Trong mục này ta sẽ trình bày những khái niệm cơ bản nhất về không gian phân thớ và đồng cấu phân thớ, một số không gian phân thớ có liên quan tới phần còn lại của chương 2 và chương 3 được trình bày bởi các thí dụ.
2.1- Không gian phân thớ:
Giả sử M là một đa tạp, G là nhóm Lie. Không gian phân thớ chính hay vắn tắt phân thớ chính (khả vi) trên M với nhóm G, gồm đa tạp P và tác động của nhóm G trên P thỏa mãn các điều kiện:
(1) G tác động tự do bên phải trên P:
(u,a) ∈ P x G ặ ua = Rau ∈ P;
(2) M là không gian thương của P theo quan hệ tương đương được cảm tính bởi nhóm G,M = P/G và phép chiếu chính tắc π:P Ỉ M khả vi.
(3) P tầm thường địa phương, nghĩa là mỗi điểm x thuộc M, có một lân cận U sao cho π-1(U) đẳng cấu với U x G, với ý nghĩa là tồn tại một vi phôi , sao cho ψ(u)=(π(u),ϕ(u)), trong đó ϕ là ánh xạ từ π-1(u) vào G, thỏa mãn điều kiện ϕ(ua)=(ϕ(u))a với mọi u∈π-1(U) và a∈G.
G U U → × Ψ : π−1( )
Không gian phân thớ chính được ký hiệu là P(M,G,π) hoặc P(M,G) hay đơn giản là P.
Ta gọi: P là cơ sở của không gian phân thớ G là nhóm cấu trúc
π là phép chiếu.
Với mỗi x∈M,π-1(x) là một đa tạp con đóng trong P, được gọi là một thớ treân x.
Nếu u là điểm thuộc π-1(x), thì π-1(x) là tập hợp các điểm ua, a∈G, được gọi là thớ qua u. Từ đó ta thấy rằng, mỗi thớ đều đồng phôi với G.
Giả sử ta đã cho nhóm Lie G và đa tạp M, mà G tác động tự do bên trái treõn P = M x G, nhử sau:
Mỗi b∈G, Rb biến (x,a)∈M x G thành (x,ab)∈M x G, không gian phân thớ chính P(M,G) nhận được như vậy gọi là tầm thường.
Nếu đã cho phân thớ chính P(M,G), thì theo mệnh đề 1.4.5, tác động của G lên P cảm sinh đồng cấu σ của đại số Lie G của nhóm G vào đại số
)
χ (P của các trường vectơ trên P. Với mỗi A∈G, A*=σ(A) được gọi là trường vectơ cơ sở (cơ bản) tương ứng với A. Vì tác động của G biến mỗi thớ thành chính nó, nên tiếp xúc với thớ tại mỗi u∈P. Và vì G tác động tự do trên P, nên A* không triệt tiêu trên P (nếu A#0), theo mệnh đề 1.4.5.
a*
A
Do số chiều của mỗi thớ bằng số chiều của G nên ánh xạ AỈ(A*)u từ G vào Tu(P) là một đẳng cấu tuyến tính của G trên không gian tiếp xúc tại u với thớ qua u.
2.2- Đồng cấu phân thớ:
Đồng cấu f của phân thớ chính P’(M',G’) vào một phân thớ chính khác P(M,G) được tạo từ ánh xạ f': P’ Ỉ P và đồng cấu f'’: G’ Ỉ G, sao cho f(u’a’)=f'(u’)f'’(a’) với mọi u’∈P’ và a’∈G’.
Để đơn giản ta ký hiệu f' và f'’ cũng là chữ cái f.
Mỗi đồng cấu f: P’ Ỉ P biến mỗi thớ của P’ thành một thớ của P và cho nên sẽ cảm sinh một ánh xạ từ M' vào M, ta cũng ký hiện là f.
Đồng cấu f: P’(M',G’) Ỉ P(M,G) được gọi là phép nhúng hay là một đơn ánh, nếu ánh xạ được cảm sinh: f: M' Ỉ M là một phép nhúng và f: G’ Ỉ G là một đơn cấu.
Khi đồng nhất P’ với f(P’), G’ với f(G’) và M' với f(M'), thì ta nói rằng P’(M',G’) là phân thớ con của P(M,G).
Nếu M'=M, và f: M'ỈM là phép đồng nhất trên M, thì f: P’(M',G’) Ỉ P(M,G) được gọi là phép thu hẹp của nhóm cấu trúc G của phân thớ P(M,G) tới nhóm con G’, phân thớ con P’(M,G’) được gọi là phân thớ thu hẹp.
Nếu đã cho P(M,G) và nhóm con Lie G’ của G thì ta nói rằng nhóm cấu trúc G được thu hẹp tới G’, nếu tồn tại phân thớ thu hẹp P’(M,G’).
2.1- Thớ duù: G(G/H,H)
Giả sử G là nhóm Lie, H là nhóm con của nó. Ta định nghĩa tác động của H trên G bên phải như sau: mỗi a∈H, biến u∈G thành ua. Khi đó ta được phân thớ chính khả vi G(G/H,H) trên đa tạp cơ sở G/H với nhóm cấu trúc H.
Tính tầm thường địa phương được suy ra từ sự tồn tại của các thiết diện địa phửụng.
Nếu π là phép chiếu của G lên G/H và e là đơn vị trong G, thì tồn tại các ánh xạ σ của lân cận của phần tử π(e) của G/H vào G, sao cho: π◦σ là phép biến đổi đồng nhất của lân cận.
2.2- Thí dụ: Phân thớ tuyến tính.
Giả sử M là đa tạp n-chiều. Mục tiêu tuyến tính u tại điểm x∈M là một cơ sở được sắp xếp X1,…,Xn của không gian tiếp xúc Tx(M).
Giả sử L(M) là tập hợp các mục tiêu tuyến tính u tại mọi điểm của M, và giả sử π là ánh xạ từ L(M) lên M mà nó biến mục tiêu tuyến tính tại điểm x thành x.
Nhóm tuyến tính tổng quát GL(n;R) tác động lên L(M) bên phải sao cho: Nếu a=(aij)∈GL(n;R) và u=(X1,…,Xn) là mục tiêu tuyến tính tại x thì ua, theo định nghĩa, là mục tiêu tuyến tính (Y1,…,Yn) tại x được xác định như sau:
= ∑
i ij i
a a X
Y
Như vậy GL(n;R) tác động tự do trên L(M) và π(u)=π(v) khi và chỉ khi v=ua với a∈GL(n;R) nào đó.
Để đưa cấu trúc khả vi vào L(M), ta giả thiết rằng (x1,…,xn) là tọa độ 9ịa phương trong lân cận tọa độ U trong M. Mỗi mục tiêu u tại x∈M sẽ được thiết lập một cách duy nhất dưới dạng:
u=(X1,…,Xn) với , trong đó (Xki) là các ma trận khoâng suy bieán.
∑ ∂ ∂
= k ki k
i X x
X ( / )
Điều đó chứng tỏ rằng giữa π-1(U) và U x GL(n;R) tồn tại một song ánh.
Ta biến L(M) thành một đa tạp khả vi, khi lấy (xj) và (Xki) làm hệ tọa độ địaphương trong π-1(U). Khi đó L(M)(M,GL(n;R)) là một phân thớ chính: Được gọi là phân thớ mục tiêu tuyến tính trên M.
Nếu u là mục tiêu tuyến tính tại điểm x∈M, được cho bởi ánh xạ tuyến tính không suy biến từ Rn lên Tx(M).
Giả sử e1,…,en là cơ sở tự nhiên trong Rn: e1=1,0,…,0),…,en(0,…,0,1).
Mục tiêu tuyến tính u=(X1,…,Xn) tại x được cho bởi ánh xạ u: RnỈTx(M), sao cho ue
Xem a=(aij)∈GL(n;R) là một phép biến đổi tuyến tính trong Rn, biến ej
thành . Khi đó: ua:Rn Tx(M) là hợp thành của hai ánh xạ sau:
i=Xi với i=1,…,n. Tác động của GL(n;R) trên L(M) được minh họa như sau:
∑i aijei ặ
) (M T R
Rn →a n→u x
2.3- Thí dụ: Phân thớ mục tiêu trực chuẩn O(M)
Giả sử L(M) là phân thớ mục tiêu tuyến tính trên đa tạp M n-chiều, giả sử (,) là tích vô hướng tự nhiên trong Rn. đối với nó e1=(1,
ếu ta xem mỗi u∈L(M) là một đẳng cấu tuyến tính từ Rn lên Tx(M), trong đó x∈π(u), thì mỗi ột tích vô hướng g trong Tx(M) nhử sau:
0,…,0),…,en=(o,…,0,1) là trực giao và bất biến đối với O(n) theo định nghóa cuûa O(n).
Ta chứng tỏ rằng, một phép thu hẹp nhóm cấu trúc GL(n;R) tới O(n) sinh ra một mêtric Riemanian g trên M. Giả sử Q(M,O(n)) là phân thớ con thu heùp cuỷa L(M). N
u∈Q. xác định m
)
, 1
1X u− Y ( −
) ,
( X Y u
g = với X,Y∈Tx(M).
Tính bất biến của (,) đối với O(n), kéo theo sự độc lập của g(X,Y) đối với việc chọn u∈Q.
Ngược lại, giả sử trên M đã cho Mêtric Riemanian g, và Q là tập con g mục tie nh trực giao đối với g. Nếu xem u∈L(M) là một đẳng cấu tuyến tính từ Rn lên Tx(M
trong L(M), gồm nhữn âu tuyến tí
), thì u∈Q khi và chỉ khi
,
( ξ ξ )' = g ( u ξ , v ξ )' với mọi ξ , ξ ' ∈ Rn. Khi đó Q tạo thành phân thớ con thu hẹp trong L(M) trên M với nhóm cấu trúc O(n).
Phân thớ Q được gọi là phân thớ mục tiêu trực chuẩn trên M, được ký hieọu l
2.4- Thí dụ: Phân thớ ke
hân thớ chính, F là đa tạp mà G tác động bên trái nó:
à O(M), Mỗi phần tử của O(M) là một mục tiêu trực chuẩn.
át hợp.
Giả sử P(M,G) là p
F
G × ∋ ( a , ξ ) → a ξ ∈ F. Ta xây dựng phân thớ kết hợp F(M,F,G,P) với P, với thớ tiêu chuẩn F.
Trên tích các đa tạp P x F ta định nghĩa tác động bên phảicủa G như sau: Phần từ a∈G biến (u,ξ)∈P x F thành (ua,a-1ξ)∈ P x F. Không gian thương cuûa P
x F Ỉ M biến (u,ξ) thành π(u) cảm sinh ánh xạ πE được gọi là pheùp
x F đối với phép toán nhóm được ký hiệu E = P x aF. Ta đưa cấu trúc khả vi vào E.
Ánh xạ P
chiếu từ E lên M. Với mỗi x∈M. tập hợp πE−1( x ) được gọi là một thớ trong E treân x.
Mỗi x∈M có lân cận U sao cho π-1(u) đẳng cự với U x G. Nếu đồng x G, ta thấy rằng tác động của G trên π-1(U) x F bên phải, được cho như sau: (x,a,ξ) 6(x,ab,b ξ) với (x,a,ξ)∈U x G x F và b ∈G.
ra: Phép đẳng cự π (U)≈U x G cảm sinh phép nhất π-1(U) với U
-1
Từ đó suy -1 đẳng cự
UxF
E−1( U ) ≈
π . Bởi vậy, ta đưa cấu trúc khả vi vào E với đòi hỏi πE−1( U )
ẳng cự là một tập hợp con mở trong E vi phôi với U x F đối với phép đ
UxF
E−1( U ) ≈
π . Phép chiếu πE khi đó là ánh xạ khả vi từ E lên M.
Ta gọi E(M,F,G,P) là phân thớ trên cơ sở M với thớ tiêu chuẩn F và nhóm cấu trúc G, kết hợp với phân thớ chính P.
Thiết diện của phân thớ E(M,F,G,P) là ánh xã ξ: M Ỉ E sao cho πE.σ là một phép biến đổi đồng nhất trong M. Đối với P(M,G) thiết diện σ: M Ỉ P tồn tại khi và chỉ khi P là phân thớ tầm thường.