1.5. LUẬT HỢP THÀNH MỜ
1.5.2. Mô tả mệnh đề hợp thành mờ
Ánh xạ àA(x0) → àC(y) chỉ ra rằng mệnh đề hợp thành là một tập mà mỗi phần tử là một giá trị (àA(x0), àC(y)), tức là mỗi phần tử là một tập mờ. Mụ tả mệnh đề hợp thành tức là mô tả ánh xạ trên.
Bảng 1.1: bảng mệnh đề logic Trở lại mệnh đề logic kinh điển, giữa mệnh đề hợp thành p⇒q và các mệnh đề điều kiện p, kết luận q có quan hệ như bảng trên. Nói cách khác mệnh đề hợp thành p⇒q sẽ có giá trị của p∨q (trong đó chỉ phép phủ định và ∨ chỉ phép tính logic Hoặc).
Như vậy, mệnh đề hợp thành kinh điển p⇒q là một biểu thức logic có giá trị Rp⇒q thoả mãn:
(1) p=0 ⇒ Rp⇒q = 1
(2) q=1 ⇒ Rp⇒q = 1
(3) p=1 và q=0 ⇒ Rp⇒q = 0 Từ (1) và (3) ta rút ra được:
(4) p1≤p2 ⇒ Rp1⇒q ≥ Rp2⇒q
Tương tự như vậy, từ (2) và (3) ta có:
(5) q1≤q2 ⇒ Rp q⇒1 ≤ Rp q⇒ 2
Các tính chất trên tạo thành bộ “tiên đề” cho việc xác định giá trị logic của mệnh hợp thành kinh điển. Bây giờ ta xét đến mệnh đề hợp thành mờ, tức là mệnh đề có cấu trúc:
p q p⇒q
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1
Nếu α = A thì β = B. (1.18a) Hay:
àA(x) → àB(y), với àA, àB ∈ [0, 1] (1.18b) Trong đú àA(x) là hàm thuộc của tập mờ đầu vào A định nghĩa trờn tập nền X và àB(y) là hàm thuộc của B định nghĩa trờn Y.
Định nghĩa 1.6.2.1: Suy diễn đơn thuần:
Giá trị của mệnh đề hợp thành mờ (1.18) là một tập mờ định nghĩa trên nền Y (không gian nền của B) và có hàm thuộc:
àA⇒B(y): Y → [0, 1]
thoả mãn:
(1) àA⇒B(y) chỉ phụ thuộc vào àA(x) và àB(y).
(2) àA(x) = 0 ⇒ àA⇒B(y) = 1.
(3) àB(y) = 1 ⇒ àA⇒B(y) = 1.
(4) àA(x) = 1 và àA(y) = 0 ⇒ àA⇒B(y) = 0.
(5) àA1( )x ≤àA2( )x ⇒ àA1⇒B( )y ≥ àA2⇒B( )y . (6) àB1( )x ≤àB2( )x ⇒ àA B⇒ 1( )y ≤ àA B⇒ 2( )y .
Như vậy, bất cứ một hàm àA⇒B(y) nào thoả món những tớnh chất trờn đều cú thể được sử dụng làm hàm thuộc cho tập mờ C, là kết quả của mệnh đề hợp thành (1.18). Các hàm thuộc cho mệnh đề hợp thành mờ A⇒B thường hay dùng trong kỹ thuật điều khiển mờ bao gồm:
(1) àA⇒B(x, y) = max{min{àA(x), àB(y)}, 1-àA(x)} cụng thức Zadeh.
(2) àA⇒B(x, y) = min{1, 1-àA(x)+àB(y)} cụng thức Lukasiewizc.
(3) àA⇒B(x, y) = max{1-àA(x), àB(y)} cụng thức Kleene–
Dienes.
Do mệnh đề hợp thành kinh điển p⇒q luôn có giá trị đúng (giá trị logic 1) khi p sai nên sự chuyển đổi tương đương mệnh đề hợp thành p⇒q kinh điển sang mệnh đề hợp thành mờ A⇒B như định lý suy diễn (1.6.2.1) ở trên sẽ sinh ra một nghịch lý khi ứng dụng trong điều khiển. Có thể thấy nghịch lý đó ở chỗ là: mặc dù mệnh đề điều kiện:
α = A
khụng được thoả món (cú độ phụ thuộc bằng 0, àA(x)=0) nhưng mệnh đề kết luận:
β = B
lại cú độ thoả món cao nhất (àB(y)=1). Điều này dẫn tới mõu thuẫn.
Đã có nhiều ý kiến được đề nghị nhằm khắc phục mâu thuẫn này của định lý suy diễn, trong đó nguyên tắc Mamdani:
“Độ phụ thuộc của kết luận không được lớn hơn độ phụ thuộc của điều kiện”.
là có tính thuyết phục hơn cả và hiện đang được sử dụng nhiều nhất để mô tả mệnh đề hợp thành mờ trong điều khiển.
Biểu diễn nguyên tắc Mandani dưới dạng công thức, ta được:
àA(x) ≥ àA⇒B(y)
Do hàm àA⇒B(y) của tập mờ kết quả B’=A⇒B chỉ phụ thuộc vào àA(x) và àB(y) và cũng như đó thực hiện với phộp hợp, giao, … hai tập mờ, ta sẽ coi àA⇒B(y) như là một hàm hai biến àA và àB, tức là:
àA⇒B(y) = à(àA, àB)
thì định nghĩa giả định (1.6.2.1) với sự sửa đổi lại theo nguyên tắc Mandani sẽ được phát biểu như sau:
Định nghĩa 1.6.2.2: Phép suy diễn mờ (suy luận xấp xỉ):
Giá trị của mệnh đề hợp thành mờ (1.18) là một tập mờ B’ định nghĩa trên tập nền Y (không gian nền của B) và có hàm thuộc:
à(àA, àB): [0, 1]2 → [0, 1]
thoả mãn:
(1) àA ≥ à(àA, àB) với mọi àA, àB ∈ [0, 1].
(2) à(àA, 0) = 0 với mọi àA, ∈ [0, 1].
(3) àA1 ≤ àA2 ⇒ à à à( A1, B)≤à à à( A2, B). (4) àB1 ≤ àB2 ⇒ à à à( A, B1)≤à à à( A, B2).
Từ nguyên tắc của Mandani và định nghĩa trên, chúng ta có được công thức xác định hàm thuộc cho mệnh đề hợp thành B’=A⇒B. Một trong số chúng là:
(1) à(àA, àB) = min{àA, àB} (1.19)
(2) à(àA, àB) = àAàB (1.20)
Hai công thức trên thường được sử dụng nhiều nhất trong kỹ thuật điều khiển mờ để mô tả mệnh đề hợp thành A⇒B. Chúng có tên gọi là quy tắc hợp thành.
Quy tắc hợp thành MIN
Giá trị mệnh đề hợp thành mờ (1.16) là một tập mờ B’ định nghĩa trên tập nền Y (không gian nền của B) và có hàm thuộc:
àB’(y) = min{àA, àB(y)} (1.21)
Quy tắc hợp thành PROD
Giá trị mệnh đề hợp thành mờ (1.29) là một tập mờ B’ định nghĩa trên tập nền Y (không gian nền của B) và có hàm thuộc:
àB’(y) = àAàB(y) (1.22)
Cụng thức trờn cho thấy tập mờ kết quả của quy tắc hợp thành àB’(y) được định nghĩa trờn tập nền B và àB’(y) chỉ được xỏc định khi đó biết cụ thể một giỏ trị àA, tức là àB’(y) phụ thuộc vào giỏ trị rừ x0 ở đầu vào.
Giả sử rằng biến ngôn ngữ α chỉ nhiệt độ của một lò sấy và β chỉ sự tác động bộ nguồn điện làm thay đổi điện áp cung cấp cho thiết bị gia nhiệt. Luật điều khiển cho lò sấy làm việc ổn định tại giá trị trung bình sẽ tương đương với mệnh đề hợp thành mờ một điều kiện đầu vào:
Nếu α = thấp THÌ β = tăng
với àthấp(x), àtăng(y) và kết quả của mệnh đề hợp thành trờn khi sử dụng quy tắc MIN cho một giá trị rõ x0 đầu vào sẽ là một tập mờ B’ có tập nền cùng với tập nền của àtăng(y) và hàm thuộc àB’(y) là phần dưới của hàm àtăng(y) bị cắt bởi đường H=àthấp(x0). như hỡnh vẽ dưới. Hỡnh vẽ cũng thể hiện hàm thuộc của B’ cho mệnh đề trên được xác định với quy tắc PROD.
Hỡnh 1.3 : a. Hàm thuộc àthấp(x) và àtăng(y) Hỡnh 1.3 b. àB’(y) xỏc định theo quy tắc hợp thành MIN Hỡnh 1.3 c. àB’(y) xỏc định theo quy tắc hợp thành PROD
Như vậy ta có hai quy tắc hợp thành xác định giá trị mờ B’ của mệnh đề hợp thành. Nếu hàm thuộc àB’(y) của B’ thu được theo quy tắc MIN thỡ mệnh đề hợp thành cú tờn gọi là mệnh đề hợp thành MIN. Cũng như vậy nếu àB’(y) được xỏc định theo quy tắc PROD thì mệnh đề hợp thành sẽ được gọi là mệnh đề hợp thành PROD.
Ký hiệu giá trị mờ đầu ra là B’ ứng với một giá trị rõ x0 tại đầu vào thì hàm thuộc B’ với quy tắc hợp thành MIN sẽ là:
àB’(y) = min{àA(x0), àB(y)}
Gọi:
H = àA(x0) (1.23)
là độ thoả mãn mệnh đề điều kiện hay ngắn gọn hơn là độ thoả mãn thì
àB’(y) = min{H, àB(y)} (1.24)
Với quy tắc hợp thành PROD, hàm thuộc của B’ sẽ là:
x à
0 x
0
àthấp(x)
y à
0
àtăng(y) a
x à
0 x0
àthấp(x)
y à
0
àtăng(y)
H b
àB’(y)
x à
0 x0
àthấp(x)
y à
0
àtăng(y)
H c
àB’(y)
àB’(y) = àA(x0)àB(y) = H.àB(y)
Trong trường hợp tớn hiệu đầu và A’ là một giỏ trị mờ với hàm thuộc àA’(x), đầu ra B’ cũng là một giỏ trị mờ cú hàm thuộc àB’(y) là phần dưới của hàm àB(y) bị chặn trờn bởi độ cao H được xác định theo nguyên tắc “tình huống xấu nhất” như sau:
H = maxxmin{àA’(x), àA(x)} (xem hỡnh vẽ dưới)