Ước tính bức xạ tại một bề mặt

2.3 Tính toán bức xạ từ các bản đồ Photon

2.3.1 Ước tính bức xạ tại một bề mặt

Phần thứ hai của thuật toán photon mapping là giai đoạn sinh ảnh. Đó là trong giai đoạn này thuật toán photon mapping sử dụng Monte Carlo ray tracing để theo dõi các tia từ người quan sát vào cảnh. Các bản đồ photon được tạo ra trước đó là tham chiếu cho các thông tin thống kê về sự chiếu sáng trong cảnh. Bản đồ đại diện cho dòng photon đến, với mỗi photon chỉ mang một phần nhỏ năng lượng của nguồn sáng. Một photon va đập trong một khu vực chi ra rằng khu vực này nhận được một số ánh sáng từ nguồn sáng, nhưng những photon đơn giản không chỉ ra được có bao nhiêu ánh sáng mà khu vực này nhận được. Các bức xạ đối với khu vực chỉ có thể được ước tính từ mật độ photon, dφ/dA. Ước tính bức xạ được xác định bằng tổng hợp các photon gần nhất được tìm thấy và phân chia chúng theo diện tích của vòng tròn, mà chúng được tìm thấy.

Lập luận trên cũng có thể được chứng minh toán học từ phương trình dựng hình như sau:

, ' ' . ) ' , ( ) ,' , ( )

,

( r i x i

r x f x L x n d

L

x

ω ω ω

ω ω

ω  ∫     

Ω

= (2.1)

Lr là bức xạ được phản chiếu tại x trong hướng ω, Ωx là bán cầu của hướng đến, nx là tiêu chuẩn bề mặt tại x, ƒr là BRDF tại x, và Li là bức xạ đến.

Kể từ khi bản đồ photon cung cấp thông tin về các thông lượng đến, các bức xạ đến, Li, cần phải được viết lại và biểu diễn về thông lượng. Điều này có thể được thực hiện bằng cách sử dụng các dẫn xuất để tạo ra phương trình sau:

i i i

i

i d dA

x x d

L cos '

) ' , ) (

' , (

2

ω θ

ω ω 

 = Φ (2.2)

Phương trình này bây giờ có thể viết lại tách rời như sau:

i x

i i i r i

r n d

dA d

x x d

f x

L

x

' ' ' .

cos

) ' , ) (

,' , ( )

, (

2 ω ω

ω θ ω ω

ω

ω   





 = ∫ Φ

Ω

(2.3)

i i

r dA

x x d

f

x

) ' , ) (

,' , (

2 ω

ω

ω   Φ 

= ∫

Ω

Các thông lượng Φi là xấp xỉ đến từ các bản đồ photon bằng cách định vị photon n có gần nhất để x. Mỗi photon p có khả năng p(ωp)

∆Φ , như vậy bằng cách giả định rằng photon và mặt phẳng giao nhau tại x, sau đó tách rời trong phương trình (2.3) xấp xỉ với tóm tắt thể hiện trong phương trình (2.4).

A x x

f x

L n p p p

p r

r ∆

≈ ∑ ∆Φ

=

) , ) (

, , ( )

, (

1

ω ω ω ω

 



 (2.4)

Thủ tục cũng giống như mở rộng phạm vi một khoảng x cho đến khi nó chứa photon n, sau đó sử dụng các photon để ước tính bức xạ. Phương trình có ∆A liên quan đến mật độ của photon khoảng x .

Bằng cách giả sử một bề mặt phẳng cục bộ xung quanh x, khu vực này có thể được tính như sau:

r2

A = π

∆ (2.5)

Đó là khu vực dự kiến của mặt cầu lên bề mặt (Hình 2.5) với bán kính r tương đương với khoảng cách từ điểm x đến các photon xa nhất của các bộ n photon gần nhất. Kết quả cuối cùng là một phương trình được sử dụng để tính toán bức xạ phản xạ tại bất kỳ vị trí bề mặt bằng cách sử dụng bản đồ photon:

) , ( ) , , 1 (

) , (

1

2 p p

N p

r

r f x x

x r

L ω ω ω

ω  ≈ π ∑   ∆Φ 

=

(2.6) Hình 2.5: Tính bức xạ phản xạ (Jensen, 2001)

Điều đó đã lí giải rõ ràng lý do tại sao cấu trúc bản đồ photon có thể nhanh chóng xác định vị trí những điểm lân cận gần nhất đến bất kỳ điểm nào trong các cảnh. Đồng thời trong thời gian đó cần duy trì nén chặt các photon từ ý định là cho nó để lưu trữ hàng triệu hạt photon. Điều này ngay lập tức các quy tắc trong việc sử dụng các cấu trúc đơn giản như danh sách, vectơ hoặc các mảng đa chiều, từ tìm kiếm những điểm lân cận gần nhất thông qua cấu trúc như vậy là quá tốn kém. Ba kích thước cấu trúc lưới điện là không thực tế vì sự phân bố của các photon rất không đồng đều đặc biệt là khi mô phỏng hiệu ứng quan trọng như tụ quang tập trung ánh sáng trong các lĩnh vực cụ thể của cảnh.

Ước tính này dựa trên rất nhiều giả định và độ chính xác phụ thuộc vào số lượng các photon được sử dụng trong các bản đồ photon và trong công thức. Khi một mặt cầu được sử dụng để xác định vị trí các photon một cách dễ dàng có thể bao gồm các photon sai trong dự toán nói riêng trong góc và cạnh bén của đối tượng. Góc cạnh và cũng gây ra ước tính diện tích là sai.

Kích thước của các vùng, trong đó các lỗi này xảy ra phụ thuộc chủ yếu vào số lượng các photon trong bản đồ photon và trong dự toán. Theo nhiều

photon được sử dụng trong dự toán và trong bản đồ photon, công thức (2.6) trở nên chính xác hơn. Nếu chúng ta bỏ qua lỗi do độ chính xác giới hạn của các đại diện của các vị trí, hướng và thông lượng, sau đó có thể đi đến giới hạn và tăng số lượng các photon đến vô cùng.

Hình 2.6: Sử dụng hình cầu (trái) và hình đĩa (bên phải) xác định vị trí các photon Điều này cho kết quả thú vị trong đó N là số hạt photon trong bản đồ photon:

[ ] ( , , ) ( , ) ( , ) lim 1

2 1 ω ω ω ω

π

α    

x L x

x

r f p p r

N p

N ∑ r ∆Φ =

∞ =

→ (2.7)

α ∈ [0 , 1]

Công thức này áp dụng cho tất cả các điểm x nằm cục bộ trên một phần của một bề mặt phẳng của BRDF, không chứa các hàm Diracdelta (điều này loại trừ sự phản chiếu phản xạ hoàn hảo). Các nguyên tắc trong phương trình (2.7) là không chỉ một số lượng vô hạn của các photon được sử dụng để đại diện cho thông lượng trong mô hình, nhưng một số lượng vô hạn của các photon cũng sẽ được sử dụng để ước tính bức xạ và các photon trong ước tính sẽ được đặt trong một mặt cầu cực nhỏ. Các mức độ khác nhau của vô hạn được kiểm soát bởi giới hạn Nα , trong đó α∈[0, 1]. Điều này đảm bảo rằng số lượng của các photon trong ước lượng sẽ ít hơn rất nhiều số lượng của các photon trong bản đồ photon.

Phương trình (2.7) có nghĩa là chúng ta có thể ước lượng được bức xạ tốt bằng cách chỉ sử dụng vừa đủ photon. Dựa trên cách tiếp cận trong phần tử hữu hạn sẽ phức tạp hơn, để có được độ chính xác tùy ý kể cả khi có lỗi phải phụ thuộc vào độ phân giải của lưới, việc giải quyết các hướng của bức xạ và độ chính xác của mô phỏng ánh sáng.

Hình (2.5) cho thấy cách định vị các photon gần nhất là tương tự như một hình cầu mở rộng khoảng x và sử dụng các photon trong mặt cầu này. Có thể sử dụng nhiều thể tích hình cầu trong quá trình này. Có thể sử dụng một

khối lập phương thay vào đó, một hình trụ hoặc có thể là hình đĩa. Cả hai điều này có thể có ích cho một thuật toán đó là xác định nhanh hơn vị trí các photon gần nhất hoặc có lẽ chính xác hơn trong việc lựa chọn của các photon.

Nếu một thể tích khác nhau được sử dụng ∆A trong phương trình (2.4) nên được thay thế bằng diện tích giao điểm giữa thể tích và mặt phẳng tiếp xúc chạm vào bề mặt tại x, mặt cầu có lợi thế rõ ràng là vùng dự kiến và rất đơn giản tính toán khoảng cách và có hiệu quả. Một thể tích chính xác hơn có thể thu được bằng cách sửa đổi các hình cầu thành một hình đĩa (ellipsoid) bằng cách nén các hình cầu theo hướng bề mặt thông thường tại x (thể hiện trong hình 2.6). Lợi thế của việc sử dụng hình đĩa sẽ có ít "photon sai" được sử dụng trong ước lượng ở các cạnh và góc. Việc sửa đổi này hoạt động khá tốt ở các cạnh trong một căn phòng, ví dụ, vì nó ngăn chặn các photon trên các bức tường để lọt xuống sàn nhà. Một vấn đề vẫn còn xảy ra, tuy nhiên, là ước tính diện tích có thể là sai hoặc photon có thể bị lọt vào khu vực không thuộc . Vấn đề này được xử lý chủ yếu của việc sử dụng các bộ lọc.