Cho log𝑎 𝑏 = 𝐴; log𝑐𝑑 = 𝐵; 𝑇í𝑛ℎlog𝑒𝑓 𝑡ℎ𝑒𝑜 𝐴, 𝐵
Dạng này nếu không thuộc tính chất hàm log và nếu không biết kỹ thuật thì cực khó. Nhiều khi sẽ khá rối. Nhưng chỉ cần bấm máy là trong 1 phút 30 giây sẽ xử nó dễ dàng với kỹ thuật gán giá trị cho các biến.
- Máy tính ở chế độ tính toán bình thường: Mode 1
- Đầu tiên gán giá trị logab cho phím A: logab -> Shift -> STO -> A (không nhấn Alpha nhé)
- Gán giá trị logcd cho phím B: logcd -> Shift -> STO -> B - Gán giá trị logef cho phím C: logef -> Shift -> STO ->
- Chỉ cần lần lượt kiểm tra C trừ cho 3 biểu thức ở 3 phương án A, B, C. Nếu bằng 0 thì đó là đáp án. Nếu may mắn thì chỉ 1 lần kiểm tra,nếu xui lắm thì cũng chỉ 3 lần kiểm tra. Đảm bảo trong 1 phút 30 giây, có ngay đáp án.
Ví dụ: Cho a = log315. Khi đó log2515 là: A. 𝑎
2(𝑎−1) B. 𝑎
𝑎−1 C. 𝑎
2(𝑎+1) D. 𝑎
𝑎+1
- Log315 -> Shift -> STO -> A Log2515 -> Shift -> STO -> B - Alpha B – (Alpha A)/2*(Alpha A – 1) = 0. Đáp án A. Quá hên !!!
Bài này mà giải tay thì là như sau : Do A liên quan đến cơ số 3 nên chèn 3 vào log2515 theo qui tắc trừ vecto :log2515 = log315
log325= 𝑎
2 log35 = 𝑎
2 log3(153)= 𝑎
2 (log315−log33) =
𝑎 2(𝑎−1)
Ví dụ: Cho a = log126; b = log127. Khi đó log27 là: A. 𝑎
1−𝑏 B. 𝑎
𝑎−1 C. 𝑎
𝑏+1 D.
− 𝑏
𝑎−1
Log126 -> Shift -> STO -> A Log127 -> Shift -> STO -> B Log27 -> Shift -> STO -
> C
- Alpha C – (Alpha A)/(1 – Alpha B) = -0.5…… Loại A.
- Alpha C – (Alpha A)/(1 + Alpha B) = 2.4…. Loại C
- Alpha C – (Alpha A)/(Alpha A -1) = 5.39…. Loại B. Vậy đáp án D
Bài này mà giải tay thì là như sau : Do a, b liên quan đến cơ số 12 nên chèn 12 vào log27 theo qui tắc trừ vecto :log27 = log127
log122= 𝑏
log12(126)= 𝑏
log1212−𝑙𝑜𝑔126 = 𝑏
1−𝑎)= − 𝑏
𝑎−1
Ví dụ: Cho a = log25. Khi đó log41250 là: A. 1
2(1 + 4𝑎) B.2(1 + 4𝑎) C. 1 + 4𝑎 D. 2+4a
- Log25 -> Shift -> STO -> A Log41250 -> Shift -> STO -> B - Alpha B – 0.5*(1+4*Alpha A) = 0. Đáp án A. Quá hên !!!
Bài này thì ta có: log41250 = log22(2.54) = log222 + log2254 = 1
2log22 +4
2log25 =
1
2(1 + 4𝑎)
Ví dụ: Cho a = log275; b = log87; c= log23. Khi đó log1235 là: A.
3𝑏+2𝑎𝑐
𝑐+2 B. 3𝑏+3𝑎𝑐
𝑐+2 C. 3𝑏+2𝑎𝑐
𝑐+3 D. 3𝑏+3𝑎𝑐
𝑐+1
- Log275 -> Shift -> STO -> A Log87 -> Shift -> STO -> B
- Log23 -> Shift -> STO -> C Log1235 -> Shift -> STO -> D
- Alpha D – (3*Alpha B+2*Alpha A*Alpha C)/(Alpha C + 2) = 0.21…… Loại A.
- Alpha D – (3*Alpha B+3*Alpha A*Alpha C)/(Alpha C + 2) = 0. Đáp án B
Bài này mà giải tay thì là như sau : Do mẫu số liên quan c nên chèn cơ số 2 vào log1235 theo qui tắc trừ vecto : log1235 = log235
log212= log2(5.7)
log2(3.22)= log25 +log27
log23+2𝑙𝑜𝑔22 =
log25+313log27
𝑐+2 =log25+3 log(23)7
𝑐+2 = 3𝑏+log25
𝑐+2 = 3𝑏+log227.log275
𝑐+2 (∗) = 3𝑏+log233.log275
𝑐+2 = 3𝑏+3.𝑐𝑎
𝑐+2
(*): áp dụng qui tắc đường chéo
Dạng 4: Phương pháp tìm nghiệm của bất phương trình mũ – log: F(X) > 0 ( < 0)
Thường khi giải bất phương trình mũ, log thì kết quả sẽ là 1 khoảng giá trị thỏa bất phương trình. Ta sẽ xét các phương án để chọn các khoảng đánh giá và bước nhảy thích hợp để tận dụng tính năng bảng giá trị TABLE của máy tính để xét dấu của F(X). Từ đó, chọn phương án thích hợp. Lưu ý: chuyển hết bpt sang vế trái, VP luôn là 0
Quan trọng nhất ở đây là kỹ năng đánh giá các phương án để chọn khoảng xét dấu và bước nhảy thích hợp. Cái này cần tập luyện nhiều để có nhãn quan chiến thuật tốt.
NHẤN MẠNH: CHỈ DÙNG ĐỂ TRỊ NHỮNG BẤT PHƯƠNG TRÌNH BIẾN ĐỔI PHỨC TẠP THÔI NHA. KHÔNG LẠM DỤNG VỚI NHỮNG BẤT PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN.
Ví dụ: Nghiệm bpt: 32. 4𝑥 − 18. 2𝑥 + 1 < 0 là:
A.1 < x < 4 B. 1/16 < x < ẵ C. 2 < x < 4 D. – 4 < x < - 1
Ta cú cỏc khoảng (-4; 1); (2; 4); (1;4). Nếu xột luụn khoảng (1/16; ẵ) thỡ bước nhảy sẽ khỏ nhỏ, vượt quỏ bộ nhớ mỏy tớnh nờn khoảng (1/16; ẵ ) để xột riờng.
Với 3 khoảng trên thì ta chọn Start = -4; End = 4; Step = [4-(-4)]/25 (vì bộ nhớ máy tính tính được tối đa 25 giá trị khác nhau)
Nhấn Mode 7. Nhập hàm 32. 4𝑥 − 18. 2𝑥 + 1. Start = -4 ; End = 4 ; Step = 8/25 F(-4) = 0 và giá trị F(X) <0 cho tới F(-1.12) và từ F(-0.8) thì giá trị luôn > 0 cho tới F(4).
Vậy đáp án D (khỏi cần kiểm tra B).
Ví dụ 2: Nghiệm bpt log0,4 (x-4) + 1 > 0 là:
A.(4; 13/2] B. (-∞; 13/2) C. [13/2; +∞) D. (4; + ∞)
Do có 4 khoảng (-∞; 13/2); [13/2; +∞); (4; 13/2); (4; +∞). Nên ta chọn điểm bắt đầu trong khoảng (-∞; 13/2) và điểm kết thúc trong [13/2; +∞). Bước nhảy đi qua 4 và 6.5 -> Step 0.5. Vậy có thể chọn Start = 0; End = 10. Step = 0.5 (20 giá trị cần tính)
Nhấn Mode 7. Nhập hàm log0,4 (x-4) + 1. Start = 0 ; End = 10 ; Step = 0.5
Hàm ERROR từ 0 đến 4. F(4.5) đến F(6) > 0.F(6.5) = 0. Từ F(6.5) đến F(10) thì F(X)<0.
Vậy đáp án A.
Ví dụ 3: Nghiệm bpt log4(3𝑥 − 1) . 𝑙𝑜𝑔1
4
(3𝑥−1
16 ) ≤ 3
4 là:
A.(-∞;1] [2; + ∞)B. [1;2] C. (0; 1] D. (0;1] [2;+∞)
Như vậy, cần chọn điểm bắt đầu thuộc (-∞;1] và điểm kết thúc thuộc [2; +∞).
Bước nhảy đi qua 0; 1; 2. Vậy chọn Start = -2; End = 4.Step = 0.25 (24 giá trị cần tính để xét dấu cho đẹp, bước nhảy càng nhỏ vì việc xét dấu càng chính xác).
Nhấn Mode 7. Nhập hàm log4(3𝑥 − 1) . 𝑙𝑜𝑔1
4
(3𝑥−1
16 ) −3
4. Start = -2 ; End = 4 ; Step = 0.25
Giá trị F(X) ERROR từ F(-2) đến F(0). Giá trị âm từ F(0.25) đến F(0.75); F(1) = 0. F(X) > 0 từ F(1.25) đến F(1.75); F(2) = 0 và F(X) < 0 từ F(2.25) đến F(4)
Vậy đáp án D
Chủ đề 12. Kiểm tra biểu thức nào là nguyên hàm của f(x)
(dùng cho máy tính không có chức năng tính nguyên hàm, tích phân)
Bài toán: Nguyên hàm của biểu thức f(x) là: (hoặc ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 là)
A. g(x) + C B. h(x) + C C. k(x) + C D. l(x) + C Kiến thức toán học: F(x) là nguyên hàm của f(x) (𝐹(𝑥) + 𝐶 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥) nếu:
𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐷. Vậy phải đúng với x0 bất kỳ thuộc D.
Phương pháp:
Cần nhớ: 𝒈′(𝒙𝟎) ≅𝒈(𝒙𝟎+𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟏)−𝒈(𝒙𝟎)
𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟏 = 𝟏𝟎𝟒. [𝒈(𝒙𝟎+ 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟏) − 𝒈(𝒙𝟎)]
Vậy chỉ cần bấm máy để tính lần lượt g’(x0), h’(x0), k’(x0), l’(x0). Đáp án nào gần 𝑓(𝑥0) thì đó là đáp án cần tìm.
Thường chọn x0 là 1 trong 3 giá trị: 1; 2; 3 (tùy bài để chọn và phải đảm bảo các giá trị đó thuộc miền xác định của các hàm). Nếu hàm lượng giác thì thường chọn 0; /4 ; /2 (rad)
Lưu ý: 1. Chỉ dùng khi việc tính tích phân ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 quá phức tạp thôi nha. Vẫn khuyến khích các bạn làm theo phương pháp chính thống, không phụ thuộc máy tính.
2. Cũng có thể thế cận a, b bất kỳ (sao cho f(x) xác định) vào để thành tích phân xác định ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑎𝑏 và dùng phương pháp tính gần đúng tích phân xác định bằng cách bấm máy (đã có bài hướng dẫn) rồi kiểm tra g(b) – g(a); h(b) – h(a); k(b) – k(a); l(b) – l(a) để chọn kết quả
Ví dụ: (Nguồn :Collegeboard) ∫ 𝑥2
𝑒𝑥3𝑑𝑥 là (đã bỏ bớt phương án E) A. −1
3𝑙𝑛𝑒𝑥3 + 𝐶 B. −𝑒𝑥3
3 + 𝐶 C. − 1
3𝑒𝑥3 + 𝐶 D. 𝑥
3 3𝑒𝑥3 + 𝐶 Kiểm tra với x = 1: 𝑓(1) = 12
𝑒13 = 1
𝑒 = 𝟎. 𝟑𝟔𝟕𝟖𝟕𝟗𝟒𝟒𝟏𝟏𝟕 A: 𝑦′(1) ≈ [𝑦(1.0001) − 𝑦(1)] ∗ 104 = [−1
3𝑙𝑛𝑒(1.0001)3− (−1
3𝑙𝑛𝑒1)] 104 = -1.0001 B: 𝑦′(1) ≈ [𝑦(1.0001) − 𝑦(1)] ∗ 104 = [−1
3𝑒(1.0001)3− (−1
3𝑒1)] 104 = -2.71896 C: 𝑦′(1) ≈ [𝑦(1.0001) − 𝑦(1)] ∗ 104 = [− 1
3𝑒(1.0001)3− (− 1
3𝑒1)] 104 = 0.36786 (nhận) (ra C rồi thì khỏi tính D cho đỡ tốn thời gian)
Việc bấm máy tính kiểm tra 4 phương án dạng này cũng không dễ phải không nào. Trong khi bài này tính trực tiếp thì đơn giản vô cùng. Này nhé:
∫ 𝑥2
𝑒𝑥3𝑑𝑥 = ∫ 𝑥2𝑒−𝑥3𝑑𝑥 = 1
3∫ 𝑒−𝑥3(3𝑥2𝑑𝑥) =1
3∫ 𝑒−𝑡(𝑑𝑡) = −1
3𝑒−𝑡, với t = x3. Đáp án C.
Nói chung đối đế lắm mới dùng cách bấm máy tính cho dạng này nhé. Chỉ dùng trong trường hợp hàm lấy tích phân bất định quá lắt léo, không thể giải ra đáp số trong 1 phút 30 giây thôi, kẻo gậy ông đập lưng ông nghen.
Chủ đề 13. Tìm nhanh kết quả tích phân không cần biết cách tính tích phân.
Dạng này chỉ áp dụng cho những bài tính tích phân phức tạp.
Công thức Simpson:
∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 ≈𝒂𝒃 𝒉
𝟑[(𝒚𝟎 + 𝒚𝟖) + 𝟒(𝒚𝟏 + 𝒚𝟑 + 𝒚𝟓 + 𝒚𝟕) + 𝟐(𝒚𝟐 + 𝒚𝟒 + 𝒚𝟔)], Với 𝒉 = 𝒃−𝒂
𝟖 (1) Với y0 = f(a) , y1 = f(a+h) y2 = f(a+2h), … , yi = f(a+ih), y8 = f(a + 8h) = f(b) Với đề thi trắc nghiệm thì chỉ cần tính :
∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 ≈𝒃
𝒂
𝒉
𝟑[(𝒚𝟎+ 𝒚𝟒) + 𝟒(𝒚𝟏 + 𝒚𝟑) + 𝟐𝒚𝟐], Với 𝒉 = 𝒃−𝒂
𝟒 (2)
Với câu tích phân thì cần dùng tính năng tính bảng giá trị của máy tính cầm tay. Với Casio fx-570ES, ta chọn Mode -> 7 (Table).
Màn hình hiện f(X) = . Ta nhập hàm tính tích phân f(x) vào. Xong nhấn dấu =.
Màn hình hiện Start ? Nhập giá trị a. Nhấn = Màn hình hiện End ? Nhập giá trị b. Nhấn = Màn hình hiện Step ? Nhập giá trị h. Nhấn =
Màn hình hiện bảng tính. Ghi các giá trị f(xi) ở cột phải , thế vào biểu thức (1) hoặc (2) để tìm kết quả.
Ví dụ : (đề thi năng lực VNU HN) Tích phân ∫ 𝟓𝒙+𝟕
𝒙𝟐+𝟑𝒙+𝟐𝒅𝒙
𝟐
𝟎 có giá trị bằng : A. 2ln2 + ln3 B. 2ln2 + 3ln3 C. 2ln3 + 3ln2 D. 2ln3 + ln4
Tính trước giá trị đáp án : A. 2.48490665 B. 4.682131227 C. 4.276666119 D.
3.583518938 h = (2 – 0)/4 = 0.5
Nhấp Mode -> 4 (Table). Nhập (5.X+7)/(X^2+3.X+2). = Start ? 0, End ? 2 ; Step ? 0.5 Có y0 = 3.5 ; y1= 2.5333; y2 = 2; y3 = 1.6571; y4 = 1.4166
Nhấn Mode 1
Lấy ((y0 + y4) + 4 (y1+y3) + 2y2)x h/3 = 4.2797. Chọn đáp án C.
Ví dụ : (đề thi năng lực VNU HN) Tích phân ∫ 𝒙𝟏𝟐 𝟐. 𝒍𝒏𝒙𝒅𝒙 có giá trị bằng : 𝑨.𝟖
𝟑𝒍𝒏𝟐 −𝟕
𝟗 B. 8ln2 - 7/3 C. 24ln2 – 7 D. 𝟖
𝟑𝒍𝒏𝟐 −𝟕
𝟑
Tính trước giá trị đáp án : A. 1.070… B. 3.211… C. 9.63… D.-0.4849…
Dùng (2), với start = 1 ; end = 2, h = 0.25
Có y0 = 0 ; y1= 0.3486; y2 = 0.9122; y3 = 1.7138; y4 = 2.7725
Nhấn Mode -> 1. Lấy ((y0 + y4) + 4 (y1+y3) + 2y2)x h/3 =1.070541. Chọn đáp án A.
Chủ đề 14. MẸO TÍNH NHANH TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN DẠNG 1
Trước tiên, ta nhắc lại một chút về kiến thức của phép lấy tích phân theo từng phần: Giả sử u và v là hai hàm số khả vi của x. Khi đó, như ta đã biết, vi phân của tích uv được tính theo công thức: 𝑑(𝑢𝑣) = 𝑢𝑑𝑣 + 𝑣𝑑𝑢
Từ đó, lấy tích phân ta được: 𝑢𝑣 = ∫ 𝑢𝑑𝑣 + ∫ 𝑣𝑑𝑢. Hay là: ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 (1) Công thức này gọi là công thức lấy tích phân từng phần. Công thức này thường được dùng để lấy tích phân các biểu thức có thể biểu diễn dưới dạng tích của hai nhân tử u và dv, sao cho việc tìm hàm số v theo vi phân dv của nó và việc tính tích phân ∫ 𝑣𝑑𝑢 là những bài toán đơn giản hơn so với việc tính trực tiếp tích phân ∫ 𝑢𝑑𝑣. Ý nghĩa tách biểu thức dưới dấu tích phân thành các thừa số u và dv thường xảy ra trong quá trình giải các bài toán có dạng sau:
∫ 𝑃𝑛(𝑥). 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑥 . 𝑑𝑥 , ∫ 𝑃𝑛(𝑥). 𝑐𝑜𝑠𝑎𝑥. 𝑑𝑥 , ∫ 𝑃𝑛(𝑥). 𝑒𝑎𝑥. 𝑑𝑥 (*), trong đó Pn là đa thức bậc n.
Với các dạng trên, thì thông thường vai trò của u luôn là đa thức Pn , và dv là phần còn lại. Như vậy, ta có sơ đồ sau:
Khi được tích phân mới, ta lại được một tích phân lại là một trong các dạng, và phần đa thức mới lại đóng vai trò là u, còn phần còn lại tiếp tục đóng vai trò là v….
Cứ thế cho đến khi bậc của đa thức là bậc 0 thì sẽ có kết quả. \
Như vậy, các đa thức luôn đóng vai trò u (nghĩa là lấy đạo hàm), còn phần còn lại luôn là dv (lấy tích phân), nên ta sẽ xây dựng thuật toán gồm 2 cột:
- Cột trái chuyên lấy đạo hàm của đa thức cho đến khi giá trị bằng 0;
- Cột phải luôn lấy tích phân tương ứng với cột kia.
- Sau đó, ghép các giá trị uv lại ta sẽ có kết quả. Hay ta có sơ đồ như hình bên phải.
Ví dụ: Tính: ∫(𝑥2+ 7𝑥 − 5). 𝑐𝑜𝑠2𝑥. 𝑑𝑥 Ta lập sơ đồ như sau:
Khi đó, kết quả của tích phân này sẽ là:(𝑥2+ 7𝑥 − 5).𝑠𝑖𝑛2𝑥
2 + (2𝑥 + 7).𝑐𝑜𝑠2𝑥
4 −𝑠𝑖𝑛2𝑥
4 Ví dụ 2: Cần tính: ∫(𝑥3 + 4𝑥2 − 5𝑥 + 6). 𝑒−𝑥. 𝑑𝑥
Ta có sơ đồ sau:
Vậy, dựa vào sơ đồ trên, ta có kết quả của bài toán là:
−(𝑥3+ 4𝑥2− 5𝑥 + 6)𝑒−𝑥− (3𝑥2+ 8𝑥 − 5)𝑒−𝑥− (6𝑥 + 8)𝑒−𝑥− 6𝑒−𝑥 + 𝐶 Hay: −(𝑥3+ 7𝑥2+ 9𝑥 + 15) 𝑒−𝑥+ 𝐶
Chủ đề 15. KỸ THUẬT VIẾT NHANH PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG QUA 2 ĐIỂM A(a;b); B(c;d) và PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG QUA 3 ĐIỂM A, B, C Phương pháp bấm máy:
Dạng1: Phương trình đường thẳng qua 2 điểm A(a;b) và B(c;d):
- Chỉ cần dùng máy tính giải hệ 2 phương trình, 2 ẩn:{𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = −1 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = −1 o Mode -> 5 -> 1
o Nhập a, b, -1 vào dòng 1; Nhập c, d -1 vào dòng 2. Nhấn = o Được nghiệm hpt. Giả sử X = M; Y = N
- Phương trình đường thẳng (AB) có dạng: Mx + Ny + 1 = 0 Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm A(1; 2); B(3;4)
- Giải hệ phương trình: {1𝑥 + 2𝑦 = −1
3𝑥 + 4𝑦 = −1được X = 1; Y = -1 - Vậy phương trình (AB): X – Y + 1 = 0
Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm A(1; 2); B(4;3) - Giải hệ phương trình: {1𝑥 + 2𝑦 = −1
4𝑥 + 3𝑦 = −1được X = 1/5 ; Y = -3/5
- Vậy phương trình (AB): X/5 – 3Y/5 + 1 = 0. Hay (AB): X – 3Y + 5 = 0
Lưu ý: một số máy tính giải hệ 2 phương trình, 2 ẩn dạng: anX + bnY + cn = 0. Khi đó nhớ chuyển hệ phương trình thành: {𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 1 = 0
𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 + 1 = 0
Dạng 2: Phương trình mặt phẳng qua 3 điểm A(a;b;c) và B(d;e;f) và C(g;h;i)
- Chỉ cần dùng máy tính giải hệ 3 phương trình, 3 ẩn:{
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = −1 𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 + 𝑓𝑧 = −1 𝑔𝑥 + ℎ𝑦 + 𝑖𝑧 = −1 o Mode -> 5 -> 2
o Nhập a, b, c; -1 vào dòng 1; Nhập d, e, f, -1 vào dòng 2; Nhập g, h, I, -1 vào dòng 3. Nhấn =
o Được nghiệm hpt. Giả sử X = M; Y = N; Z = P
- Phương trình mặt phẳng (ABC) có dạng: Mx + Ny + Pz + 1 = 0 Vén màn bí mật:
Kiến thức Toán học: Phương trình đường thẳng qua 2 điểm A(a; b); B(c;d) có dạng:
𝑥−𝑎
𝑐−𝑎 = 𝑦−𝑏
𝑑−𝑏→ (𝑑 − 𝑏)(𝑥 − 𝑎) = (𝑦 − 𝑏)(𝑐 − 𝑎) → (𝑑 − 𝑏)𝑥 + (𝑎 − 𝑐)𝑦 + 𝑏𝑐 − 𝑎𝑑 = 0 Hay: 𝑑−𝑏
𝑏𝑐−𝑎𝑑𝑥 + 𝑎−𝑐
𝑏𝑐−𝑎𝑑𝑦 + 1 = 0.
Trong đó: 𝑀 = 𝑑−𝑏
𝑏𝑐−𝑎𝑑; 𝑁 = 𝑎−𝑐
𝑏𝑐−𝑎𝑑 chính là nghiệm hpt: {𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = −1 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = −1 Lưu ý:
1. Với pt đt qua (AB): Trong trường hợp: ad - bc = 0. Hệ 2 pt, 2 ẩn sẽ không giải được, máy tính sẽ báo ERROR.
- Khi đó, 2 điểm A, B sẽ có dạng: A(a; b); B(ka; kb). Lúc này, pt đt (AB) có dạng:
y = bx/a.
- Câu thần chú: YÊU BÀ XÃ CHIA ANH.
2. Với pt mp (ABC): Nếu máy báo ERROR, nghĩa là hệ số tự do của mặt phẳng bằng 0. Khi đó, ta xử lý như sau:
- Có 3 điểm A, B, C. Suy ra: 2 vecto AB, AC.
- Suy ra vecto pháp tuyến n là tích hữu hướng của AB với AC.
- Giả sử là n = (M; N; P)
- Vậy phương trình mặt phẳng (ABC): Mx + Ny + Pz = 0
Chủ đề 16. GIẢI TOÁN SỐ PHỨC BẰNG MÁY TÍNH CASIO fx – 570 ES
Tóm tắt lý thuyết số phức : - i2 = -1
- Dạng đại số của số phức: z = a + bi; Số phức liên hợp: 𝑧̅ = 𝑎 − 𝑏𝑖
o Cộng, trừ, nhân 2 số phức giống cộng, trừ, nhân 2 đa thức bậc nhất.
o Chia 2 số phức: nhân liên hợp. Với chú ý: (a + bi)(a - bi) = a2 + b2. o Modun số phức: r = |z| = √𝑧. 𝑧̅ = √𝑎2 + 𝑏2
- Dạng hình học:
o Số phức z = a + bi tương ứng với điểm Z(a; b) trong mặt phẳng tọa độ.
o 𝑧 + 𝑧̅ = 2𝑎; 𝑧 − 𝑧̅ = 2𝑏𝑖
o |𝑧 − (𝑐 + 𝑑𝑖)| = 𝑟 ↔ (𝑎 − 𝑐)2+ (𝑏 − 𝑑)2 = 𝑟2 : Tập hợp tất cả các điểm nằm trên đường tròn tâm (c; d) bán kính r.
- Dạng lượng giác: z = r.(cos + i.sin); trong đó:
o r > 0 là môđun của số phức: r = √𝑎2 + 𝑏2 ; o được gọi là Argument của số phức: tan = b/a
[0;2] được gọi là Argument chính (Argz);
= Argz + k.2 (k Z)
o Mối liên hệ giữa dạng đại số và lượng giác:
a = r.cos ; b = r.sin; r = √𝑎2 + 𝑏2; 𝑡𝑎𝑛𝜑 = 𝑏
𝑎
- Chú ý:
o a > 0; b > 0: (0; /2); a < 0; b > 0: (/2; );
o a < 0; b < 0: (; 3/2); a > 0; b < 0: (3/2; 2) - Quy tắc:
o Tích 2 số phức dạng lượng giác thì: modun bằng tích modun; argument bằng tổng argument
o Thương 2 số phức dạng lượng giác thì: modun bằng thương modun;
argument bằng hiệu argument
o Căn bậc 2 của số phức dạng lượng giác: modun bằng căn modun;
argument bằng ẵ argument.
Sau khi đã nắm vững kiến thức lý thuyết về số phức, bạn có thể nhờ máy tính bỏ túi thực hiện việc tính toán nhanh 1 số vấn đề liên quan đến số phức. Với máy tính
Casio fx – 570 ES, thì việc tính toán số phức đơn giản như việc tính toán với số thực.
Tất nhiên, có 1 số dạng không thể “khoán trắng” cho máy tính bỏ túi được.
Dạng 1 : Tính toán số phức dạng đại số: Nhấn Mode 2 - Nhập số phức dạng đại số a + bi: a → + → b → ENG
- Cộng, trừ, nhân, chia số phức: thực hiện bình thường. Lưu ý: máy không hiểu lũy thừa của số phức nên nếu muốn tính z2 thì chịu khó nhập z x z nha. Nghĩa là cần tính z4 thì phải nhập: z x z x z x z
Ví dụ: Thực hiện phép tính: z = (1 + 𝑖). 2−𝑖
3+2𝑖
(1 + ENG)x(2 – ENG)/(3 + 2 ENG) Kết quả: 11/13 – 3i/13
- Số phức liên hợp: 𝑧̅: Nhập số phức z (không nhấn dấu =). Nhấn Shift 2 → 2 Ví dụ: Cần số phức liên hợp của VD1. VD1 ra kết quả, z = 11/13 – 3i/13. Nhấn Shift
→ 2 → 2. Có: 11/13 + 3i/13 - Cần tìm modun z:
o Cách 1: Chọn chức năng Abs bằng cách nhấn Shift → hyp (phím phía trên phím “(“ á). Hiện | |. Nhập số phức vào ô giữa 2 dấu | |
o Cách 2: liên quan đến dạng lượng giác, sẽ đề cập sau.
Ví dụ: modun của 𝑧̅: ở ví dụ 2 sẽ là: - Shift → hyp → Ans = . Ra kết quả √130
13 . Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Nếu z1 = √3 + 𝑖√3; 𝑧2= √3 + 𝑖 thì số phức z1/z2 nằm ở góc phần tư nào ? Mode 2 → (√3 + 𝐸𝑁𝐺√3)/(√3 + 𝐸𝑁𝐺) = 3+√3
4 +3−√3
4 𝑖. Vậy góc phần tư thứ I Ví dụ 2: Giả sử (1+𝑖
1−𝑖)3− (1−𝑖
1+𝑖)3 = 𝑥 + 𝑖𝑦. Tìm giá trị (x ;y) Nhập vào biểu thức: (1+𝑖
1−𝑖)3− (1−𝑖
1+𝑖)3. Nhấn = . Ta được -2i. Vậy x = 0; y = 2 Ví dụ 3: Nếu 𝑓(𝑧) = 7−𝑧
1−𝑧2, với z = 1 + 2i thì |f(z)| là : |z|/2 b. |z| c. 2|z| d. Tất cả đều sai Ta lập kiểm tra tỉ số |f(z)|/|z|: Shift → hyp → 7−(1+2𝐸𝑁𝐺)
1−(1+2𝐸𝑁𝐺)2 → / → shift → hyp → 1+2ENG Ta cú kết quả là ẵ Vậy đỏp ỏn A.
Ví dụ 4: Tìm số phức liên hợp của : √5+12𝑖+√5−12𝑖
√5+12𝑖−√5−12𝑖 ? Nhập biểu thức √5+12𝑖+√5−12𝑖
√5+12𝑖−√5−12𝑖 vào máy. Nhấn =. Máy báo ERROR. Sao kỳ vậy ta. Không sao. Tại máy không hiểu biểu thức: √𝑎 + 𝑏𝑖 thôi. Các bạn an tâm. Dạng này mình xử sau.
Dạng 2 : Tìm nghiệm của phương trình bậc 4 : P(x) = Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E = 0, (A, B, C, D, E R) biết phương trình có 1 nghiệm phức z = a + bi.
Lưu ý : Nếu z = a + bi là nghiệm thì z = a – bi là nghiệm.
Khi đó : (x - (a + bi))(x - (a – bi)) = x2 – 2ax + (a2 + b2) = 0 Vậy ta thực hiện phép chia P(x) cho x2 – 2ax + (a2 + b2)
Xét ví dụ : Tìm giá trị của biểu thức 2x4 + 5x3 + 7x2 – x + 41, khi x = −2 − 𝑖√3 Ta có : (x + (2 + 𝑖√3))(x + (2 − 𝑖√3)) = x2 + 4x + 7
Lưu ý : Ta sẽ thực hiện phép chia 2x4 + 5x3 + 7x2 – x + 41 cho x2 + 2x + 7.
Lập sơ đồ sau :
2 5 7 -1 41
-4 0 0
-7 0 0
2
4 vị trí màu đỏ luôn cố định là 0 nha.
Bước tiếp theo :
2 5 7 -1 41
-4 0 (-4)x2 0
-7 0 0
2 5 – 8 = -3
Bước 3 :
2 5 7 -1 41
-4 0 (-4)x2 (-4)x(-3) 0
-7 0 0 (-7)x2
2 5 – 8= -3 7+12–14 = 5 Bước 4:
2 5 7 -1 41
-4 0 (-4)x2 (-4)x(-3) (-4)x5 0
-7 0 0 (-7)x2 (-7)x(-3) (-7)x5
2 5 – 8= -3 7+12–14 = 5 -1-20+21=0 6 Vậy : 2x4 + 5x3 + 7x2 – x + 41 = (x2 + 2x + 7)(2x2 + x – 9) + 6. Có ngay kết quả bằng 6 Ví dụ 2: -2 + i là nghiệm của phương trình: z4 + 2z3 – z2 – 2z + 10 = 0. Tìm các nghiệm còn lại của phương trình.
Có -2 + i là nghiệm thì -2 – i cũng là nghiệm và là 2 nghiệm của ph.trình: z2 + 4z +5 Thực hiện phép chia z4 + 2z3 – z2 – 2z + 10 cho z2 + 4z +5
1 2 -1 -2 10
-4 0 (-4).1 (-4).(-2) (-4).2 0
-5 0 0 (-5).1 (-5).(-2) (-5).2
1 -2 2 0 0
Rõ ràng mình thực hiện phép chia đúng.Giờ chỉ cần giải phương trình: z2 – 2z + 2 = 0 Mode 5 2. Ta có thêm 2 nghiệm 1 + i, 1 – i
Ví dụ tự giải : Giải phương trình : z4 + z3 + 2z2 + 4z – 8 = 0 biết nó có 1 nghiệm là 2i.
Đ/S : 1 ; -2 ; 2i ; -2i