I Định nghĩa và kết quả.
Đinh nghĩa 3.1. (Krein [6])
Toán tử L từ C1( Rn) vào C( Rn) gọi là Predholm nếu :
• miền giá trị của L là đóng ie LC1Rn) =
• dim KerL <
• dim CokerL <
và với mỗi a cố định thuộc (0,aj), ma trận hàm A(t, a)= Aa(t) liên tục đều theo t Mệnh đề 3.1. (Mukhamadiev [4])
Toán tử L từ C1Rn) vào C ( Rn) có dạng
là Fredholm khi và chỉ khi tất cả các phương trình giới hạn không có nghiệm khác không bị chặn liên R
Xét họ các toán tử L từ C1(Rn) vào C(Rn) định bởi
(1) trong đó ma trận hàm A(t, a) thỏa mãn điều kiện
và với mỗi α cố định thuộc (0, α1), ma trận hàm A(t, α)= A α (t) liên tục đều theo t trên R. Do đó Ặ , α) C*(Mn).
Xét toán tử L0 từ C1(Rn) vào C( Rn) định bởi
(2) với A0(t)= A(t,0) C*(Mn).
Giả sử L0 Predholm. Vấn đề đặt ra là với điều kiện nào thì toán tử Lα cũng Fredholm với α khá bé.
34
Ở đây, ta xét hai lớp hàm số của A(t,α). Do giả thiết đối với Aα( t ) = A ( t , α ) thì tồn t ạ i t ậ p H ( Aα) .
II Sự bảo toàn tính Fredholm theo nghĩa hội tụ tích phân tại vô cực.
Định nghĩa 3.2. Ma trận hàm A(t,α) gọi là hội tụ tích phân t ại vô c ực đến hàm A0(t) khi α⟶ 0 nếu với mọi > 0, tồn tại = ( ) > 0 sao cho với mọi α (0, ), bất đẳng thức sau được thỏa
Định lý 3.1. Giả sử A(t, α) hội tụ tích phân tại vô cực đến A0(t) khi α ⟶ 0. Khi đó tồn tại α0
(0, α1) sao cho với mọi α(0, α0) toán tử Lα Fredholm.
CHỨNG MINH Vì LoFredholm nên tất cả các phương trình thuần nhất
(3) không có nghiệm khác không bị chặn trên R
Để chứng minh định lý, ta chỉ cần chứng minh rằng tồn tại α 0(0,α1) sao cho với mọi α
(0,α0), tất cả các phương trình thuần nhất
(4) không có nghiệm khác không trong C1(Rn)bằng phản chứng.
Tồn tại số k0 > 0 thỏa 0 < α1. Giả sử với mỗi k k0, tồn tại αk ( ) và ̃ (., αk ) H ( ) sao cho phương trình
có nghiệm xk khác không bị chặn trên R.
Nếu xk là nghiệm khác không của phương trình trên thì cũng là nghiệm khác không || yk ||C1 = 1
35
Vậy ta có thể giả sử rằng tồn tại các dãy số {αk}, dãy hàm {xk} trong C1(Rn), dãy ma trận hàm {Ã(.,αk)/Ã(.,αk)H(Aαk)} thỏa
(5) Đối với mỗi Ã(.,(αk) H(Aαk ) , tồn tại dãy {hkj} thỏa
Sao cho
(6) đều trên từng khoảng hữu hạn.
Với mọi k N, mọi t R
Cho j⟶ , ta được
Vậy dãy hàm {Ã(., αk)} bị chặn đều.
Từ (5) và tương tự như chứng minh của bổ đề 2.2, chương 2, suy ra tồn tại > 0 sao cho
Vì xkliên tục và nên tồn tại t0 R sao cho
nếu t 0 ta xét hàm
khi đó
36 và
mặt khác
nên yk là nghiệm của phương trình (5).
Vậy không giảm tính tổng quát, có thể giả sử rằng
Vì A(t,α) hội tụ tích phân tại vô cực đến A0(t) khi α⟶0 nên với ⟶0, tồn tại = ( ) > 0 sao cho với mọi α (0, ) ta có
Vì
nên với > 0, tồn tại k0 > 0 sao cho αk khi k > k0, ta có thể giả sử rằng 0 < αk < với mọi k. Suy ra tồn tại dãy { } thỏa
sao cho với mọi k
(7)
Do | | nên với mỗi k , chọn j(k) sao cho
do (6), tồn tại k0 > 0 sao cho khi k > k0, ta có
37
(8)
từ (7), với ta có
Nên với mọi k
(9) Không giảm tính tổng quát, có thể coi rằng tồn tại ̃ E H (A0) thỏa
(10) Khi k > k0.
Kết hợp ba bất đẳng thức (8), (9), (10) ta có
38 Như vậy với < -1
suy ra
đều trên từng khoảng hữu hạn.
Do đó, với mỗi t cố định, chia đoạn [0,t] thành một số hữu hạn các đoạn nhỏ có chiều dài không quá 1 và áp dụng kết quả trên, ta có
(11)
Ta chứng minh dãy {xk} hội tụ trong C(Rn).
Với mọi k N, mọi t R
Vậy dãy hàm {xk} bị chặn đều.
Vì xk thỏa đẳng thức (5) nên xk cũng thỏa đẳng thức
Do đó với mọi kN, mọi t,s R
39 vậy dãy hàm {xk} liên lục đồng đều.
Theo định lý Ascoli - Azela, dãy hàm {xk} là tập compac tương đối nên chứa một dãy con hội tụ đến hàm x0 trong C(Rn). Không giảm tính tổng quát, ta có thể coi rằng dãy con đó chính là dãy hàm {xk}. Với t R, vì
nên dãy {xk(t)} hội tụ đến x0(t) đều trên R, do đó đều trên từng khoảng hữu hạn. Vì
Nên dãy ,∫ ̃ - hội tụ về ∫ đều trên từng khoảng hữu hạn.
Cũng từ (5) ta có
(12) lấy giới hạn hai vế của (12) khi k ⟶ ta được
Tương tự như chứng minh của bổ đề 2.2, chương 2, x0 là nghiệm khác không bị chặn trong C1Rn) của phương trình
Mâu thuẫn với giả thiết L0 Fredholm.
Định lý được chứng minh. □
40
ỨNG DỤNG. Xét toán tử Lα từ C1Rn) vào C(Rn) định bởi
(13) với α > 0 và A C*(Mn).
Định nghĩa 3.3. Ma trận A C*(Mn) gọi là trung bình hóa tại vô cực nếu tồn tại hai ma trận A+ và A_ sao cho
(14)
Nhờ khái niệm này và dựa vào định lý 1, ta có thể suy ra được một tiên chuẩn hết sức hiệu nghiệm cho tính Fredholm của các toán tử (13) với α khá bé.
Hệ quả 3.1. Giả sử
(i) Ma trận A(t) trung bình hóa tại vô cực;
(ii) Phần thực của các giá trị riêng của ma trận A+ và A_ khác không.
Khi đó với α > 0 khá bé, toán tử (13) Fredholm.
CHỨNG MINH Cùng với toán tử (13), xét toán tử
Đặt
Khi đó Uα là toán tử tuyến tính liên tục và khả nghịch liên tục. Ngoài ra
nên
41
Cho nên toán tử (13) Ficdholm nếu và chỉ nếu toán tử (15) Fredholm (Krein [6]) Xác định ma trận hàm
(16)
Ta chứng minh Aα, A0 C* (Mn ), thật vậy
Ma trận hàm A(t,α) C*(Mn) vì A(t) C*(Mn). Ngoài ra
Nếu t, s 1 hoặc t, s 0 thì A0(t) liên tục đều.
Nếu 0 t, s 1 thì
và s < 0 thì A0(s) = A0(0),còn s > 1 thì A0(s) = A0(l) nên A0(t)e C*(Mn)
Ta chứng minh rằng ma trận hàm Aa(t) hội tụ tích phân tại vô cực đến ma trận hàm A0(t) khi a ⟶ 0 nghĩa là với mọi > 0, tồn tại 0 = 0 ( ) > 0 sao cho với mọi α (0, 0) ta có
42 Xét trường hợp h → +
suy ra
(17) Tồn tại h0 > 0 sao cho
+ h với mọi [ 0,1]
khi h > h0. Khi đó
(18)
Do α 0 và 1 nên α =
Từ giả thiết (14) suy ra tồn tại T0> 0 sao cho
43 [ 0,1], nên có thể giả sử khi h > h0
do đó
suy ra
(19)
Từ (17), (19) với α (0, 0), t a c ó
Trường hợp h⟶ , chứng minh tương tự.
Vậy ma trận hàm Aα(t) hội tụ tích phân tại vô cực đến hàm A0(t) khi α⟶ 0 . Ta chứng minh toán tử K0 định bởi
44
Fredholm nghĩa là chứng minh các phương trình thuần nhất
không có nghiệm khác không bị chặn trên R, bằng phản chứng. Giả sử tồn tại ̃ H(A0) và x0 khác không bị chặn trên R thỏa
Vì ̃ H(A0) nên tồn tại dãy {hk} thỏa
sao cho
đều trên từng khoảng hữu hạn.
Cố định t R và xét trường hợp = + Tồn tại k0 > 0 sao cho t + hk 1 khi k > k0. Khi đó
và xo là nghiệm khác không bị chặn của phương trình
Vì phần thực của các giá trị riêng của A+ khác không nên mọi nghiệm khác không của phương trình trên không bị chặn. Mâu thuẫn.
Chứng minh tương tự cho trường hợp = - Vậy toán tử K0 Fredholm.
Hệ quả được chứng minh. □
III Sự bảo toàn tính Fredholm theo nghĩa đinh vị tại vô cực
Định nghĩa 3,4, Ma trận hàm A(t,α) gọi là định vị tại vô cực khi 0 nếu với mọi >
0, tồn tại = ( ) > 0 sao cho với mọi (0, ) bất đẳng thức sau được thỏa mãn
(20)
Định lý 3.2. Giả sử
45
(i) Ma trận h à m A(t,α) định vị t ạ i vỗ cực k h i α⟶0 (ii) Đối với mỗi dãy { ̃ } ( ̃ ( ̃ )) t h ỏ a
= 0 tồn tại dãy con { ̃
} hội tụ đến ma trận B và các giá trị riêng của ma trận B không nằm trên trục ảo.
Khi đó tồn tại α0 (0,α1) sao cho với mọi α (0,(α0), toán tử Lα Fredholm.
CHỨNG MINH
Ta chứng minh rằng tồn tại α0 (0,α1) sao cho với mọi α (0,(α0), tất cả các phương trình giới hạn thuần nhất dạng
không có nghiệm khác không bị chặn trên R bằng phản chứng.
Tương tự như chứng minh của định lý 3.1, ta được các kết quả:
•Tồn tại dãy số {αk}, dãy ma trận hàm { ̃ }, ̃ H( ) và dãy hàm {xk} trong C1Rn) thỏa
(21)
• Với mọi H( )
• Tồn tại số 0 > 0 sao cho
• Không giảm tính tổng quát, có thể coi rằng
• Dãy hàm {xk}hội tụ đến hàm x0 trong C( Rn), nên dãy {xk(t)} hội tụ đến x0(t) đều trên R, do đó đều trên từng khoảng hữu hạn.
Theo giả thiết (ii) vì
46 nên ta có thể coi rằng dãy { ̃ } hội tụ đến B
(22) Ta chứng minh dãy { ̃ (t)} hội tụ đến B đều trên từng khoảng hữu hạn. Thật vậy, vì Aα
định vị tại vô cực khi α⟶0 nên với ɛ > 0, tồn tại = (ɛ) > 0 sao cho với mọi α (0, )
Ta có thể giả sử rằng 0 < αk < với mọi k Khi đó tồn tại dãy { } thỏa
sao cho
(23) Mặt khác, đối với H( ̃ ), tồn tại dãy { } thỏa
sao cho
đều trên lừng khoảng hữu hạn.
Đối với mỗi k, chọn j(k) sao cho
(24) Từ (23), với ta có
nên
Từ bất đẳng thức này và (24), suy ra
47 Như vậy với – 1
do đó
đều trên từng khoảng hữu hạn.
Dựa vào đó và từ (22), xét một khoảng hữu hạn [-a,a] và t [-a,a], chia đoạn [0,t]
thành một số hữu hạn các đoạn nhỏ có chiều dài không quá 1, ta suy ra dãy { ̃(t, )} hội tụ đến B đều trên từng khoảng hữu hạn. Do đó dãy { ̃(t, )xk(t)} hội tụ về Bx0(t) đều trên từng khoảng hữu hạn.
Vì xk thỏa đẳng thức (21) nên cũng thỏa đẳng thức
48 khi k → ∞ ta được
hay x0 thỏa phương trình
Tương tự như chứng minh của định lý 3. 1 , x0 là nghiệm khác không bị chặn trên R c ủa phương trình trên
Vì các giá tr ị riêng c ủa B không n ằm trên tr ục ảo nghĩa là ph ần thực của chúng khác không nên m ọi nghi ệm khác không c ủa phương trình trên không bị chặn.
Mâu thuẫn này ch ứng minh đ ịnh lý 2.
ỨNG DỤNG Xét toán t ử nhiễu loạn kỳ dị Kα từ Cl(Rn) vào C(Rn) định bởi (25) trong đó A C*(Mn).
Giả sử λ1(t), λ2(t),… λn(t) là các giá tr ị riêng c ủa A(t).
Ký hi ệu + ( _) là tập các đi ểm gi ới hạn của các hàm λ1(t), λ2(t),… λn(t) khi t t
Từ định lý 2 suy ra h ệ quả sau :
Hệ quả 3.2. Giả sử tập + - không cắt trục ảo.
Khi đó với α > 0 khá bé, toán tử Kα Fredholm.
CHỨNG MINH Cùng v ới toán t ử Kα , xét toán t ử Mα định bởi
(26) Đặt
thì Uα là toán t ử tuyến tính liên t ục và kh ả nghịch liên t ục. Ngoài ra
49
Cho nên toán tử Kα Fredholm nếu và chỉ nếu toán tử Mα Fredholm (Krein [6]) Đặt
Rõ ràng là Aα, A0 C*(Mn).
Ta chứng minh Mα thỏa giả thiết (i) của định lý 3.2. Thật vậy, vì A C*(Mn) nên với ɛ > 0, tồn tại ) sao cho
khi | t - s | < . Với α (0, ) và [0,1] thì nên với mọi h R
Vậy ma trận hàm A(αt) định vị tại vô cực khi α⟶ 0.
Ta chứng minh Mα thỏa giả thiết (ii) của định lý 3.2. Thật vậy, xét dãy { ̃ }
̃ H( ) thỏa
Với ɛ > 0 tồn tại k0 sao cho khi k k0, ta có
Với mỗi k, tồn tại dãy { } thỏa
sao cho
50
Với k = 1, tồn tại jo(l) > 0 sao cho với mọi j > jo(l), ta có
chọn j(l) = j0(l).
Giả sử đã chọn được j(k - 1) với k > 1.
Tồn tại j0(k) > 0 sao cho với mọi j j0(k), ta có
Chọn j(k) = max { j(k -1), j0(k), k}
Ta được dãy {j(k)} thỏa
Khi đó với k k0, ta có
Nghĩa là
Cho k⟶ ta được
Vậy các giá trị riêng của ma trận B không nằm trên trục ảo.
Hệ quả được chứng minh. □