4.2 Hình thành kĩ năng giải toán trồng cây
4.2.4 Giúp HS vận dụng giải các bài toán nâng cao về dãy số
Các bài toán về dãy số có nhiều phương pháp giải khác nhau.Song việc áp dụng toán trồng cây vào giải các bài toán này giúp các em có phương pháp tính toán nhanh, ít nhầm lẫn và lời giải ngắn gọn dễ diễn đạt vì các em có công thức chung về toán trồng cây để tính.
VD 1. Có bao nhiêu số có 3 chữ số chia cho 3 dư 1?
Để giải bài toán này GV giúp HS quy về toán trồng cây như sau:
Đầu tiên GV gợi ý HS xác định dãy số có 3 chữ số chia cho 3 dư 1 là : 100;
103; 106; 109...; 901; 904; 907.Đặc điểm của dãy số này là dãy số cách dều 3 đơn vị. Do đó ta coi khoảng cách 3 đơn vị là khoảng cách trồng cây, các số chia cho 3 dư 1 chính là cây trồng, khoảng cách từ số hạng đầu đến số hạng cuối là đoạn đường trồng cây. Vậy đây là dạng trồng cây ở hai đầu đường đều có cây.
Bài giải.
Dãy số có 3 chữ số chia cho 3 dư 1 là :
100; 103; 106; 109...; 901; 904; 907.
Nhận xét: Dãy số trên là dãy số cách đều 3 đơn vị, số hạng đầu là 100, số hạng cuối là 907.
Số số hạng của dãy là: ( 907 – 102 ) : 3 +1 = 270 ( số hạng) Vậy có 270 số có 3 chữ số chia cho 3 dư 1.
Đây là bài toán đơn giản nhất áp dụng toán trồng cây để tìm số số hạng trong một dãy số cách đều.Sau khi HS làm quen dạng này giáo viên cho HS làm các bài phức tạp hơn.
VD 2 : ( Đề thi Violimpic lớp 5 năm học 2016 – 2017 ) Tính tổng của tất cả các số có 3 chữ số chia cho 5 dư 3.
Tổng đó là...
Đối với bài này không đơn giản chỉ giải toán trồng cây mà còn giải nó bằng tính tổng của dãy số cách đều. Nhưng việc áp dụng giải toán trồng cây để tìm ra số số hạng là một khâu hết sức quan trọng.
Bài giải.
Dãy số có 3 chữ số chia cho 5 dư 3 là:
103; 108;113; 118;...993; 998
Nhận xét: dãy số trên là dãy số cách đều 5 đơn vị, số hạng đầu là 103, số hạng cuối là 998.
Số số hạng của dãy là:
(998 – 103) : 5 + 1 = 180 ( số hạng)
Tổng các số có 3 chữ số chi cho 5 dư 3 là:
( 998 + 103 ) x 180 : 2 = 99090
Đáp số : 99090
VD 3. ( Đề thi Violimpic lớp 5 năm học 2016 – 2017 )
Để đánh số trang của một cuốn sách người ta dùng 300 chữ số.Hỏi cuốn sách đó có bao nhiêu trang ?
Đối với bài này nội dung đã nâng cao hơn VD2. Đòi hỏi HS ngoài việc áp dụng toán trồng cây để tìm số số hạng( số trang) học sinh còn phải vận dụng nhiều hiểu biết khác mới có thể giải được.GV giúp HS chia khoảng các số hạng ( một chữ số ,2 chữ số, 3 chữ số ) để tính.
Bài giải.
Vì cuốn sách đó có 300 trang nên số trang chỉ có thể có đến 3 chữ số.
Số trang có 1 chữ số là: ( 9- 1):1 + 1 = 9 ( trang) Số trang có 2 chữ số là: ( 99 -10 ) :1 + 1 = 90 (trang) Tính đến hết số trang có 2 chữ số thì số chữ số phải viết là.
9 x 1 + 90 x 2 = 189 ( chữ số)
Đánh các trang có 3 chữ số cuốn sách đó dùng số chữ số là:
300 – 189 = 111 ( chữ số) Số trang có 3 chữ số là:
111: 3 = 37 ( Trang) Cuốn sách có số trang là:
99 + 37 = 136 ( trang)
Đáp số: 136 trang.
VD 4: ( Đề thi Violimpic lớp 5 năm học 2016 – 2017 )
Tìm số thứ 100 của dãy số sau. 4; 8;12;16...
Bài toán trên có khác là không yêu cầu tìm số số hạng mà yêu cầu tìm một số hạng có số thứ tự cụ thể trong dãy. Tuy nhiên việc giải bài này HS vẫn vận dụng toán trồng cây là chủ yếu.GV giúp HS hiểu để tìm ra số hạng thứ 100 của dãy thì phải tìm ra hiệu giữa số hạng thứ 100 và số hạng đầu ( Chính là đoạn đường trồng cây từ cây thứ nhất ( số hạng đầu ) đến đến cây thứ 100 ( số hạng thứ 100)).
Bài giải.
Nhận xét: Dãy số trên là dãy số cách đều 4 đơn vị.Số hạng đầu là 4.
Từ số hạng đầu đến số hạng thứ 100 có số khoảng cách là:
100 – 1 = 99 ( khoảng cách) Số hạng thứ 100 là:
4 + 99 x 4 = 400
Đáp số : 400
VD 5. ( Đề thi Violimpic lớp 5 năm học 2016 – 2017 )
Cho dãy số ... 92, 96, 100.Tìm số hạng thứ 10 của dãy.Biết dãy số có 25 số hạng.
Cũng như VD 4 bài toán nàycho biết “cây” có STT cuối ,yêu cầu tìm “cây” có số thứ tự cụ khác. Muốn giải được bài toán này, HS cần tìm được “đoạn đường”
trồng cây từ “ cây” đó đến “cây”cuối ( hiệu giữa số hạng thứ 10 và số hạng cuối).Bài toán này thuộc dạng trồng cây 2 đầu đường đều có cây.
Bài giải.
Nhận xét: Dãy số trên là dãy số cách đều 4 đơn vị. Số hạng thứ 25 là 100.
Kể từ số hạng thứ 10 đến hết số hạng 25 có số số hạng là:
25 – 9 = 16 ( số hạng)
Hiệu số giữa số hạng 10 và 25 là:
(16 – 1) x 4 = 60.
Số hạng thứ 10 của dãy là.
100 – 60 = 40 Đáp số : 40
VD 6.: Cho dãy số tự nhiên liên tiếp: 1, 2, 3, 4, 5,..., x.
Tìm x biết dãy số có 1989 chữ số.
Bài toán này cho biết đặc điểm, quy luật của dãy , cho biết số hạng đầu ,không cho biết số hạng cuối yêu cầu của bài tìm số số hạng của dãy.Để gải bài này ta vẫn áp dụng toán trồng cây là chủ yếu.
Bài giải.
Số số tự nhiên có 1 chữ số là ( 9 - 1): 1 + 1 = 9 (số )
Số số tự nhiên có 2 chữ số là:
( 99 - 10 ) : 1 + 1 = 90 ( số) Số số tự nhiên có 3 chữ số là.
(999 – 100) : 1 + 1= 900 ( số )
Tính đến hết các số có 2 chữ số thì số chữ số phải viết là 9 x 1 + 90 x 2 = 189 ( chữ số)
Tính đến hết các số có 3 chữ số thì số chữ số phải viết là:
189 + 900 x 3 = 2889 ( chữ số) > 1989 ( chữ số) Vậy số cuối cùng của dãy là số có 3 chữ số.
Tính từ chữ số 1 ở số 100 đến chữ số cuối cùng của dãy có số chữ số là.
1989 – 189 = 1800 ( chữ số) Số hạng x của dãy là.
99 + 1800 : 3 = 699.
Đáp số: 699.
VD 7. ( Đề thi Violimpic lớp 5 năm học 2016 – 2017 )
Cho dãy số 10,11,12,13,...x. Tìm x để số chữ số gấp 4 lần số hạng trong dãy.
Bài toán này tương đối khó đối với HS bởi ngoài việc áp dụng toán trồng cây, học sinh cần phải tư duy tốt và phải sử dụng tổng hợp các loại kiến thức khác như trung bình cộng, cấu tạo số v.v...GV nên hướng dẫn HS từng bước nhỏ như sau : Bước 1. Cho HS hiểu được vì số chữ số gấp 4 lần số số hạng nên trung bình mỗi số hạng có 4 chữ số.Như vậy sẽ xảy ra việc bù chữ số ở số có nhiều hơn 4 chữ số sang số có ít hơn 4 chữ số. Suy ra x phải là số có 5 chữ số trở lên.
Bước 2.Cho HS tính số số hạng có 2 chữ số, có 3 chữ số của dãy.
Tính số chữ số cần bù vào số có 2 chữ số và 3 chữ số để bằng mức trung bình ( 4 chữ số).
Bước 3.Tính số số hạng có 5 chữ số của dãy.
Bước 4.Tìm x
Bài giải.
Vì số chữ số của đãy gấp 4 lần số số hạng nên trung bình mỗi số hạng có 4 chữ số.
Số số hạng có 2 chữ số của dãy là.
( 99 – 10 ) :1 +1 = 90 ( số )
Số số hạng có 3 chữ số của dãy là.
( 999 – 100 ) : 1 + 1 = 900 ( số)
Số chữ số cần bù vào các số hạng có 2 và 3 chữ số để bằng mức trung bình là.
90 x ( 4 – 2) + 900 x ( 4 – 3) = 1080 ( chữ số) Số số hạng có 5 chữ số của dãy là.
1080 : ( 5 – 4 ) = 1080 ( số) Số hạng x là:
9999 + 1080 = 11079.
Đáp số: 11079.