Bữợc (i). Tẳm nghiằm ngo i (kẵ hiằu l Yo(x)) Thá biºu thực
y(x) = yo(x) +εy1(x) +ε2y2(x) +...
v o phữỡng trẳnh vi phƠn ban Ưu. Sau õ cƠn bơng hằ số cừa ε0 ta
ữủc mởt phữỡng trẳnh vi phƠn cừa y0, giÊi phữỡng trẳnh kát hủp vợi mởt iãu kiằn biản n o õ ta s³ tẳm ữủc y0(x). õ chẵnh l nghiằm ngo i cƯn tẳm.
Quay trð lÔi vẵ dử 2.3.4 ta giÊ sỷ lợp biản l tÔi x0 = 0 thẳ khi õ nghiằm ngo i l Yo(x) = 1−x.
Bữợc (ii). Tẳm nghiằm trong ho°c nghiằm lợp biản (kẵ hiằu l Yi(ξ) t¤i iºm x0)
Khõa luên tốt nghiằp Ôi hồc PHềNG THÀ HìèNG
Trong bữợc n y, chúng ta phÊi sỷ dửng ph²p bián ời cũng vợi iãu kiằn biản mợi. Hỡn nỳa, sỷ dửng tẵnh nhĐt quĂn º tẳm ra giĂ trà cừa α. iãu n y ữủc hiºu l ta tẳm α bơng cĂch ữa phữỡng trẳnh nhiạu ký dà trð th nh mởt phữỡng trẳnh nhiạu thữớng.
BƠy giớ chúng ta xem x²t mởt vẵ dử tữỡng tỹ vẵ dử trữợc õ º hiºu vã khĂi niằm n y
Bði vẳ iºm biản ữủc lĐy l x = 0, ta xem x²t bián ời ξ = x
εα. Do â d
dx = dξ dx
d
dξ = 1 εα
d dξ v
d2
dx2 = 1 ξ2α
d2 dξ2 Thá v o phữỡng trẳnh (2.17), ta ữủc
ε1−2αd2y
dξ2 −ε−αdy
dξ = 1, y(ξ = 0) = 0
Tứ phữỡng trẳnh n y, chúng ta thĐy rơng bơng cĂch cho phữỡng trẳnh bơng 0 thẳ α ch¿ cõ thº nhên giĂ trà 1
2 ho°c 1.
Những ch¿ cõ α = 1 mợi l m cho phữỡng trẳnh nhiạu. Cuối cũng, tẳm nghiằm trong Yi(ξ) chẵnh l hằ số cừa ε0 trong phữỡng trẳnh  cho
ữủc thu ữủc bơng cĂch thay thá
y(ξ) =y0(ξ) +εy1(ξ) +ε2y2(ξ) + ...
v o nâ.
Bữợc (iii). Kÿ thuêt kát hủp
Tứ hai bữợc trữợc, ta  tẳm ữủc hai nghiằm khĂc nhau, m mội
nghiằm cõ giĂ trà trong cĂc phƯn khĂc nhau cừa khoÊng ữủc mổ tÊ
bði hai iºm biản. Tứ õ, º tẳm mởt nghiằm cõ giĂ trà trong khoÊng nguyản, chúng ta bưt buởc phÊi sỷ dửng iãu kiằn phũ hủp.
Tực l , nghiằm lợp biản (nghiằm trong) v nghiằm ngo i phÊi ữủc chĐp nhên ho°c phũ hủp, cho vẵ dử
x→xlim0Yo(x) = lim
ξ→∞Yi(ξ) Ð â, lim
x→0Yo(x) = 1 trong khi lim
ξ→∞Yi(ξ) = C(1−eξ). Tứ õ ta khổng thº tẳm ữủc C thọa mÂn iãu kiằn phũ hủp. do õ ta cõ thº kát luên l khổng cõ lợp biản tÔi x = 0. iãu n y cụng cõ thº quan sĂt ð Hẳnh 2.
Bữợc (iv). Mð rởng gh²p
Náu Ơy l mởt lợp biản tÔi x = x0 , ta tiáp tửc tẳm nghiằm cõ giĂ trà trong khoÊng nguyản. Nõ ữủc cho bði
ycomp(x) = Yo(x) +Yi(ξ)−M atch Ð â
M atch = lim
ξ→∞Yi(ξ) = lim
x→x0Yo(x)
H m ycomp(x) ữủc gồi l mð rởng gh²p, v dÔng nghiằm cừa nõ ữủc cho bði b i toĂn giĂ trà biản.
Vẵ dử 2.4.1. GiÊi b i toĂn biản
ε2y00 −y = −1, y(0) = 0, y(1) = 1 (2.18) Líi gi£i
Khõa luên tốt nghiằp Ôi hồc PHềNG THÀ HìèNG
Nghiằm chẵnh xĂc cừa phữỡng trẳnh l
y(x) = 1−e
−x ε + e
x ε + e
2 eε e
2 ε −1
Chú ỵ rơng vợi nhỳng b i toĂn khõ hỡn, ta khổng tẳm ữủc nghiằm chẵnh xĂc. é Ơy chúng ta sỷ dửng nghiằm chẵnh xĂc n y º kiºm tra hiằu lỹc cừa phữỡng phĂp.
Ưu tiản ta thá cĂc biºu thực
y(x) = y0(x) +εy1(x) +ε2y2(x) +...
v
y00(x) = y000(x) +εy100(x) +ε2y002(x) +...
v o phữỡng trẳnh (2.18). Sau õ cƠn bơng hằ số cừa ε0 v ε1, ta ữủc ε0 : y0(x) = 1, y0(0) = 0.y0(1) = 1
ε1 : y1(x) = 0, y1(0) = 0, y1(1) = 0 Do õ, chuội nghiằm l
y(x) = y0(x) = 1 (2.19)
é Ơy ta thĐy rơng nghiằm thọa mÂn duy nhĐt mởt iãu kiằn ữa ra bði y(1) = 1 nản ta nõi Ơy l lợp biản gƯn x = 0.
Bði vêy, ta chia miãn cừa x ∈ [0,1] th nh hai phƯn. Mởt phƯn miãn trong ho°c lợp biản xung quanh v mởt miãn ngo i.
Miãn ngo i: Nghiằm ð miãn ngo i l Yo(x) = 1 (phữỡng trẳnh (2.19)) Miãn trong: Trong miãn trong ta chồn mởt bián ởc lêp mợi ξ xĂc ành bði ξ = x
εα. Sau õ thá ξ v o phữỡng trẳnh (2.18), ta ữủc ε1−2αd2y
dξ2 −y = −1, y(ξ = 0) = 0 Sỷ dửng tẵnh nhĐt quĂn, ta cõ α = 1
2 Thá biºu thực
y(ξ) =y0(ξ) +εy1(ξ) +ε2y2(ξ) + ...
v o phữỡng trẳnh trữợc, khi õ nghiằm trong ữủc cho bði d2y0
dξ2 −y0 = −1, y0(0) = 0 GiÊi phữỡng trẳnh n y, ta ữủc
y0(ξ) = C2(−eξ +e−ξ)−eξ + 1 = Yi(ξ) Sỷ dửng kÿ thuêt kát hủp, lim
ξ→∞Yi(ξ) = lim
x→x0
Yo(x) ta ữủc C2 = −1.
Do õ, nghiằm trong l
Yi(ξ) = 1−e−ξ = 1−e
−x ε v
M atch = lim
ξ→∞Yi(ξ) = lim
x→x0
Yo(x) M atch = lim
ξ→∞(1−e−ξ) = lim
x→01 = 1
Khõa luên tốt nghiằp Ôi hồc PHềNG THÀ HìèNG
Do õ, nghiằm gh²p l :
ycomp = Yi(ξ) +Yo(x)−M atch
ycomp = 1−e−ξ + 1−1 = 1−e
−x ε v Ơy l mởt lợp biản tÔi x= 0.
Vẵ dử 2.4.2. GiÊi phữỡng trẳnh
εy00 +y0+ y = 0, y(0) = 0, y(1) = 1 (2.20) Líi gi£i
Thá biºu thực
y(x) = y0(x) + εy1(x) +ε2y2 +...
v o phữỡng trẳnh  cho, ta ữủc
ε(y000+εy001+ε2y200+...) + (y00+εy01+ε2y20 +...) + (y0+εy1+ε2y2+..) = 0 CƠn bơng hằ số cừa ε0 ta cõ
y00 +y0 = 0 suy ra
y0(x) = Ce−x trong õ C l mởt hơng số bĐt ký.
Ró r ng, nghiằm n y khổng thº thọa mÂn cÊ hai iãu kiằn biản cũng
mởt lúc, những ta cõ thº tẳm nghiằm bơng cĂch x²t vợi tứng iãu kiằn mởt. Vẳ cõ hai iãu kiằn biản nản ta s³ tẳm ra hai nghiằm trong õ mởt nghiằm sỷ dửng iãu kiằn y(0) = 0 v mởt nghiằm sỷ dửng iãu kiằn y(1) = 1. Do õ ta x²t hai trữớng hủp sau
Trữớng hủp 1. Náu giÊ sỷ lợp biản tÔi x = 0, nghắa l phữỡng trẳnh khổng thọa mÂn iãu kiằn biản tÔi x = 0 thẳ nghiằm lợp ngo i l
Yo(x) = y0(x) = e1−x Sỷ dửng ph²p bián ời ξ = x
εα
Sau õ thay v o phữỡng trẳnh  cho ta ữủc
ε1−2αY00+ εY0 +Y = 0, Y(0) = 0 Thá
Y(ξ) =Y0(ξ) +εY1(ξ) +ε2Y2(ξ) +...
v o phữỡng trẳnh trản v °t α = 1, ta ữủc
(Y000+εY100+ε2Y200+...)+(Y00+εY10+εY20+...)+ε(Y0+εY1+εY2+...) = 0 CƠn bơng hằ số cừa ε0 ta cõ
Y000 +Y00 = 0 Suy ra
Y0(ξ) = C(1−e−ξ)
Khõa luên tốt nghiằp Ôi hồc PHềNG THÀ HìèNG
Kát hủp
ξ→∞lim Y0(ξ) = lim
x→x0(Y0(x) =y0(x))
ξ→∞lim C(1−e−ξ) = lim
x→0e1−x Suy ra
C = e Thá C = e v o Y0(ξ) ta ữủc
Y0(ξ) = e(1−e−ξ) =e−e1−ξ Nghiằm kát hủp
ξ→∞lim Y0(ξ) = lim
x→x0
y0(x)
ξ→∞lim(e−e1−ξ) = lim
x→0e1−x = e Do â,
ycomp = Y0(x) +Y0(ξ)−M atch
ycomp = e1−x+e−e1−ξ −e ∼ e1−x−e1−ξ = e1−x−e1−
x ε
Ơy chẵnh l số hÔng xĐp x¿ cừa cÊ lợp trong v lợp ngo i cừa nghiằm xĐp x¿ tiằm cên.
Trữớng hủp 2. Náu ta giÊ sỷ lợp ngo i tÔi x = 1 thẳ nghiằm lợp ngo i l
Yo(x) =y0(x) = 0 Ta sỷ dửng pháp bián ời
ξ = x−1 εα
Thá v o phữỡng trẳnh ban Ưu ta ữủc
ε1−2αY00 +εY0 +Y = 0, Y(1) = 1
Tiáp tửc sỷ dửng tẵnh nhĐt quĂn kiºm tra α = 1v l m tữỡng tỹ trữớng hủp 1, ta ữủc
Y0(ξ) =e−ξ +C(1−e1−ξ) trong õ C l hơng số tũy y.
Kát hủp
ξ→∞lim Y0(ξ) = lim
x→x0
(Yo(x) =y0(x))
Ta thĐy iãu n y l khổng thº cho bĐt ký giĂ trà n o cừa C.
Vẳ vêy, Ơy khổng phÊi l lợp biản tÔi x = 1.
Vẵ dử 2.4.3. GiÊi b i toĂn biản
εy00−y0 +y = 0, y(0) = 0, y(1) = 1 (2.21) Líi gi£i
Thá
y(x) = y0(x) + εy1(x) +ε2y2 +...
v o phữỡng trẳnh  cho, ta ữủc
ε(y000+εy001+ε2y200+...)−(y00 +εy10 +ε2y20 +...) + (y0+εy1+ε2y2+..) = 0 CƠn bơng hằ số cừa ε0 ta cõ
−y00 + y0 = 0
Khõa luên tốt nghiằp Ôi hồc PHềNG THÀ HìèNG
suy ra
y0(x) =Cex trong õ C l mởt hơng số bĐt ký.
Ró r ng, nghiằm n y khổng thº thọa mÂn cÊ hai iãu kiằn biản cũng mởt lúc, những ta cõ thº tẳm nghiằm bơng cĂch x²t vợi tứng iãu kiằn mởt. Vẳ cõ hai iãu kiằn biản nản ta s³ tẳm ra hai nghiằm trong õ mởt nghiằm sỷ dửng iãu kiằn y(0) = 0 v mởt nghiằm sỷ dửng iãu kiằn y(1) = 1. Do õ ta x²t hai trữớng hủp sau
Trữớng hủp 1. Náu giÊ sỷ lợp biản tÔi x = 0, nghắa l phữỡng trẳnh khổng thọa mÂn iãu kiằn biản tÔi x = 0 thẳ nghiằm lợp ngo i l
Yo(x) = y0(x) = ex−1 Sỷ dửng ph²p bián ời
ξ = x εα
Sau õ thay v o phữỡng trẳnh  cho ta ữủc
ε1−2αY00 −ε−αY0 +Y = 0 Thá biºu thực
Y(ξ) =Y0(ξ) +εY1(ξ) +ε2Y2(ξ) +...
v o phữỡng trẳnh trản v °t α = 1, ta ữủc
(Y000+εY100+ε2Y200+...)−(Y00+εY10+ε2Y20+...)+ε(Y0+εY1+ε2Y2+...) = 0
CƠn bơng hằ số cừa ε0 ta cõ
Y000 −Y00 = 0 Suy ra
Y0(ξ) = C(eξ −1) trong õ C l hơng số bĐt ký.
Kát hủp
ξ→∞lim Y0(ξ) = lim
x→x0
(Yo(x) =y0(x))
ξ→∞lim C(eξ −1) = lim
x→0ex−1 = e−1
án Ơy ta khổng thº tẳm ữủc mởt giĂ trà n o cừa C thọa mÂn iãu kiằn kát hủp trản. Do õ Ơy khổng l lợp biản tÔi x = 0.
Trữớng hủp 2. Náu ta giÊ sỷ lợp ngo i tÔi x = 1 thẳ nghiằm lợp ngo i l
Yo(x) =y0(x) = 0 Ta sỷ dửng ph²p bián ời
ξ = x−1 εα Thá v o phữỡng trẳnh ban Ưu ta ữủc
ε1−2αY00 −ε−αY0 +Y = 0, Y(1) = 1
Tiáp tửc sỷ dửng tẵnh nhĐt quĂn kiºm tra α = 1v l m tữỡng tỹ trữớng hủp 1, ta ữủc
Y0(ξ) = 1 +C(eξ −1)
Khõa luên tốt nghiằp Ôi hồc PHềNG THÀ HìèNG
trong õ C l hơng số tỹ do.
Kát hủp
ξ→∞lim Y0(ξ) = lim
x→x0(Yo(x) =y0(x))
ξ→∞lim[1 +C(eξ −1)] = 0 suy ra
C = 1 Thá C v o Y0(ξ) ta ữủc
Y0(ξ) = eξ Nghiằm kát hủp
ξ→∞lim Y0(ξ) = lim
x→x0
(Yo(x) =y0(x))
ξ→∞lim eξ = 0 Do â,
ycomp(x) ∼ Y0(ξ) +Yo(x)−M atch Vêy
ycomp(x) ∼ 0 +eξ −0 = eξ = e
x−1 ε
Ơy chẵnh l số hÔng xĐp x¿ Ưu tiản cƯn tẳm cừa cÊ lợp trong v lợp ngo i cừa nghiằm xĐp x¿ tiằm cên.
Vẵ dử 2.4.4. GiÊi phữỡng trẳnh
εy00 + (1 +ε)y0 +y = 0, y(0) = 0, y(1) = 1 (2.22) Líi gi£i
Thá
y(x) = y0(x) + εy1(x) +ε2y2 +...
v o phữỡng trẳnh  cho, ta ữủc
ε(y000+εy100+ε2y002+...)+(1+ε)(y00+εy10+ε2y20+...)+(y0+εy1+ε2y2+..) = 0 CƠn bơng hằ số cừa ε0 ta cõ
y00 +y0 = 0 suy ra
y0(x) = Ce−x trong õ C l mởt hơng số bĐt ký.
Ró r ng, nghiằm n y khổng thº thọa mÂn cÊ hai iãu kiằn biản cũng mởt lúc, những ta cõ thº tẳm nghiằm bơng cĂch x²t vợi tứng iãu kiằn mởt. Vẳ cõ hai iãu kiằn biản nản ta s³ tẳm ra hai nghiằm trong õ mởt nghiằm sỷ dửng iãu kiằn y(0) = 0 v mởt nghiằm sỷ dửng iãu kiằn y(1) = 1. Do õ ta x²t hai trữớng hủp sau
Trữớng hủp 1. Náu giÊ sỷ lợp biản tÔi x = 0, nghắa l phữỡng trẳnh khổng thọa mÂn iãu kiằn biản tÔi x = 0 thẳ nghiằm lợp ngo i l
Yo(x) = y0(x) = e1−x Sỷ dửng ph²p bián ời
ξ = x εα
Khõa luên tốt nghiằp Ôi hồc PHềNG THÀ HìèNG
Sau õ thay v o phữỡng trẳnh  cho ta ữủc
ε1−2αY00 +ε−α(1 +ε)Y0 +Y = 0 Thá
Y(ξ) =Y0(ξ) +εY1(ξ) +ε2Y2(ξ) +...
v o phữỡng trẳnh trản v °t α = 1, ta ữủc
(Y000+εY100+ε2Y200+...)+(1+ε)(Y00+εY10+ε2Y20+...)+ε(Y0+εY1+ε2Y2+...) = 0 CƠn bơng hằ số cừa ε0 ta cõ
Y000+Y00 = 0, Y0(0) = 0 Suy ra
Y0(ξ) = C(e−ξ −1) Kát hủp
ξ→∞lim Y0(ξ) = lim
x→x0
(Y0(x) =y0(x))
ξ→∞lim C(e−ξ −1) = lim
x→x0
e1−x Suy ra
C = −e Thá C = e v o Y0(ξ) ta ữủc
Y0(ξ) =−e(e−ξ −1) = e−e1−ξ
Nghiằm kát hủp
ξ→∞lim Y0(ξ) = lim
x→x0Yo(x)
ξ→∞lim(e−e1−ξ) = lim
x→x0
e1−x = e Do â,
ycomp ∼ Yo(x) +Y0(ξ)−M atch
ycomp ∼e1−x+e−e1−ξ −e= e1−x−e1−ξ = e(e−x−e
−x ε )
Trữớng hủp 2. Náu ta giÊ sỷ lợp ngo i tÔi x = 1 thẳ nghiằm lợp ngo i l
Yo(x) =y0(x) = 0 Ta sỷ dửng ph²p bián ời
ξ = x−1 εα Thá v o phữỡng trẳnh ban Ưu ta ữủc
ε1−2αY00 +ε−α(1 +ε)Y0+Y = 0, Y(1) = 1
Tiáp tửc sỷ dửng tẵnh nhĐt quĂn kiºm tra α = 1v l m tữỡng tỹ trữớng hủp 1, ta ữủc
Y0(ξ) = Ce−ξ −Ce−1 + 1 trong õ C l hơng số tũy ỵ.
Kát hủp
ξ→∞lim Y0(ξ) = lim
x→x0
(Yo(x) =y0(x))
Ta thĐy iãu n y l khổng thº cho bĐt ký giĂ trà n o cừa C.
Khõa luên tốt nghiằp Ôi hồc PHềNG THÀ HìèNG
Vẳ vêy, Ơy khổng phÊi l lợp biản tÔi x = 1.
KT LUN
Dỹa trản cĂc t i liằu tham khÊo luên vôn n y trẳnh b y mởt số vĐn
ã sau
1. Mởt số kián thực vã phữỡng trẳnh vi phƠn, ành nghắa chuội lụy thứa, bĂn kẵnh hởi tử v ành lỵ khai triºn h m th nh chuội lụy thứa.
2. Phữỡng phĂp nhiạu giÊi phữỡng trẳnh vi phƠn v mởt số vẵ dử Ăp dửng.
Trản Ơy l to n bở nởi dung khoĂ luên vã ã t i Phữỡng phĂp nhiạu giÊi phữỡng trẳnh vi phƠn . M°c dũ Â hát sực cố gưng song do hÔn chá vã thới gian, kián thực v kinh nghiằm nản luên vôn khổng trĂnh khọi nhỳng thiáu sõt. Em rĐt mong nhên ữủc sỹ quan tƠm v õng gõp ỵ kián cừa ThƯy, Cổ v cĂc bÔn º khõa luên n y
ữỡc Ưy ừ v ho n thiằn hỡn.
Trữợc khi kát thúc khõa luên n y, mởt lƯn nỳa em xin b y tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc ối vợi cĂc ThƯy, Cổ giĂo trong Khoa ToĂn, °c biằt l thƯy giĂo PGS.TS. KhuĐt Vôn Ninh  tên tẳnh hữợng dăn v giúp ù tổi ho n th nh khõa luên n y.
Em xin ch¥n th nh c£m ìn!