CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1.2. Một số tính chất phi cổ điển bậc cao của các
1.2.1. Tính chất phản kết chùm bậc cao
Tiêu chuẩn về tính phản kết chùm bậc cao lần đầu tiên được giới thiệu bởi Lee [78], [79] và phát triển hơn nữa bởi một số tác giả khác [54], [122]. Rất nhiều tiêu chuẩn đã được áp dụng để dò tìm và đo cấp độ tính chất phản kết chùm bậc cao trong một số trạng thái phi cổ điển và trong các hệ vật lý [15], [16], [39], [51], [71], [79], [116], [117], [118],
[123]. Một số sơ đồ thực nghiệm rất tốt để xác định phép đo tính chất phản kết chùm bậc cao đã được đề xuất trong thời gian gần đây [7], [8], [20].
Phép đo cấp độ tính chất phản kết chùm bậc cao đơn mode được định nghĩa trong [79] và được áp dụng để khảo sát một số trạng thái phi cổ điển [16], [54]. Theo Lee, tiêu chuẩn để tồn tại tính chất phản kết chùm bậc cao đơn mode được định nghĩa bằng hệ số phản kết chùm đơn mode Ax(l, m) và thỏa mãn bất đẳng thức có dạng
Ax(l, m) ≡ hnˆ(l+1)x ihˆn(m−1)x i
hnˆ(l)x ihˆn(m)x i −1< 0, (1.49) trong đó toán tử số hạt nˆx = ˆx†x,ˆ hnˆ(i)x i = hn(ˆˆ n−1)...(ˆn−i+ 1)i và h...i là ký hiệu trung bình lượng tử. Các số nguyên l và m thỏa mãn điều kiện l ≥ m ≥ 1. Hệ số phản kết chùm đơn mode thông thường tương ứng với l = m = 1. Để đơn giản, chúng ta xét trường hợp l ≥ m = 1, từ đó phương trình (1.49) rút gọn thành
Ax(l) ≡ hnˆ(l+1)x i
hnˆ(l)x ihˆnxi −1< 0 (1.50) hoặc
hˆn(l+1)x i < hˆn(l)x ihˆnxi. (1.51) Ý nghĩa vật lý của phương trình (1.51) cho thấy một trạng thái có tính chất phản kết chùm ở bậc thứ l thì hiển nhiên có tính chất phản kết chùm ở bậc thứ (l−1). Do đó, phương trình (1.51) khai triển được như sau:
hˆn(l+1)x i < hˆn(l)x ihˆnxi < hˆn(l−1)x ihˆnxi2 < hˆn(l−2)x ihˆnxi3 < ... < hnˆxi(l+1), (1.52) và điều kiện để một trạng thái có tính chất phản kết chùm bậc thứ l là g(l) = hˆn(l+1)x i − hˆnxi(l+1) < 0. (1.53)
Trường hợp g(l) = 0 thì trạng thái có tính chất kết hợp bậc cao đơn mode và g(l) > 0 thì trạng thái có tính chất kết chùm bậc cao đơn mode. Bất đẳng thức (1.52) thể hiện xác suất dò tìm được một xung photon đơn lẻ lớn hơn xác suất dò tìm được một xung hai photon kết chùm và càng lớn hơn xác suất phát hiện được một xung ba photon kết chùm và cứ tiếp tục như thế.
Phép đo cấp độ tính chất phản kết chùm bậc cao hai mode được định nghĩa bởi Lee [78]. Theo Lee, tiêu chuẩn để tồn tại tính chất phản kết chùm bậc cao hai mode được định nghĩa bằng hệ số phản kết chùm hai mode Aa,b(l, m) và thỏa mãn bất đẳng thức có dạng
Aa,b(l, m) ≡ hnˆ(l+1)a nˆ(m−1)b i+hˆn(m−1)a nˆ(l+1)b i
hˆn(l)a nˆ(m)b i+hˆn(m)a nˆ(l)b i −1< 0, (1.54) trong đó toán tử số nˆx = ˆx†x,ˆ với xˆ = ˆa,(ˆb). Xét trường hợp l ≥ m = 1, ta có phương trình (1.54) rút gọn thành
Aa,b(l) ≡ hnˆ(l+1)a i+hˆn(l+1)b i
hˆn(l)a nˆbi+hnˆanˆ(l)b i −1< 0. (1.55) Hệ số phản kết chùm hai mode Aa,b(l) càng âm thì cấp độ phản kết chùm càng lớn, nếu Aa,b(l) không âm thì trạng thái đang khảo sát không có tính chất phản kết chùm hai mode.
1.2.2. Tính chất nén bậc cao hai mode
Hai loại nén bậc cao đơn mode lần đầu tiên được giới thiệu bởi Hillery [59] và Hong-Mandel [71]. Các tiêu chuẩn nén bậc cao này được phát triển hơn nữa trong một số trạng thái lượng tử và các hệ lượng tử [11], [40], [104], [117], [118], [122]. Mở rộng cho trường hợp nén bậc cao hai mode đã được giới thiệu bởi An [16]. Cho hai mode bất kỳ a và b,
nén bậc cao hai mode liên quan đến toán tử Qˆab(N, ϕ) và có dạng Qˆab(N, ϕ) = 1
2√
2((ˆa† + ˆb†)Neiϕ + (ˆa+ ˆb)Ne−iϕ), (1.56) trong đó ϕ là pha xác định hướng nén trong không gian phức. Theo [16], một trạng thái gọi là nén bậc N hai mode nếu
Sab(N, ϕ) =h(∆ ˆQab(N, ϕ))2i − 1
8hFˆab(N)i < 0, (1.57) trong đó h(∆ ˆQab(N, ϕ))2i = h( ˆQab(N, ϕ))2i − hQˆab(N, ϕ)i2, Sab(N, ϕ) được gọi là tham số nén và
Fˆab(N) = (ˆa+ ˆb)N(ˆa† + ˆb†)N −(ˆa†+ ˆb†)N(ˆa+ ˆb)N. (1.58) Sau đó theo các phương trình (1.56)−(1.58), tham số nén Sab(N, ϕ) được biểu diễn dưới dạng
Sab(N, ϕ) = 1
4{<[h(ˆa+ ˆb)2Nie2iϕ]+h(ˆa†+ˆb†)N(ˆa+ ˆb)Ni −2<2[h(ˆa+ ˆb)Neiϕi]}, (1.59) trong đó <[x] là phần thực của số phức x. Trường hợp N = 1 và ϕ = kπ ta thu được nén hai mode thông thường đã được giới thiệu bởi Loudon và Knight [90]. Nén bậc cao hai mode tương ứng với N > 1.
1.2.3. Tính chất nén tổng hai mode
Nén tổng là một đặc tính đa mode của một trạng thái phi cổ điển [39], [60]. Nén tổng được hiểu đơn giản là hiện tượng hai photon ở hai mode a và b có tần số lần lượt là ωa và ωb, kết hợp lại thành một photon ở mode c có tần số tổng là ωc = ωa + ωb. Cho hai mode a và b bất kỳ, nén tổng hai mode liên quan đến toán tử biên độ hai mode Vˆϕ có dạng
Vˆϕ = 1 2
eiϕˆa†ˆb†+ e−iϕˆaˆb
, (1.60)
trong đó ϕ là góc hợp bởi Vˆϕ và trục thực của mặt phẳng phức. Một trạng thái được gọi là nén tổng hai mode theo phương được xác định bởi góc ϕ nếu thỏa mãn bất đẳng thức
h(∆ ˆVϕ)2i < 1
4h(ˆna + ˆnb + 1)i, (1.61) trong đó h(∆ ˆVϕ)2i = hVˆϕ2i − hVˆϕi2, nˆa = ˆa†ˆa và nˆb = ˆb†ˆb. Từ bất đẳng thức (1.61), ta có thể định nghĩa tham số nén tổng hai mode S bằng cách đặt
S = 4h(∆ ˆVϕ)2i − hˆna+ ˆnb + 1i
hˆna+ ˆnb + 1i , (1.62) và cũng từ bất đẳng thức (1.61) với cách đặt ở phương trình (1.62) thì điều kiện để một trạng thái có tính chất nén tổng hai mode khi
−1≤ S <0. Giá trị S = −1 là cấp độ nén tổng hai mode cực đại.
1.2.4. Tính chất nén hiệu hai mode
Nén hiệu cũng là quá trình nén đa mode của một trạng thái phi cổ điển đã được giới thiệu trong [39], [60]. Nén hiệu cũng được hiểu đơn giản là hiện tượng hai photon ở hai mode a và b có tần số lần lượt là ωa và ωb (ωa < ωb), kết hợp lại thành một photon ở mode c có tần số hiệu là ωc = ωb −ωa. Toán tử nén hiệu hai mode Wˆϕ được định nghĩa là
Wˆϕ = 1 2
eiϕˆaˆb†+e−iϕˆa†ˆb
. (1.63)
Một trạng thái được gọi là nén hiệu hai mode theo phương xác định bởi góc ϕ nếu
h(∆ ˆWϕ)2i < 1
4|hnˆa −nˆbi|, (1.64) trong đó h(∆ ˆWϕ)2i = hWˆϕ2i − hWˆϕi2. Từ bất đẳng thức (1.64), ta có thể định nghĩa tham số nén hiệu hai mode D bằng cách đặt
D = 4h(∆ ˆWϕ)2i − |hˆna−nˆbi|
|hˆna−nˆbi| . (1.65)
Do đó, một trạng thái có tính chất nén hiệu hai mode nếu −1≤ D < 0 và cấp độ nén hiệu hai mode đạt cực đại khi D = −1.