Thuật toán 2.2 sẽ cho nghiệmZj phức nếu có tham số phức mặc dùZJZTJ vẫn là thực nếu các cặp tham số phức là liên hợp. Bằng cách thay đổi ma trậnQi, Ritương ứng với các cặp số phức{pi, pi}như sau
Qi := A2−σiA+τiI−1
, Ri := A2 +σiA+τiI , σi = 2Re{−pi}, τi =|pi|2,
ta có thể đảm bảo được các kết quả trong dãy lặp là thực.
Chương 3
Ví dụ số
Trong chương này, ta sẽ xét một vài ví dụ. Các ví dụ này được lấy từ dự án SLICOT [5]. Đây là tập hợp các mô hình hệ điều khiển được sử dụng phổ biến để kiểm tra phương pháp số trong lý thuyết điều khiển và hệ thống. Chúng tôi không đi sâu quá chi tiết các mô hình vì người đọc có thể tìm hiểu trong [5]. Trong các ví dụ, ta xét phương trình Lyapunov
AX +XAT =−BBT.
Để đánh giá sai số, ta sử dụng thặng dư chuẩn hóa. Nó được định nghĩa như sau:
R =
AX +XAT +BBT F
kBBTkF ,
trong đók.kF là tiêu chuẩn Frobenius của ma trận được định nghĩa như sau kAk=
n
X
i,j=1
a2ij
!2
.
Ta sẽ kiểm tra hai phương pháp dựa trên phân tích Schur và phương pháp CF - ADI.
3.1 Mô hình phương trình truyền nhiệt
Dữ liệu của mô hình này được lấy từ việc rời rạc hóa một mô hình truyền nhiệt ma trậnA ∈R200×200, B ∈ R200. Đây là các ma trận thưa. Để chạy cho phương pháp dựa trên phân tích Schur, ta phải chuyển về ma trận đặc. Ngoài ra đối với phương pháp này, ta không có tham số nào cần điều chỉnh. Trong khi đó đối với phương pháp CF-ADI có một số tham số đầu vào có thể thay đổi:
i) Số bước lặp lớn nhất: maxit.
ii) Tiêu chuẩn dừng đối với thặng dư chuẩn hóa: tol.
Đối với thông tin đầu ra ta quan tâm đến
i) Tốc độ hội tụ: Đây là thông tin ghi lại thặng dư chuẩn hóa qua các bước lặp.
ii) Thời gian tính toán.
iii) Sai số cuối cùng.
Thử nghiệm 1:
Đặt tol= 10−8, maxit = 50. Khi đó tốc độ hội tụ được biểu thị qua hình 3.1.
Đối với tiêu chuẩn dừng tol= 10−8, phương pháp cần lặp 24 bước, khi thời gian tính toán là0,0156giây và cuối cùng là 1,339.10−10 thặng dư chuẩn hóa.
Trong khi đó, phương pháp dựa trên phân tích Schur có thặng dư chuẩn hóa là 7,3572.10−14 và cần0,0625giây để tính.
Như vậy mặc dù có thặng dư lớn hơn so với phương pháp phân tích Schur, nhưng thời gian tính toán là ưu điểm vượt trội của CF-ADI.
Thử nghiệm 2:
Đặt tol= 10−14, maxit= 50. Đối với tiêu chuẩn dừng tol = 10−18, phương pháp cần lặp 34 bước, khi thời gian tính toán là0,0313giây và cuối cùng là7,6397.10−15 thặng dư chuẩn hóa.
Trong khi đó, phương pháp dựa trên phân tích Schur có thặng dư chuẩn hóa là 7,3572.10−14 và cần0,0625giây để tính.
Hình 3.1: Sự hội tụ của phương pháp CF-ADI cho mô hình truyền nhiệt
3.2 Mô hình FOM
Ta lấy từ mô hình FOM hai ma trậnAvàB vớiA ∈R1006×1006, B ∈ R1006. Đây là các ma trận thưa và vì thế rất phù hợp cho phương pháp CF-ADI.
Thử nghiệm 1:
Chọn maxit= 100, tol = 10−8. Khi đó tốc độ hội tụ được biểu thị qua hình 3.2 Đối với tiêu chuẩn dừng tol = 10−8, phương pháp cần lặp 57bước, khi thời gian tính toán là0,0313giây và thặng dư chuẩn hóa cuối cùng là8,7126.10−9.
Trong khi đó, phương pháp dựa trên phân tích Schur có thặng dư chuẩn hóa là 7,3354.10−17 và cần13,6563giây để tính.
Như vậy mặc dù có thặng dư lớn hơn so với phương pháp phân tích Schur, nhưng thời gian tính toán là ưu điểm vượt trội của CF-ADI.
Thử nghiệm 2:
Hình 3.2: Sự hội tụ của phương pháp CF-ADI cho mô hình FOM
Đặt maxit= 100, tol= 10−18. Khi đó CF-ADI cần 30 bước lặp, cần 0,0625 giây để tính và thặng dư chuẩn hóa là5,8709.10−20.
Trong khi đó, phương pháp dựa trên phân tích Schur có thặng dư chuẩn hóa là 7,3354.10−17 và cần13,6563giây để tính.
Như vậy, kể cả trong trường hợp thặng dư tự dừng CF-ADI vẫn cần ít thời gian hơn.
Kết luận
Trong thực tế động lực chính để giải phương trình Lyapunov xuất phát từ lí thuyết điều khiển và mô phỏng hệ động lực tuyến tính. Thông thường, trước khi chế tạo một thiết bị, người ta phải thiết kế sơ bộ. Sau đó người ta cần mô phỏng nó trên máy tính; dựa vào kết quả mô phỏng, người ta mới tinh chỉnh các tham số vật lí để thu được một thiết kế hoàn chỉnh trước khi chế tạo. Để mô phỏng một hệ, trong rất nhiều trường hợp, người ta cần giải các phương trình vi phân thường, hoặc phương trình vi phân đạo hàm riêng mô tả các quy luật vật lí, hóa học, ... của hệ đó. Nói chung người ta cần phải làm việc với một hệ không phụ thuộc thời gian, tuyến tính. Việc tìm nghiệm của phương trình Lyapunov có ý nghĩa quan trọng trong xác định tính chất và mô phỏng hệ một cách hiệu quả.
Do những nhu cầu đó, đã có nhiều phương pháp giải phương trình Lyapunov đã được tìm ra. Đầu tiên, phải kể đến phương pháp trực tiếp dựa trên phân tích Schur của Bartels - Stewart. Tuy nhiên phương pháp này rất đắt vì nó dựa trên phân tích Schur vốn có độ phức tạp O n3 và đòi hỏiO n2 cho bộ nhớ. Một phương pháp nữa là đưa về phương trình hệ tuyến tính nhưng cũng có độ phức tạpO n6
. Trong khi đó, những vấn đề thực tiễn, nhất là trong tính toán, thử nghiệm, nghiên cứu sản phẩm đòi hỏi cách giải phải nhanh và "rẻ". Nhu cầu này đòi hỏi phải có cách khắc phục nhược điểm của những phương pháp cổ điển. Đó là phương pháp luân phương ẩn (ADI và CF-ADI). Bản luận văn đã giới thiệu, trình bày nêu bật tính ưu việt của phương pháp luân phương ẩn.
Việc nghiên cứu giải phương trình Lyapunov là vấn đề thú vị nhưng vô cùng sâu rộng, đòi hỏi phải có thời gian nghiên cứu, tìm tòi. Vì vậy trong khoảng thời gian nghiên cứu làm luận văn không thể tránh khỏi những thiếu xót. Tôi rất mong nhận
được những đóng góp quý báu từ các thầy, cô giáo và các anh chị em đồng nghiệp.
Xin chân thành cảm ơn!