§1. Các loại hội tụ 1. Định nghĩa
1.1. Hội tụ tuyệt đối
Chuỗi của những phần tử trong một không gian Banach đƣợc gọi là hội tụ tuyệt đối nếu
1.2. Hội tụ không điều kiện
Chuỗi đƣợc gọi là hội tụ không điều kiện nếu với bất kỳ hoán vị π của N ta đều có hội tụ.
1.3. Hội tụ có điều kiện
Chuỗi đƣợc gọi là hội tụ có điều kiện nếu nó hội tụ nhƣng không hội tụ không điều kiện.
1.4. Hội tụ hoàn hảo
Chuỗi đƣợc gọi là hội tụ hoàn hảo nếu những chuỗi hội tụ với bất kỳ cách chọn những hệ số ak = ±1.
2. Sự liên hệ giữa các loại hội tụ
2.1. Dùng tiêu chuẩn Cauchy và các bất đẳng thức
Ta có : Định lý :
(i) Chuỗi hội tụ tuyệt đối thì nó hội tụ.
(ii) Chuỗi hội tụ tuyệt đối thì nó hội tụ hoàn hảo.
Trang 13 2.2. Định lý
Một chuỗi những phần tử của một không gian Banach hội tụ không điều kiện nếu và chỉ nếu nó hội tụ hoàn hảo.
Chứng minh
1) Giả sử chuỗi là không hội tụ không điều kiện khi đó tồn tại hoán vị π của N
sao cho phân kỳ. Dùng tiêu chuẩn Cauchy ta suy ra có δ > 0, có dãy những chỉ số k1 <
l1 < k2 < l2 < k3 ... sao cho
j=1,2... (1)
Từ chuỗi ban đầu ta chọn ra dãy các tập hợp ( j =1, 2, ...) sao cho với mỗi j.∆j chứa .Nếu cần, ta chọn dãy con, do đó ta có thể giả sử các ∆j đôi một không giao nhau.
Với mỗi j, ta đặt uj là tổng các phần tử trong ∆ 'j và vj là tổng của những phần tử trong
∆j \ ∆'j. Từ dó, do cách đặt và do (1) ta có
Điều này dẫn đến
Ta xây dựng chuỗi phân kỳ nhƣ sau.
• Nếu (2) đúng : lấy α1 = 1 với những cũng lấy α1 = 1 với những
• Nếu (3) đúng và (2) không đúng: lấy α1 = 1 với những lấy α1 = 1 với những Lấy α1 ± 1 tùy ý cho những phần tử còn lại của chuỗi mà không thuộc bất kỳ một ∆j nào.
Với cách chọn các hệ số nhƣ vậy, ta có :
Trang 14 Do đó phân kỳ bởi tiêu chuẩn Cauchy.
2) Giả sử chuỗi không hội tụ hoàn hảo.
Khi đó tồn tại dãy các hệ số (αi) , αi ± 1 sao cho phân kỳ. Theo tiêu chuẩn Cauchy tồn tại δ > 0, và dãy các chỉ số m1 < n1<m2<n2<... sao cho
Xét dãy các tập hợp (∆j) với
Gọi ∆+j là tập hợp các Xi trong ∆j mà αi = 1 và ∆-j là phần còn lại nhƣ vậy Ta có :
hay
vì nên ngƣợc lại thì
điều này mâu thuẫn với (4) Với mỗi j, ta ký hiệu
nếu (5) đúng
nếu (6) đúng
∆0 là tập hợp những phần tử của (xn) mà không thuộc bất kỳ ∆*j nào.
Trang 15
Chuỗi phân kỳ với hoán vị π đƣợc xác định sao cho xπ(1) = x1(1),...,xπ(n1)=x1(1)
tương đương với tất cả các π các xi(1) ∈ ∆*1
với một , ... , tương đương với tất cả các xi(2) ∈ ∆*2
với một
Cứ tiếp tục như vậy, ta xây dựng được hoán vị mà mỗi chuỗi tương ứng là phân kỳ theo tiêu chuẩn Cauchy.
Định lý đƣợc chứng minh.
2.3. Định lý:
Giả sử X là một không gian định chuẩn n - chiều. Khi đó mọi chuỗi hội tụ không điều kiện trong X đều là chuỗi hội tụ tuyệt đối.
Chứng minh:
Do mọi chuẩn trong không gian định chuẩn hữu hạn chiều đều tương đương với nhau nên ta có thể giả sử X= l1(n), và ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp X là không gian vectơ thực.
Gọi f1 = X→R
X = (x1,...,xn) ⟼ fi(x) = xi (i= 1,2,...,n)
Từ hội tụ không điều kiền ta cũng có chuỗi số hội tụ không điều kiện (i
= 1, 2, ... n)
Áp dụng định lý 4.4 ở chương 1 ta được ∀i = 1,2,...n
Mà
với mọi n Do đó
Trang 16 Có nghĩa là chuỗi hội tụ tuyệt đối.
Nhận xét:
Với định lý 2.3 và hai định lý 2.1; 2.2 ta suy ra rằng trong trường hợp X là không gian định chuẩn hữu hạn chiều thì các khái niệm hội tụ tuyệt đối, hội tụ không điều kiện, hội tụ hoàn hảo là tương đương với nhau.
3. Mệnh đề:
Trong mỗi không gian Hilbert X vô hạn chiều đều tồn tại chuỗi hội tụ không điều kiện nhƣng không hội tụ tuyệt đối.
Chứng minh:
Gọi là một hệ trực chuẩn trong X.
Đặt xn = 1
n en với mọi n.
Do tính trực giao của ta có
Cho mọi n, mọi p ≥ 1 và bất kỳ cách chọn ak = ±1.
Từ hội tụ và tiêu chuẩn Cauchy ta suy ra chuỗi hội tụ với bất kỳ cách chọn ak = ±1, do đó nó hội tụ không điều kiện theo định lý 2.2.
Nhƣng phân kỳ.
Từ định lý Dvoretzky - Rogers ở chương 4 ta sẽ có khẳng định tương tự mệnh đề 3 cho một không gian Banach bất kỳ.
4. Định lý :
Giả sử chuỗi trong không gian Banach X là hội tụ không điều kiện và có tổng là S. Khi đó với bất kỳ hoán vị π, chuỗi cũng có tổng là S.
Chứng minh:
Ta chứng minh bằng phản chứng.
Trang 17
Giả sử tồn tại hoán vị π sao cho mà S ≠S. Áp dụng định lý hahn- Banach ta suy ra có f ∈ X* sao cho f(S) ≠ f(S ).
Vì hoán vị π làm thay đổi tổng của chuỗi nên nó không hội tụ tuyệt đối theo định lý 4.3 ở chương 1. Và từ định lý Riemann (chương 1) ta suy ra có hoán vị σ sao cho phân kỳ. Khi đó do tính liên tục của f thì cũng phân kỳ.
Nhƣ vậy chuỗi hội tụ có điều kiện, điều này mâu thuẫn với giả thiết của định lý 5. Định lý (Gelfand):
Giả sử chuỗi trong không gian Banach X là hội tụ không điều kiện. Khi đó tập hợp tất cả các tương ứng với những dãy số α = (αk) mà αk = ±1, là tập compact trong X.
Chứng minh :
Đầu tiên, ta chứng minh với mỗi ɛ > 0 tồn tại chỉ số n = n(ɛ) sao cho với mọi dãy số (αi), α1 = ± 1. Giả sử ngƣợc lại, khi đó tồn lại δ>0, dãy các chỉ số n1<n2<... và dãy các số (ai(j))i sao cho
j = 1,2, .... (1)
Ta sẽ chứng tỏ (1) mâu thuẫn với giả thiết hội tụ không điều kiện của chuỗi.
Tồn lại dãy các chỉ số (rj)j , rj, > nj ∀j, và nếu cần, ta chọn dãy con của dãy (nj)j do đó ta có thể giả sử rj < nj+1 ∀j, sao cho
(3)
Xác định dãy các hệ số ( ̅) nhƣ sau Với những i mà nj ≤ i ≤ rj thì α i = αi(j)
(j = 1, 2, ...) Với những i còn lại thì ̅ = ± 1 tuỳ ý.
Trang 18
Và từ các bài đẳng thức (3) ta có chuỗi phân kỳ , điều này mâu thuẫn với tính hội tụ không điều kiện của chuỗi
Nhƣ vậy ta đã chứng minh tập hợp các phần tử
là ɛ lưới hữu hạn của tập {S(α)}.
Bây giờ, ta còn chứng minh tập {S(α)} là đóng.
Nếu dãy (s(αv)) với α(v) = v = 1,2,.., hội tụ về S, có nghĩa là
Ta sẽ chứng minh tồn lại dãy ̅ = ( ̅) , (α1 = ±1) sao cho S( ̅)= S (4), tức là S ∈ {(S(α)}.
Với mỗi i ta có αi(v)chỉ nhận giá trị 1 hoặc -1 (v =1,2, ...), do đó tồn lại tập chỉ số I1 sao cho I1 có vô hạn phần tử và a1(v) bằng nhau với mọi v ∈ I1. Chọn V1 = min I1
Gọi I2 là tập con của I1 sao cho I2 có vô số phần tử và các a2(v) bằng nhau với mọi V ∈ I2 .
Chọn V2 = min I2\{v1}
Cứ tiếp tục nhƣ vậy ta chọn đƣợc dãy con ( ( ) )của dãy (α(v)) sao cho
với mọi k ≥ i (1)
Ta chứng tỏ dãy các hệ số ̅ = ( ̅) thỏa mãn (4)
Theo chứng minh ở phần đầu thì với bất kỳ ɛ > 0 cho trước tồn lại N = N(ɛ) sao cho
đúng với mọi dãy hệ số α = (αi).
Từ (1) và (2), với mọi k ≥ N ta có
Dẫn đến
mà nên
Định lý đƣợc chứng minh.
Trang 19
§2. Sự phân kỳ hoàn hảo.
1. Định nghĩa
Chuỗi đƣợc gọi là phân kỳ hoàn hảo nếu Chuỗi phân kỳ với mọi cách chọn ak = ±1 2. Mệnh đề
Giả sử X là không gian định chuẩn hữu hạn chiều. Khi đó tồn tại hằng số M, M chỉ phụ thuộc X, sao cho với mọi dãy hữu hạn x1, x2, .., xp trong quả cầu đóng đơn vị Bx, tồn lại αi = ± 1, i= 1, 2, .., p sao cho
với mọi j, 1 ≤ j ≤ p Chứng minh
Ta có Bx ⊂ X là tập compact, do đó tồn tại M quả cầu với a1 ,a2,...,aM ∈ Bx sao cho
Trong chứng minh ta nói quả cầu là chỉ một trong M quả cầu này Xem dãy hữu hạn x1, x2 ,...,xp bất kỳ trong Bx .
• Nếu p ≤ M , với αi = ±1 tùy ý ta có
với mọi 1< j < p
• Trường hợp p > M Ta chọn α1 = 1 Xét j = 2 (nếu p>1)
(2.1) Nếu x2 và x1 cùng thuộc một quả cầu Bi1 Ta chọn α2 = -1, khi đó
Trong trường hợp này ta có
và α1x1 +α2x2 thuộc một quả cầu nào đó mà ta ký hiệu là
(2.2) Nếu x2 và x1 không thuộc một quả cầu Ta suy ra M ≥ 2 , chọn αi = ±1 tùy ý thì
Trang 20 Trong trường hợp này
Ta ký hiệu là các quả cầu sao cho và (B1(2) ở đây không liên quan gì với B1(2) ở (2.1))
Xét j = 3 (nếu p > 2)
(3.1) Nếu (2.1) đúng: khi đó và (3.1.1) Nếu x3 thuộc B1(2) . Ta chon α3 = -1 thì
Trong trường hợp này ta ký hiệu B1(3)
= B1(2) . (3.1.2) Nếu x3 không thuộc B1(2) ta suy ra M ≥ 2 Chọn α3 = ±1 tùy ý
Trong trường hợp này ta ký hiệu B1(3)
= B1(2) ; B2(3) sao cho và
(3.2) Nếu (2.2) dùng : khi đó , , M ≥ 2 (3.2.1) Nếu x3 không thuộc ta suy ra M ≥ 3.
Chọn α3 = ±1 tùy ý thì
Trong trường hợp này ta ký hiệu
sao cho i =1,2,3 (3.2.2) Nếu x3 thuộc B1(2), ta chọn α3 = -1 thì
Khi đó
Trong trường hợp này ta ký hiệu
(3.3.3) Nếu x3 thuộc B2(2) : tương tự (3.2.2) Giả sử khi j = k ta có các tập hợp
Trang 21 I1,...,Ink sao cho I1U...UInk= {1,2,...,k};
và các quả cầu sao cho và M ≥ nk
Xét j = k + 1 (nếu p > k)
• Nếu xk+1 không thuộc ta suy ra M ≥ nk +1 Chọn αk+1= ±1 tùy ý ta có
• Nếu , ta chọn αk+1 = -1 thì
Từ đó
Mệnh để đƣợc chứng minh Hệ quả
Giả sử X là không gian định chuẩn hữu hạn chiều. Khi đó tồn tại hằng số M, M chỉ phụ thuộc X, sao cho với mọi dãy hữu hạn x1, x2, ..., xp trong quả cầu đóng B (0,r), tồn tại αi
= ±1, i = 1, 2, .., p sao cho
với mọi 1 ≤ j ≤ p 3. Mệnh đề
Giả sử X là không gian định chuẩn hữu hạn chiều. Khi đó :
Chuỗi trong X là phân kỳ hoàn hảo nếu và chỉ nếu không có Chứng minh
Trang 22
1) Giả sử chuỗi không phân kỳ hoàn hảo. Khi đó tồn tại dãy các hệ số ( ̅k). ̅k =
±1, sao cho hội tụ. Dẫn đến Do đó
2)Giả sử . Từ đó :
Tồn tại dãy các chỉ số n1 < n2 < ... sao cho với mọi n ≥ nk ta có k = 1, 2, ...
Theo hệ quả của mệnh đề 2 ở trên , tồn tại hằng số M, M chỉ phụ thuộc X, tồn tại α1 =
± 1, sao cho
với mọi nk < j ≤ nk + l Ta chứng minh hội tụ.
Với bất kỳ ɛ > 0 cho trước, do hội tụ nên có N sao cho Với mọi n ≥ nN+1, p ≥ 1 ta chứng minh.
Ta chỉ cần xét 3 trường hợp :
Trang 23
Vậy có (αi), αi = ± 1 sao cho hội tụ, do đó không phân kỳ hoàn hảo.
Mệnh đề đƣợc chứng minh.
4. Ví dụ
Sau đây là các ví dụ trong không gian Banach vô hạn chiều đƣợc chỉ ra, mà trong nó tồn lại chuỗi phân kỳ hoàn hảo nhƣng
4.1. Trong không gian C0(R) ta xây dựng dãy hàm (fn) nhƣ sau Áp dụng bổ đề Urysohn ta có hàm số f1(x) liên tục sao cho
Vẫn áp dụng bổ đề Urysohn ta có các hàm u1, u2 ∈ Cc(R) ⊂ C0(R) sao cho
Đặt thì
Trang 24 Và
Dùng quy nạp , đến n+1 ta có hàm fn+1(x) sao cho :
và trên mỗi đoan Ini mà f(x) = 1
n (hoặc fn(x) =- 1
n ) với mọi x∈ Ini đều có chứa 2 đoạn mỗi đoạn có độ dài 1
3n+1 sao cho :
Từ đó
Với mọi M > 0 cho trước, tồn tại k sao cho
Do cách xây dựng dãy hàm (fn), với mọi αn = ± 1 , n = 1, 2...k, ta có ̅ sao cho
Dẫn đến
Ta suy ra đƣợc với mọi (αn), αn= ±1 chuỗi phân kỳ. Nhƣng = 0 4.2. Trong C0, ta xây dựng dãy số (xn) nhƣ sau
Trang 25
Dùng quy nạp, đến k ta có k+1 vectơ xnk ,..., xnk + k sao cho trong mỗi vectơ xnk -i (0 ≤ i
≤ k) có 21 +...+ 2k-1 thành phần đầu đều bằng 0, 2k+l thành phần tiếp theo, mỗi thành phần bằng √ hay - √ tương ứng với 2k+1 trường hợp dấu của ma trận cấp (k+1) x 2k+1. Các thành phần còn lại đều bằng 0.
Từ đó :
Với bất kỳ M >0 cho trước, tồn tại m sao cho √ > M. Khi đó
Ta suy ra chuỗi phân kỳ hoàn hảo.
4.3. Trong không gian Hilbert vô hạn chiều bất kỳ.
Gọi là hệ trực chuẩn trong X.
Đặt k =1,2,...
Với mọi n, với mọi ak = ± 1, k = 1, 2, ..,n
Ta có chuỗi phân kỳ hoàn hảo nhƣng 4.4. Trong L1[0,1] dãy (xk) xác định nhƣ sau
xk =
k =1,2,...
Ta có chuỗi phân kỳ hoàn hảo và
Trang 26