1.3 Bài toán dao độ ng
1.3.2 Các bài toán dao độ ng
Các các bài toán dao động cơ bản sau:
+ Dao động hệ một bậc tự do.
+ Dao động hệ có n bậc tự do.
+ Dao động hệ có vô hạn bậc tự do.
a. Dao động hệ một bậc tự do
Phương trình vi phân dao động ngang tổng quát của hệ một bậc tự do ta có:
M&y&(t) + Cy&(t) + Ky(t) = P(t) (1.99) Phương trình (1.99) là phương trình vi phân dao động tổng quát của hệ đàn hồi tuyến tính một bậc tự do chịu lực cản nhớt tuyến tính. Trong đó, C là hệ số cản có thứ nguyên là [ lực x thời gian/ chiều dài ]; K là độ cứng của hệ, là giá trị lực đặt tĩnh tại khối lượng làm cho khối lượng dịch chuyển một lượng bằng đơn vị, vầ có thứ nguyên là [ Lực / chiều dài ].
Phương trình (1.99) cũng có thểđược thiết lập dựa vào biểu thức chuyển vị. Thật vậy, nếu ta ký hiệu δ là chuyển động đơn vị theo phương chuyển động tại nơi đặt khối lượng – còn gọi là độ mềm của hệ một bậc tự do – thì dịch chuyển y(t) của khối lượng tại thời điểm t do tất cả các lực tác dụng trên hệ gây ra, theo nguyên lý cộng tác dụng là:
y(t) = δ P(t) - δ M&y&(t) - δ Cy&(t) (1.100) Hay M&y&(t) + Cy&(t) + Ky(t) = P(t) (1.101) trong đó K =δ1 Được gọi là độ cứng của hệ.
Giải phương trình vi phân (1.99) sẽ xác định được phương trình chuyển động, vận tốc và gia tốc của khối lượng. Bài toán một bậc tự do trên được giải với các trường hợp sau:
+ Dao động tự do không có lực cản.
+ Dao động tự do có lực cản.
+ Dao động tự do có lực kích thích.
b. Dao động hệ một bậc tự do
- Dao động tự do không có lực cản
Đây là trường hợp lý tưởng hóa, vì trong thực tế lực cản luôn tồn tại.
Phương trình vi phân dao động lúc này có dạng đơn giản cho C và P(t) trong (1.99) bằng không).
My&&(t) + Ky(t) = 0 (1.102) Hay là y&&(t) + ω2y(t) = 0 (1.103) trong đó ω2 =
M
K = δ
M
1 = δ
G g =
t
y M
g
)
(
Giải phương trình vi phân (1.102) ta có : y(t) = Asin(ωt + β) trong đó A = 02 ( 0)2
ω
y + v
Và β = arctg
ω
0 0
v
y
(trong đó tại thời điểm tại thời điểm bắt đầu dao động (t=0), giả sử hệ có chuyển vị ban đầu y0 và vận tốc ban đầu v0).
Điều này có nghĩa là dao động của hệ một bậc tự do, khi không có lực cản là dao động điều hòa.
- Dao động tự do có lực cản
Khi coi lực cản tỷ lệ với vận tốc, phương trình vi phân dao động tự do tổng quát có dạng:
My&&(t) + Cy&(t) + Ky(t) = 0 (1.104)
Hay y&&(t) + 2α y&(t) +ω2y(t) = 0 (1.105) Phương trình (1.105) có nghiệm tổng quát là:
y(t) = e-αt [A1e( α2−ω2)t+A2e−( α2−ω2)t] (1.106) Chuyển động của khối lượng, theo (1.99), phụ thuộc vào hệ số α.
- Dao động cưỡng bức chịu lức kích thích điều hòa P(t) =P0 sinrt
Phương trình vi phân tổng quát trong trường hợp này, theo (1.99) sẽ là:
M&y&(t) + Cy&(t) + Ky(t) = P0 sinrt (1.107)
Hay &y&(t) + 2α y&(t) +ω2y(t) =
M P0
sinrt (1.108) trong đó P0 và r lần lượt là biên độ và tần số của lực kích thích; Còn αvà ω nhưđã ký hiệu trước đây. Đây là PTVP bậc hai tuyến tính chuẩn có vế phải là một hàm điều hòa. Nghiệm tổng quát của (1.108) bằng nghiệm tổng quát của PTVP thuần nhất ký hiệu là y0(t), cộng với một nghiệm riêng ký hiệu y1(t).
y(t) = y0(t) + y1(t) (1.109) c. Dao động của hệ có nhiều bậc tự do:
Phương trình vi phân dao động ngang tổng quát của hệ có n bậc tự do, cản nhớt tuyến tính, dưới dạng ma trận sau:
[M]{..y(t)}+ [C]{y. (t)}+ [K]{y(t)}= {P (t)} (1.110) trong đó:
[M] là ma trận khối lượng, là ma trận đường chéo.
[C] là ma trận cản.
[K] là ma trận cứng.
{y(t)}; {y. (t)}; {..y(t)}, lần lượt là các véc tơ chuyển vị, véc tơ vận tốc và véc tơ gia tốc chuyển động của hệ, mà các phần tử của nó lần lượt là chuyển vị, vận tốc và gia tốc chuyển động của các khối lượng.
P(t) là véc tơ ngoại lực động, có các phần tử là các ngoại lực tác dụng tại các khối lượng.
Đây là phương trình vi phân bậc hai tuyến tính chuẩn có vế phải là một hàm điều hòa. Nghiệm tổng quát (1.110) bằng nghiệm tổng quát của phương trình vi phân thuần nhất ký hiêu y0(t), cộng với một nghiệm riêng ký hiệu là y1(t).
y(t) = y0(t) + y1(t) (1.111) trong đó:
Nghiệm tổng quát y0(t) tương ứng với trường hợp hệ dao động tự do, y1(t) là một nghiệm riêng của phương trình (1.110)
- Dao động tự do của hệ n bậc tự do
Khi nghiên cứu dao động của hệ một bậc tự do ta thấy rằn khi cản bé, tần số riêng ω1≈ω. Bởi vậy, đối với hệ nhiều bậc tự do, ta quan tâm chủ yếu tới trường hợp giả thiết không có lực cản.
Phương trình vi phân dao động tự do lúc này có dạng đơn giản:
[M]{y..(t)}+ [K]{y(t)}= 0 (1.112) Giả thiết dao động tự do là dao động điều hòa nên dao động tự do không có lực cản của khối lượng thứ k có dạng:
yk(t) = Aksin(ωt+λ) (1.113) Và gia tốc có dạng;
&y&k(t) = -ω2Aksin(ωt+λ) (1.114) trong đó :
Ak là biên độ dao động của khối lượng thứ k.
ω và λ lần lượt là tần số và góc lệch pha của dao động.
Thay (1.113) và (1.114) vào (1.112) rồi khai triển với (k = 1, 2, …., n) và đặt sin(ωt+λ) làm thừa số chung ta được:
([M]{ -ω2A}+ [K] {A})sin(ωt+λ) = {0} (1.115) Do phải tồn tại dao động sin(ωt+λt)≠0 nên:
([M]{ -ω2A}+ [K] {A})= ([M]{ -ω2}+ [K] ){A}={0} (1.116) trong đó:
{A} = [A1, A2, A1,…, An]T là véc tơ cột chứa các biên độ dao động của các khối lượng thứ nhất, thứ 2,…, thứ n và được gọi là véc tơ biên độ dao động tự do của hệ. Do phải tồn tại dao động, nghĩa là {A}≠ 0. Từđó suy ra định thức:
D = [K]−[M]ω2 = {0} (1.117) Hay ở dạng khai triển:
D=
) (
....
....
....
....
....
....
) (
....
) (
2 2
1
21 2
2 22 21
1 12
2 1 11
ω ω
ω
n nn n
n
n
M k k
k
k M
k k
k k
M k
−
−
−
= {0}. (1.118)
(1.117) là phương trình bậc n đối với ω2. Do [K] và [M] là các ma trận đối xứng và xác định dương, nên giải (1.117) ta sẽ xác định được n nghiệm thực và dương:ω21, ω22,…,ω2n; cũng có ý nghĩa là ta có n tần số dao động riêng với quy ước và ký hiệu ω1 < ω2<…. <ωn; ( các giá trị âm của phép khai căn không có ý nghĩa vật lý nên bỏ đi). Phương trình (1.117) được gọi là phương trình tần số ( hay còn gọi là phương trình thế kỷ). Tần số riêng bé nhất ω1 gọi là tân số cơ bản và có vai trò quan trọng trong tính toán kết cấu khi chịu tải trọng động động.
- Dao động cưỡng bức của hệ nhiều bậc tự do không lực cản chịu lực kích thích điều hòa P(t) = P0sinrt.
+) Biểu thức nội lực động và chuyển vịđộng
Xét hệ nhiều bậc tư do chiu tác dụng của các lực kích thích điều hòa cùng tần số. Trong thực tế luôn tồn tại lực cản dù rất nhỏ thì sau khoảng thời gian nào đó, dao động tự do sẽ mất dần đi. Dao động của hệ lúc này hoàn toàn phụ thuộc lực kích thích điều hòa, nên nội lực ứng suất,v.v…cũng thay đổi điều hòa cùng chu kỳ lực kích thích.
Khi hệ có n bậc tự do sẽ có n tần số dao động riêng. Khi một trong số các tần số dao riêng xấp xỉ bằng tần số lực kích thích sẽ xuất hiện hiện tượng cộng hưởng. Thực tế tần số lực kích thích thường nhỏ hơn nhiều so với tần số dao động riêng (r<<ωi), nên cộng hưởng thường xảy ra với ω1 hoặc ω2. Bởi vậy, để nghiên cứu cộng hưởng, ta thường quann tâm tới hai tần số nhỏ nhất này. Các tần số riêng là nghiệm của phương trình tần số (1.117).
Để phục vụ kiểm tra và bài toán thiết thiết kế, ta phải biết biểu đồ nội lực động và chuyển vịđộng.
Khi dao động đã ổn định (phần dao động tự do đã mất), hệ dao động do tác dụng của các lực sau:
Các lực kích thích điều hòa P(t)=P0sinrt đặt tại các khối lượng.
Các lực quán tính biến đổi điều hòa cùng tần số với tần số lực kích thích đặt tại các khối lượng:
Zi(t)=Zisinrt (1.119) (i = 1,2,…,n)
Khi đó đại lượng nghiên cứu S(có thể là nội lực, chuyển vị, phản lực,v.v…) tại tiết diện K nào đó trên hệđược tính theo nguyên tắc cộng tác dụng như sau:
Sk(t)=SKP(t) + SK1Z1(t) + SK2Z1(t) + ….+ SKnZn(t) (1.120) Vì dao động đã ổn định nên các đại lượng nghiên cứu đều biến đổi điều hòa theo cùng một tần số với lực kích thích. Do vậy, khi tải trọng đạt biên độ thì các đại lượng nghiên cứu cùng biên độ nghĩa là:
Sk=SP0K+ SK1Z1 + SK2Z2 + ….+ SKnZn (1.121)
trong đó:
SP0K là trí số của Sk do biên độ dao động P0 đặt tĩnh gây ra và được xác định bằng các phương pháp được trình bày trong giáo trình cơ kết cấu.
SKi là giá trị Sk do lực quán tính Zi=1 đặt tĩnh gây ra (i=1,2,…,n).
Zi là biên độ của lực quán tính Zi (t).
Như vậy, để xác định được Sk ta phải xác định được biên độ lực quán tính Zi.
+) Xác định biên độ của lực quán tính
Khi bỏ qua lực cản, phương trình chuyển động của khối lượng thứ i theo nguyên lý cộng tác dụng có dạng:
yi(t) = δi1Z1(t)+ δi2Z2(t)+….+δinZn(t)+ ∆iP(t)= 0 (1.122) trong đó:
)
iP(t
∆ là chuyển vị khối lượng thứ i do các lực động P(t) gây ra.
Sau khi dao động đã ổn định, cả yi(t), Zi(t), và ∆iP(t)đều biến đổi điều hòa với tần số r của lực kích thích. Nghĩa là:
y(t) = ∆isinrt (1.123) ∆iP(t) = ∆iP0 sinrt
Và
&y&(t) =-r2∆isinrt (1.124) trong đó:
∆i là biên độ chuyển vị của khối lượng thứ i ta đang tính
∆iP là chuyển vị của khối lượng thứ i do biên độ P0 của lực động P(t) đặt tĩnh gây ra.
Mặt khác lực quán tính:
Zi(t)= -Mi&y&(t) (1.125) Thay (1.123) vào (1.125) ta được:
Z(t)=Mir2 ∆isinrt=Mi r2yi(t) (1.126)
Hay rút ra:
yi= 2
1
1 r
M Zi(t) (1.127) Thay (1.119), (1.123) và (1.127) vào (1.122) rồi chuyển vế và đặt sinrt làm thừa số chung ta được:
[ δi1Z1+ δi2Z2+….( M1r2
i ii −
δ )Zi+δinZn+ ∆iP ]sinrt= 0 (1.128) Vì sinrt≠0( do tồn tại dao động) nên từ (1.128) ta rút ra được hệ phương trình dùng để xác định biên độ lực quán tính, khi hệ chịu tác dụng của các lực kích thích điều hòa mà không có lực cản như sau:
[ δi1Z1+ δi2Z2+….(δii*)Zi+δinZn+ ∆iP ] = 0 (1.129) (i = 1,2,…,n)
trong đó ta đã ký hiệu:
δii* =( 1 2
r Mi
ii −
δ ) (1.130) (i = 1,2,…,n)
Giải bài toán (1.129) ta được biên độ của các lực quán tính. Nếu kết quả dương, thì chiều giả thiết ban đầu của lực là đúng. Nếu kết quả tính là âm , thì chiều giả thiết là sai phải đổi ngược lại. Đặt các lực quán tính và các lực kích thích theo đúng chiều và có trị số bằng biên độ của chúng ta sẽ xác định được đại lượng cần tìm bằng lý thuyết tĩnh học và được trình bày trong giáo trình cơ kết cấu.
Đối với bài toán dao động kết cấu trạm bơm được xét đến trong luận văn của tác giả , đơn giản hóa trong mức độ gần đúng cho phép, ta có coi sơđồ trạm bơm như kết cấu tấm đặt trên nền đàn hồi.
d. Dao động ngang của thanh thẳng có vô hạn bậc tự do
Phương trình vi phân tổng quát dao động ngang của thanh thẳng:
- Phương trình vi phân dao động ngang tổng quát của thanh thẳng của tiết diện thay đổi.
2
2
∂z
∂
∂
∂ ( , ) )
( 2
2
t z z y z
EJ + m(z) 2
2
∂t
∂ y(z,t)+R(z,t)=-q(z,t) (1.131)
- Phương trình vi phân dao động ngang tổng quát của thanh thẳng của tiết diện không đổi.
2
2
∂z
∂
∂
∂2 ( , )
2
t z z y
EJ + m 2
2
∂t
∂ y(z,t)+R(z,t)=-q(z,t) (1.132) trong đó:
Xét thanh thẳng được đặt trong hệ toạn độ (yz).
m(z) : Cường độ khối lượng phân bố. q(z,t): ngoại lực kích thích.
y(z,t): Phương trình đường đàn hồi.
p(z,t): Tổng trải trọng ngang tác dụng lên thanh thẳng.
R(z,t): lực cản phân bố ngược chiều chuyển động.
+ Dao động tự do không có lực cản của thanh thẳng tiết diện không đổi Phương trình vi phân dao động tự do không lực cản
4
4
∂z
∂ y(z,t)+ 2
2
t EJ
m
∂
∂ y(z) = 0 (1.133)
Đây là phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp bốn thuần nhất, nghiệm của nó có thể biểu diễn dưới dạng như sau:
y(z,t) = y(z) x s(t) (1.134) Thay (1.134) vào (1.133) ta có:
( ) ( )
4 4
t dz S
z y d m
EJ + () ( )
2 2
z dt y
t S
d = 0 (1.135) Hay chuyển vếđược
( ) ( )
4 4
t dz S
z y d m
EJ = -
) ( 1 t
S ( ) ( )
2 2
z dt y
t S
d (1.136) Hai vế của (1.136) phụ thuộc hai biến khác nhau nên chúng chỉ bằng nhau khi cả hai vế có giá trị bằng một hằng số nào đó. Giả sử ký hiệu làω2. Như vậy, từ (1.136) ta có thể biểu diễn phương trình vi phân cấp bốn (1.136) bằng phương trình vi phân thường chỉ phụ thuộc vào một biến.
2
2 () dt
t S
d + ω2S(t) =0 (1.137) và 4
4 ( ) dz
z y
d +
m
EJ ω2y(z) =0 (1.138) Nhờđó, thay cho phương trình vi phân đạo hàm riêng (1.133) phức tạp, ta giải phương trình vi phân thường đơn giản hơn nhiều.
Giải (1.138), ta xác định được quy luật dao động tự do.
S(t) = A sin(ωt+λ) (1.139) Hay S(t) = sin(ωt+λ) (1.140) Ởđây ta đã cho A = 1. Từ kết quả trên ta thấy dao động tự do của hệ vô hạn bậc tự do là dao động điều hòa.
Giải (1.138), ta xác định được quy luật dao động tự do. Nghiệm của (1.138) là hàm y(z) sẽ cho ta biên độ , cũng chính là dạng dao động riêng của hệ. Do thanh có tiết diện không đổi, nên (1.138) là phương trình vi phân thường cấp bốn có hệ số là hằng số; Nghiệm tổng quát có dạng:
y(z) = α1eβ1Z + α2eβ2Z+ α3eβ3Z+ α4eβ4Z (1.141) trong đó: α1,α2,α3,α4 là các hằng số tích phân, còn β1, β2, β3, β4là nghiệm đặc trưng của phương trình vi phân (1.138) như sau:
4 0
4−k =
β , với ký hiệu 4 ω2
EJ
k = m (1.142) Nên ta có: β1,2= ±k; β3,4= ±ik (1.143)
+ Dao động cưỡng bức không có lực cản của thanh thẳng tiết diện không đổi.
- Trường hợp lực kích thích phân bố bất kì q(z,t)
Xét trường hợp tải trọng một thông số, nghĩa là có thể biểu diễn tải trọng như sau:
q(z,t) = q(z)f(t) (1.144) trong đó:
q(z) chỉ phụ thuộc tọa độ không gian z, biểu diễn quy luật biến đổi của tải trọng theo chiều dài thanh, được gọi là hàm tải trọng cơ sở.
f(t) chỉ phụ thuộc thời gian t, được gọi là hàm chất tải, lúc này ,phương trình vi phân dao động bỏ qua lực cản sẽ là:
2 2
∂z
∂
∂
∂ ( , ) )
( 2
2
t z z y z
EJ + m(z) 2
2
∂t
∂ y(z,t)+R(z,t)=-q(z)f(t) (1.145)
Biểu diễn nghiệm của phương trình vi phân (1.145) dưới dạng tách biến y(z,t)=y(z)S(t) và cũng như khi nghiên cứu dao động tự do, nếu ta tích phân biên độ theo các dạng dao động riêng thì:
y(z,t) = ∑∞
=1
) ( ) (
i
i z S t
y (1.146)
Sau khi giải phương trình (1.145) ta được nghiệm của phương trình:
y(z,t) =∑∞ ∫
=
−
1
1
0
) ( sin ) ( )
(
i
i i
i
i K f t d
z
y τ ω τ τ
ω (1.147)
trong đó:
Ki =
∫ [ ]
∫
1
0
2 1
0
) ( ) (
) ( ) (
dz z y z m
dz z y z q
i i
(1.148)
Khi dạng dao động chuẩn thì:
Ki = q(z)yi(z)dz
1
0
∫ *
Si(t) = ∫1 −
0
) ( sin )
(τ ω τ τ
ωK f t d
i i
i (1.149)
(i=1,2,…∞)
Có được y(z,t) ta có thể xác định được các đại lượng nghiên cứu khác như góc xoay, mô men uốn, lực cắt, bằng cách đạo hàm y(z,t) theo biến z.
Trường hợp lực kích thích phân bố theo quy luật điều hòa q(z,t)=q0sinrt Nếu ở thời điểm ban đầu hệđứng yên, nghĩa là, y0 = v0=0, đây là trường hợp riêng của (1.147), trong đó chỉ thay hàm f(τ ) bằng sinrt. Còn
Ki=
∫ [ ]
∫
1
0
2 1
0 0
) ( ) (
) (
dz z y z m
dz z y q
i i
. Trường hợp này thì lực kích thích điều hòa, thì dao động
của hệ khi đã ổn định cũng thay đổi điều hòa với chu kỳ bằng chu kỳ của lực kích thích. Nghĩa là,
y(z,t) = y(z)sinrt (1.148)
Thay (1.148) và đạo hàm bậc hai của nó vào phương trình vi phân
(1.131), rồi chia hai vế cho EJ sinrt, bỏ qua lực cản ta có phương trình vi phân sau,
EJ z q
y k z dz y
d 4 0
4 4
) ( )
( − =− (1.149)
trong đó ký hiệu K4 =
EJ mr2
(1.150) Nghiệm riêng của (1.149) là (
EJ k
q
4
0 ); Nên nghiệm tổng quát (1.149) là:
y(z) =C1Akz+C2Bkz+C3Ckz+ C4Dkz+
EJ k
q
4
0 (1.151) Ta xác định được:
C1 =y0-
EJ k
q
4
0 ; C2 =
k y0
; C3=-
EJ k
M
2
0 ; C4=-
EJ k
q
3