PHƯƠNG TRÌNH TÍCH CHẬP VÀ BÀI TOÁN KHÔNG CHỈNH
3.2 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH CHẬP VÀ BÀI TOÁN KHÔNG CHỈNH
Cho ánh xạ A : X Y. X, Y là hai không gian định chuẩn. Xét phương trình Av = u với uY cho trước còn vX là ẩn cần tìm.
Bài toán vừa nêu được gọi là bài toán chỉnh nếu nó thỏa ba yếu tố sau 1. Phương trình luôn có nghiệm.
2. Nghiệm của phương trình là duy nhất.
3. Nghiệm của bài toán phụ thuộc liên tục vào dữ kiện. Điều này có nghĩa là với 1
u u Y khá nhỏ thì nghiệm v1 tương ứng với u1 và v tương ứng với u cũng sẽ thỏa 1
v v X khá nhỏ.
3.2.2 Bài toán không chỉnh
Bài toán được gọi là không chỉnh khi một trong ba điều kiện nêu trên bị vi phạm. Tuy nhiên, đối với bài toán không chỉnh, các điều kiện cho bài toán chỉnh bị vi phạm có ý nghĩa khác nhau. Sự tồn tại nghiệm bị vi phạm không có ý nghĩa quan trọng bằng sự duy nhất của nghiệm bị vi phạm. Nhưng điểm quan trọng nhất của bài toán không chỉnh là tính phụ thuộc liên tục vào dữ kiện của nghiệm bị vi phạm. Khi đó, một thay đổi nhỏ trên dữ kiện cũng sẽ kéo theo một sự thay đổi khá lớn trên nghiệm. Mặt khác, trên thực tế, dữ kiện có được của bài toán là do đo đạc mà ra. Vì vậy dữ kiện này có thể bị nhiễu vì nhiều lý do khác nhau như sai số của thiết bị đo đạc, quá trình đo đạc chỉ thực hiện tại các điểm rời rạc rồi sau đó được nội, ngoại suy thành dữ kiện liên tục hay do yêu cầu của máy tính mà ta buộc phải rời rạc hóa dữ kiện nhập vào. Do đó, ta còn có thể có thêm những sai số do biểu diễn dữ liệu của máy tính.
Vì vậy, nếu ta dùng dữ kiện này để tìm nghiệm thì nghiệm sẽ không đại diện cho nghiệm chính xác vì sai số của chúng là không thể kiểm soát được. Chính vì vậy một bài toán có chỉnh hay không là rất quan trọng, hoặc nếu bài toán không chỉnh thì cũng phải xét xem nghiệm của nó có phụ thuộc liên tục vào dữ kiện hay không. Nếu bài toán không chỉnh, người
ta sẽ tìm cách chỉnh hóa nó sao cho nghiệm chỉnh hóa đủ gần nghiệm của bài toán không chỉnh ban đầu.
3.2.3 Tính không chỉnh của phương trình tích chập Trong phần này, ta xét phương trình
( ) ( ) ( )
K x t v t dt u x
.
trong đó, KL R1( )L R2( ),uL2(R)cho trước còn vL R2( ) là ẩn cần tìm.
Để chuyển bài toán về phương trình toán tử dạng Av=u, ta xét A : L2(R)L2(R) được xác định bởi
Av(x) = K(xt)v(t)dt,
với vL2(R), KL1(R)L2(R). Do định lý 3.1.2 nên tích phân trên là hoàn toàn xác định. Bây giờ, ta sẽ lần lượt xét xem bài toán này có thỏa các yêu cầu của một bài toán chỉnh không.
Mệnh đề 1
Cho X, Y là không gian Banach. F : XYlà ánh xạ tuyến tính, liên tục đơn ánh. Nếu ImFY và ImF Y thì F1không liên tục.
Chứng minh
Từ giả thiết về ImF suy ra tồn tại yY\ImF và tồn tại yn ImF sao cho yn y n. , !
n n
y ImF x X
sao cho yn F(xn). Ta có F(xn)y n. ( 1 ) Giả sử F1 liên tục. Khi đó, M0sao cho
n n
1
n F (y ) M y
x .
Do yn là dãy hội tụ trong Y nên yn là dãy Cauchy trong Y. Từ bất đẳng thức trên suy ra
xn là dãy Cauchy trong không gian Banach X nên tồn tại xX thỏa xn x khi n. Vì F liên tuùc neõn
lim ( n) ( ).
n F x F x
( 2 )
Từ (1) và (2), ta có y = F(x) tức là yImF. Điều này mâu thuẫn với yY \ Im .F Vậy F1 không liên tục và mệnh đề đã được chứng minh.
Mệnh đề 2
A là ánh xạ tuyến tính, liên tục Chứng minh
Với mọi v1, v2 thuộc L2(R) và r, s thuộc R thì
1 2( ) ( ) 1( ) 2( )
A sv rv x K x t sv t rv t dt
s K x( t v t dt) ( )1 r K x( t v t dt) ( )2
sAv1(x)rAv2(x).
Vậy A là ánh xạ tuyến tính. Mặt khác, Av 2 K*v 2 K1 v 2 nên A là ánh xạ tuyến tính lieõn tuùc.
Mệnh đề 3
Phương trình Av = u không luôn tồn tại nghiệm.
Chứng minh
Vì KL1(R)K2(R) nên K L2(R). Từ phương trình Av = u, thực hiện biến đổi Fourier cả hai vế, ta được
u K .
v .
Laáy uL2(R) sao cho u 2K . Suy ra v2
nên vˆL2(R). Do đó vL2(R). Vậy phương trình vô nghiệm ứng với u được chọn như trên.
Mệnh đề 4
Cho E t:K t( )0 . Nếu m(E) = 0, với m là độ đo Lesbegue, thì phương trình Av = u nêu trên có quá lắm là một nghiệm.
Chứng minh
Ta sẽ chứng minh KerA = 0. Thật vậy, giả sử Av = 0, ta được (K*v)(x) = 0, x R.
Theo ủũnh lyự 3.1.4,
( ) ( ) 0, K x v x
x R. Mà ( )0
x
K h.k.n neân ( )0
x
v h.k.n. Do đó, theo định lý Parseval ta có v = 0.
Mệnh đề 5
Cho K( ) x 0, x R. Khi đó, phương trình Av = u nếu có nghiệm thì nghiệm không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện.
Chứng minh
Ta sẽ áp dụng mệnh đề 1 để chứng minh A1 không liên tục, tức là nghiệm bài toán Av = u nếu có sẽ không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện. Ở phần trên, ta đã chứng minh A là tuyến tính, liên tục, đơn ánh và ImA L2(R). Để áp dụng mệnh đề 1, ta sẽ chứng minh ImAL2(R).
Đặt Cc(R) là không gian các hàm liên tục có giá compact trên R và )}
R ( C uˆ
\ ) R ( L u {
B 2 c .
Trước hết ta chứng minh B ImA.
Lấy u tùy ý thuộc B thì uˆCc(R). Vì KL1(R) nên Kˆ C(R). Suy ra C (R) Kˆ
uˆ
c ( tích cuûa một hàm liên tục có giá compact trên R với một hàm liên tục trên R là một hàm liên tục có giá compact treân R ).
Ta có Cc(R)L2(R) nên tồn tại v L2(R) thỏa
Kˆ v uˆ , hay
ˆ
ˆ . *
u v K K v.
Suy ra u = K* v.
Vậy tồn tại vL R2( ) thỏa K*v = u nên u ImA.
Như vậy ta đã chứng minh B ImA. Bây giờ lấy u tuỳ ý thuộc L2(R), ta có uˆL2(R). Do Cc(R) trù mật trong L2(R) nên tồn tại dãy trong Cc(R) hội tụ về uˆ tức là tồn tại dãy {un} B thỏa
ˆ 2
||un u|| 0 n . khi
Theo định lý Parseval, ta được
(2 ) 1/ 2||unu||20 khi n . nghĩa là un u trong L2(R).
Như vậy, với u tùy ý trong L2(R), ta có dãy {un} ImA thỏa un u khi n , tức là )
R ( L A
Im 2 .
Vậy theo mệnh đề 1 thì A-1 không liên tục.
Kết luận
Do A-1 không liên tục nên tồn tại u1, u2 L2(R) và v1, v2 là nghiệm ứng với u1, u2 thỏa
2 2
1 u ||
u
|| nhỏ nhưng ||v1v2 ||2 khá lớn.
Như vậy phương trình tích chập K*v = u vừa nêu ở trên đã vi phạm vào hai yêu cầu (1) và (3) của bài toán chỉnh nên ta kết luận phương trình tích chập với những điều kiện nêu trên là bài toán không chỉnh.