Ta muốn tìm một hàm f mà xác định không tường minh một bề mặt M’
và thỏa mãn phương trình
, ,..., 1 ,
0 ) , ,
(x y z i n
f i i i = =
với {(x ,yi,zi}ni=1 là các điểm nằm trên bề mặt. Để tránh trường hợp nghiệm tầm thường mà f là 0 ở mọi nơi, các điểm ngoài bề mặt được bổ sung vào dữ liệu vào và chúng đưa ra các giá trị khác 0. Việc này mang đến một vấn đề nội suy hữu ích hơn: Tìm hàm f như sau:
n i
z y x
f( i, i, i)=0, =1,..., (các điểm trên bề mặt), N
n i d
z y x
f( i, i, i)= i ≠0, = +1,..., (các điểm ngoài bề mặt).
Điều này vẫn mang đến một bài toán tạo ra các điểm ngoài bề mặt
{(x ,yi,zi}iN=1 và giá trị di tương ứng.
Một sự lựa chọn hiển nhiên cho hàm f là một hàm khoảng cách điểm, với giá trị di được chọn là khoảng cách tới điểm gần nhất trên bề mặt. Các điểm bên ngoài đối tượng được gán các giá trị dương, trong khi các điểm bên trong được gán giá trị âm. Theo Turk &O’Brien những điểm ngoài bề mặt được sinh ra bởi phần nhô ra dọc theo các đường pháp tuyến bề mặt.
Các điểm ngoài bề mặt có thể được gán với mỗi mặt của bề mặt như được minh họa trong hình 2.2.
Đẳng mặt f(x) = 0
f(x) > 0
f(x) < 0
Hình 2.2: Một hàm khoảng cách điểm được xây dựng từ dữ liệu bề mặt bằng việc định rõ các điểm ngoài bề mặt dọc theo các đường pháp tuyến bề mặt.
Những điểm này có thể được định rõ ở mỗi phía của bề mặt hoặc không ở phía nào cả.
Hình 2.3. Sự khôi phục của một bàn tay từ đám điểm có và không thông qua các độ dài pháp tuyến
Kinh nghiệm cho thấy rằng tốt hơn hết là bổ sung tại một điểm dữ liệu hai điểm ngoài bề mặt, mỗi điểm nằm trên một phía của bề mặt. Trong hình 2.3 các điểm bề mặt nhận được từ việc quét laser của một bàn tay được biểu thị bằng màu xanh. Các điểm ngoài bề mặt được mã hóa màu theo khoảng cách của chúng xuất phát từ điểm được liên kết trên bề mặt của chúng. Màu nóng (màu đỏ) mô tả các điểm dương nằm ở bên ngoài bề mặt trong khi màu lạnh (xanh) nằm ở bên trong. Có hai bài toán cần giải
Các điểm pháp tuyển ngoài bề mặt
Các điểm trên bề mặt
quyết: xác định các đường pháp tuyến bề mặt và định rõ khoảng cách hình chiếu thích hợp.
Nếu ta có một lưới không hoàn toàn, thì rất đơn giản để định nghĩa các điểm ngoài bề mặt từ đó các đường tiếp tuyến được bao hàm bởi sự liên kết lưới tại mỗi đỉnh. Trong trường hợp điểm dữ liệu tập trung không có trật tự, các đường tiếp tuyến có thể được tính toán từ một vùng lân cận của các điểm. Việc này cầu xác định cả phương pháp tuyến và định rõ hướng của pháp tuyến. Chúng ta xấp xỉ cục bộ điểm dữ liệu tập trung với một mặt phẳng để tính toán phương pháp tuyến và sử dụng tính tương thích và/hoặc thông tin bổ sung như vị trí máy quét để quyết định hướng của pháp tuyến.
Thông thường, rất khó để dự đoán chắc chắn các pháp tuyến ở khắp nơi.
Tuy nhiên, không giống như các phương pháp khác mà cũng dựa trên việc tạo thành một hàm khoảng cách điểm, nó không quyết định để dự đoán các đường pháp tuyến ở mọi nơi. Nếu phương pháp tuyến hoặc hướng là không xác định tại một điểm đặc biệt thì chúng ta không đặt một pháp tuyến tại điểm đó. Thay vào đó, chúng ta cho phép thực tế điểm dữ liệu là một điểm 0 (nằm trên bề mặt) ràng buộc vào hàm trong vùng đó.
Đưa ra một tập hợp các pháp tuyến bề mặt, phải thận trọng khi đưa ra các điểm ngoài bề mặt dọc theo các pháp tuyến để đảm bảo rằng chúng không cắt các phần khác của bề mặt. Điểm chiếu là được vẽ ra do đó điểm bề mặt gần nhất là điểm bề mặt sinh ra nó. Miễn là điều kiện ràng buộc này thỏa mãn, bề mặt được xây dựng lại là tương đối không nhạy với khoảng cách hình chiếu. Hình 2.3(c) minh họa cho tác động của các điểm ngoài bề mặt nhô ra các khoảng không thích hợp dọc theo các đường pháp tuyến. Các điểm ngoài bề mặt đã lựa chọn nằm cách một khoảng cố định tính từ bề mặt. Bề mặt kết quả, với f bằng 0 bị biến dạng trong vùng lân cận của các ngón tay ở chỗ mà các véc tơ pháp tuyến đối lập đã cắt nhau
và đã sinh ra các điểm ngoài bề mặt với giá trị khoảng cách tới bề mặt không đúng, cả về điểm và độ lớn. Trong hình 2.3(a) và (b) giá trị của các khoảng cách ngoài bề mặt và hình chiếu động đã đảm bảo rằng các điểm ngoài bề mặt sinh ra một miền khoảng cách nhất quán với dữ liệu bề mặt.
Hình 2.4 là một mặt cắt qua các ngón tay của bàn tay. Hình ảnh minh họa cách hàm RBF xấp xỉ một hàm khoảng cách gần giống bề mặt của đối tượng. Các đẳng đường tại +1, 0 và -1 ở phần trên của hình và hình dáng hàm tương ứng bên dưới, minh họa việc làm thế nào các điểm ngoài bề mặt sinh ra một hàm với một đại lượng chênh lệch gần bằng 1 gần bề mặt.
Hình 2.4: Mặt cắt qua các ngón tay của một bàn tay được khôi phục từ tập điểm tập trung trong hình 2.3. Đẳng đường tương ứng với +1, 0 và -1 được hiển thị (trên đỉnh) cùng với một mặt cắt nghiêng của hàm cơ cở bán kính (bên dưới) dọc theo đường thẳng xuất hiện.