Định lý 2.1. Cho f là hàm lồi chính thường trên Rn. Với bất kỳ tập bị chặn C ⊂ int(domf) thì tập ∪x∈C∂f(x) là khác rỗng và bị chặn.
Trong trường hợp đặc biệt, ∂f(x0) là khác rỗng và bị chặn tại mọi điểm x0 ∈ int(domf).
Chứng minh. Từ mệnh đề 1.10 nếu x0 ∈ int(domf) thì f có một hàm non affine h(x) sao cho h(x0) =f(x0), nghĩa là
h(x) = hp, x−x0i+f(x0)
với một vài p ∈ ∂f(x0). Do đó, ∂f(x0) 6= ∅ với mọi x0 ∈ int(domf).
Bây giờ, ta xét tập bị chặn bất kỳ C ⊂ int(domf). Từ định lý 1.2 có r > 0 sao cho C +rB ⊂ int(domf), trong đó B ký hiệu hình cầu đơn vị Euclidean. Bằng định nghĩa, với bất kỳ x ∈ C và p∈ ∂f(x) ta có hp, y −xi+ f(x) ≤f(y), ∀y, nhưng theo định lý 1.2 tồn tại γ > 0 sao cho | f(x)−f(y) |≤ γ k y −x k với mọi y ∈ C + rB. Do đó
|hp, y −xi| ≤ γ ky −x k với mọi y ∈ C +rB, tức là |hp, ui| ≤ γ k u k
với mọi u ∈ B. Bằng cách lấy u = kpkp điều này nghĩa là kpk ≤ γ, vì vậy tập ∪x∈C∂f(x) bị chặn.
Hệ quả 2.1. Cho f là một hàm lồi chính thường trên Rn. Với bất kỳ tập con lồi bị chặn C của int(domf), tồn tại một hằng số dương γ sao cho
f(x) = sup{h(x)|h ∈ Q0}, ∀x ∈ C (2.2) trong đó mọi h ∈ Q0 có dạng h(x) = ha, xi −α với kak ≤ γ.
Chứng minh. Ta có thể lấy Q0 là họ của tất cả các hàm affine có dạng h(x) = ha, x−yi+f(y), với y ∈ C, a ∈ ∂f(y).
Hệ quả 2.2. Cho f : D → R là một hàm lồi, xác định và liên tục trên một tập lồi có phần trong khác rỗng D. Nếu tập ∪{∂f(x)|x ∈ intD}
bị chặn, thì f có thể được mở rộng tới một hàm lồi hữu hạn trên Rn. Chứng minh. Với mọi điểm y ∈ intD lấy một vector py ∈ ∂f(x) và xét hàm affine hy(x) =f(y) +hpy, x−yi. Hàm lồi
∼
f(x) = sup{hy(x)|y ∈ intD}
trên Rn như bao hình trên của một họ các hàm affine. Nếu a là một điểm cố định bất kỳ của D thì
hy(x) =f(y) +hpy, a−yi+hpy, x −ai ≤ f(a) +hpy, x−ai
≤f(a) +kpykkx−ak.
Từ kpyk bị chặn trên intD, bất đẳng thức trên cho ta thấy rằng
−∞ < f(x) < +∞ với mọi ∀x ∈ Rn. Do đó,
∼
f(x) là một hàm lồi hữu
Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ HOÀNG ANH
hạn trên Rn. Cuối cùng, từ
∼
f(x) =f(x) với mọi x∈ intD nó kéo theo từ tính liên tục của cả
∼
f(x) và f(x) trên D là
∼
f(x) = f(x) với mọi x ∈ D.
Định nghĩa 2.4. Cho f : Rn → [−∞,+∞] là hàm bất kỳ và cho x0 là một điểm trong đó f là hữu hạn. Nếu cho một số u 6= 0, giới hạn (hữu hạn hoặc vô hạn)
λ→0lim
f(x0 + λu)−f(x0) λ
tồn tại, khi đó nó được gọi là đạo hàm theo hướng của f tại x0 theo hướng u và được ký hiệu là f0(x0;u).
Mệnh đề 2.1. Cho f là một hàm lồi chính thường và x0 ∈ domf. Khi đó:
i. f0(x0;u) tồn tại với mọi hướng u và thỏa mãn
f0(x0;u) = inf
λ>0
f(x0 +λu)−f(x0)
λ . (2.3)
ii. Hàm u 7→ f0(x0;u) là lồi, thuần nhất và p ∈ ∂f(x0) nếu và chỉ nếu
hp, ui ≤ f0(x0, u), ∀u. (2.4) iii. Nếu f là liên tục tại x0 thì f0(x0;u) là hữu hạn và liên tục tại mọi u ∈ Rn, dưới vi phân ∂f(x0) là compact và
f0(x0;u) = max{hp, ui|p ∈ ∂f(x0)}. (2.5) Chứng minh. i. Cho bất kỳ u 6= 0 hàm ϕ(λ) = f(x0+λu) là lồi, chính
thường trên đường thẳng thực, và 0 ∈ domϕ. Vì thế, đạo hàm bên phải ϕ0+(0) = f0(x0;u) tồn tại(nhưng có thể bằng +∞ nếu 0 là một điểm biên của domf). Đẳng thức (2.3) từ thực tế là [ϕ(λ)−ϕ(0)]/λ tăng khi λ →0.
ii. Tính thuần nhất của f0(x0;u) là hiển nhiên. Tính lồi sau đó được chỉ ra từ hệ thức
f0(x0;u+υ) = inf
λ>0
f(x0 + λ2(u+υ))−f(x0)
λ 2
≤ inf
λ>0
f(x0 +λu)−f(x0) +f(x0 +λυ)−f(x0) λ
= f0(x0;u) +f0(x0;υ).
Đặt x = x0+λu ta có thể chuyển bất đẳng thức (2.1) thành điều kiện hp, ui ≤ [f(x0 +λu)−f(x0)]/λ ∀y, ∀λ > 0,
điều này tương đương với hp, ui ≤ infλ>0[f(x0 + λu)− f(x0)]/λ, với mọi u, nghĩa là từ i. hp, ui ≤ f0(x0;u) ∀u.
iii. Nếu f là liên tục tại x0 thì tồn tại một lân cận U của 0 sao cho f(x0 +u) bị chặn ở trên U. Từ i. f0(x0;λu) ≤ f(x0 +u)−f(x0), suy ra f0(x0;u) cũng bị chặn ở trên U, và do đó nó hữu hạn và liên tục trên Rn. Điều kiện (2.4) chỉ ra rằng ∂f(x0) đóng và do đó compact vì nó bị chặn theo định lý 2.1. Theo tính đồng nhất của f0(x0;u), một hàm non affine của nó xác định tại một số điểm phải có dạng hp, ui, với hp, ui ≤ f0(x0;u) ∀u, nghĩa là từ ii. p ∈ ∂f(x0). Từ hệ quả 2.1 thì ta có f0(x0;u) = max{hp, ui|p ∈ ∂f(x0)}.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ HOÀNG ANH
Theo định nghĩa thông thường, một hàm f là khả vi tại một điểm x0 nếu tồn tại một vector ∇f(x0) (đạo hàm của f tại x0) sao cho
f(x0 +u) =f(x0) + h∇f(x0), ui +o(kuk).
Điều này tương đương với
limλ→0
f(x0 +λu)−f(x0)
λ = h∇f(x0), ui, ∀u 6= 0,
vì vậy đạo hàm theo hướng f0(x0;u) tồn tại và là một hàm tuyến tính của u.
Mệnh đề 2.2. Cho f là một hàm lồi chính thường và x0 ∈ domf. Nếu f khả vi tại x0 thì ∇f(x0) là dưới gradient duy nhất của f tại x0. Chứng minh. Nếu f khả vi tại x0 thì f0(x0;u) = h∇f(x0), ui, vì vậy từ ii. của mệnh đề 2.1, một vector p là dưới gradient của f tại x0 nếu và chỉ nếu hp, ui ≤ h∇f(x0), ui ∀u, nghĩa là nếu và chỉ nếu p =
∇f(x0).