Dạng Một số bài toán suy luận liên quan đến số nguyên tố hay hợp số

Ví dụ 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố lẻ p đều không tồn tại các số nguyên dương m; n thoả mãn điều kiện 1 = 12 + 12

p m n .

Lời giải Theo giả thiết p 2. Giả sử 1 12 12

p= m +n hay là m n2 2 =p m( 2 +n2).

Suy ra m n p2 2 . Do p nguyên tố nên mn p và vì thế m p hoặc n p . Kết hợp với m n2 2 =p m( 2+n2) suy ra m2+n p2 . Do đó m p và n p . Suy ra mp; np. Khi đó ta được 1 12 12 12 12 22

p=m +n  p +p =p . Điều này dẫn đến p 2 . Mâu thuẫn với p là số nguyên tố lẻ.

Vậy với mọi số nguyên tố lẻ p đều không tồn tại các số nguyên dương m; n thoả mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ 2. a) Hãy chỉ ra một bộ bốn số nguyên dương phân biệt mà tổng ba số bất kì trong bốn số đó là một số nguyên tố.

b) Chứng minh rằng không tồn tại năm số nguyên dương phân biệt mà tổng ba số bất kì trong chung là một số nguyên tố.

Lời giải a) Xét bộ số (1; 5; 7; 11) ta có

1 5 7 13; 1 5 11 17; 1 7 11 19; 5 5 11 23+ + = + + = + + = + + =

Mà 13; 17; 19; 23 là các số nguyên tố. Do đó (1; 5; 7; 11) là một bộ số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

b) Ta xét các trường hợp sau.

+ Nếu trong năm số tự nhiên phân biệt này có ba số chia cho 3 có cùng số dư. Khi đó tổng ba số đó chia hết cho 3 và tổng này lớn hơn 3 nên tổng đó là hợp số.

+ Nếu trong năm số tự nhiên phân biệt này có ba số khi chia cho 3 có số dư khác nhau. Khi đó số dư là 0; 1; 2 và tổng ba số đó lớn hơn 3 nên tổng đó chia hết cho 3 hay tỏng đó là hợp số.

Như vậy với 5 số tự nhiên bất kì ta luôn chọn được ba số mà tổng của chúng là hợp số.

Vậy không tồn tại bộ năm số tự nhiên phân biệt thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ 3. Cho số nguyên tố p 5 . Chứng minh rằng tồn tại số có dạng 111...1 chia hết cho p.

Lời giải Xét dãy số

p c/s 1

1;11;111;...;111..1. Giả sử trong dãy số trên không có số nào chia hết cho p. Khi đó chia các số trong dãy trên cho p ta được dãy các số dư là 1; 2;...; p 1− . Mà khi chia p số

p c/s 1

1;11;111;...;111...1 cho p thì ta được p số dư. Như vậy theo nguyên lí Dirichlet thì trong p số dư trên có hai số dư bằng nhau. Giả sử hai số khi chia cho

p có số dư giống nhau là

m c/s 1

111...1 và

n c/s 1

111...1 với mn là các số nguyên dương. Khi

đó ta được n

m c/s 1 n c/s 1 m n c/s 1 n c/s 0 m n c/s 1

111...1 111...1 111...1000...0 111...1.10

− −

− = = chia hết cho p. Do p là số

nguyên tố lớn hơn 5 nên (p;10n)=1, do đó

m n c/s 1

111...1

−

chia hết cho p.

Mà 1 m n p −  nên

m n c/s 1

111...1

−

cũng nằm trong dẫy số trên. Điều này dẫn đến mâu thuẫn với giả sử hay điều giả sử là sai. Do vậy luôn tồn tại số có dạng 111…1 chia hết cho số nguyên tố p.

Ví dụ 4. Chứng minh rằng trong 12 số nguyên tố phân biệt luôn chọn ra được sáu số nguyên tố kí hiệu là p ; p ; p ; p ; p ; p1 2 3 4 5 6thỏa mãn (p1−p2)(p3−p4)(p4+p6) chia hết cho 1800.

Lời giải

Vì ba số nguyên tố đầu tiên là 2, 3, 5 nên trong 12 số nguyên tố trên có ít nhất 9 số nguyên tố lớn hơn 5.

• Vì các số nguyên tố lớn hơn 3 nên 9 số nguyên tố trên chia 3 dư 1 hoặc dư 2.

Theo nguyên lí Dirichlet thì tồn tại ít nhất 5 số khi chia cho 3 có cùng số dư. Mà 5 số này không chia hết cho 5 nên trong 5 số này tồn tại ít nhất hai số có cùng số dư khi chia cho 5. Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử hai số đó là p1 và p2, khi đó ta được (p1−p2) 5. Ngoài ra hiển nhiên ta còn có (p1−p2) 3 và (p1−p2) 2. Nên ta suy ra được (p1−p2) 30.

• Xét 7 số nguyên tố còn lại sau khi đã lai đi năm số chia cho 3 có cùng số dư. Khi đó theo nguyên lí Dirichlet luôn tồn tại 4 số có cùng số dư ki chia cho 3. Xét 4 số đó trong phép chia cho 5 ta có các trường hợp sau.

+ Nếu trong bốn số đó mà ta có (p3−p4) 5 và hiển nhiên (p3−p4) (3, p3−p4) 2. Do ta có (2, 3, 5)=1 nên suy ra (p3−p4) 30. Đến đây ta chỉ cần lấy hai số lẻ p5 và

p6 để có (p5+p6) 2. Từ đó ta được (p1−p2)(p3−p4)(p4 +p6) chia hết cho 1800.

+ Nếu trong bốn số đó khi chia 5 có số dư theo thứ tự là 1; 2; 3; 4. Khi đó ta chọn được hai số p5 chia 5 dư 1 và p6 chia 5 dư 4. Từ đó ta được (p5+p6) 5. Đồng thời khi đó hai số còn lại là p3 và p4 thỏa mãn (p3−p4) 3. Chú ý rằng (p5+p6) 2 và

(p3−p4) 2. Do đó suy ra (p5+p6) 10 và (p3−p4) 6

Vậy ta cũng được (p1−p2)(p3−p4)(p4+p6) chia hết cho 1800.

Do đó với 12 số nguyên tố phân biệt ta chọn được sáu số p ; p ; p ; p ; p ; p1 2 3 4 5 6thỏa mãn điều kiện (p1−p2)(p3−p4)(p4+p6) chia hết cho 1800.

Ví dụ 5. Cho tập A=1; 2; 3;...;16. Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ nhất sao cho trong mỗi tập con gồm k phần tử của A đều tồn tại hai số phân biệt a, b mà a2+b2 là một số nguyên tố.

Lời giải

Nếu a, bchẵn thì a2+b2 là hợp số. Do đó nếu tập con X của A có hai phần tử phân biệt a, b mà a2+b2 là một số nguyên tố thì X không thể chỉ chứa các số chẵn. Suy ra k 9 . Ta chứng tỏ k 9= là giá trị nhỏ nhất cần tìm. Điều đó có ý nghĩa là với mọi tập con X gồm 9 phần tử bất kỳ của A luôn tồn tại hai phần tử phân biệt a, b mà a2+b2 là một số nguyên tố. Để chứng minh khẳng định trên ta chia tập A thành các cặp hai phần tử phân biệt a, b mà a2+b2 là một số nguyên tố, ta có tất cả 8 cặp ( ) ( ) ( ) (1; 4 , 2; 3 , 5; 8 , 6;11 , 7;10 , 9;16 , 12;13 , 14;15) ( ) ( ) ( ) ( ). Theo nguyên lý Dirichlet thì 9 phần tử của X có hai phần tử cùng thuộc một cặp và ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 6. Cho năm số nguyên dương đôi một phân biệt sao cho mỗi số trong chúng không có ước số nguyên tố nào khác 2 và 3. Chứng minh rằng trong năm số đó tồn tại hai số mà tích của chúng là một số chính phương.

Lời giải

Gọi các số đã cho là a ; a ; a ; a ; a1 2 3 4 5 vì các số này không có ứơc số nguyên tố nào khác 2 và 3 nên các số này đều có dạng ai =2 .3xi yi với x ; yi i là các số tự nhiên.

Xét 5 cặp số (x ; y , x ; y , x ; y , x ; y , x ; y1 1) ( 2 2) ( 3 3) ( 4 4) ( 5 5) mỗi cặp số này nhận giá trị một trong bốn trường hợp sau (số chẵn; số chẵn), (số chẵn; số lẻ), (số lẻ; số lẻ) và (số lẻ; số chẵn) nên theo nguyên lí Dirichlet thì có ít nhất 2 cặp số trên nhận cùng một dạng giá trị. Không mất tính tổng quát khi giả sử (x ; y , x ; y1 1) ( 2 2) cùng nhận giá trị dạng( số chẵn; số lẻ). Khi đó x1+x2 và y1+y2 đều là số chẵn nên

1 1 2 2 1 2 1 2

x y x y x x y y

1 2

a .a =2 .3 .2 .3 =2 + .3 + là một chính phương. Do đó ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 7. Cho n 3 số nguyên dương a ; a ; a ;...; a1 2 3 n đôi một khác nhau. Tìm giá trị lớn nhất của n sao cho tổng của ba số bất kỳ trong n số đó luôn là một số nguyên tố.

Lời giải

Dễ thấy với n 3= ta luôn tìm được các số nguyên dương thỏa mãn yêu cầu bài toán. Với n4 ta xét các trường hợp sau:

• Trường hợp 1. Với n=4, ta tìm được bốn số nguyên dương 1, 3, 7, 9 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

• Trường hợp 2. Với n 5 , ta sẽ chứng minh luôn tìm được ba số có tổng lớn hơn 3 và chia hết cho 3.

Thật vậy, một số nguyên khi chia cho 3 có thể có số dư là hoặc 0 hoặc 1 hoặc 2.

Theo nguyên lý Dirichlet thì trong 5 số nguyên dương bất kỳ có ít nhất hai số có cùng số dư khi chia cho 3.

+ Nếu có nhiều hơn 2 số có cùng số dư khi chí cho 3 thì có ít nhất 3 số có cùng số dư khi chia cho 3. Chọn 3 số này thì tổng của chúng chia hết cho 3.

+ Nếu có đúng 2 số có số dư r với r0;1; 2 thì loại hai số này, khi đó ta còn lại 3 số có số dư khác r. Theo nguyên lý Dirichlet thì có ít nhất 2 số có cùng số dư khác r và một số còn lại có số dư khác số dư của hai số này. Như vậy trong 5 số đó luôn tồn tại 3 số có 3 số dư khác nhau khi chia cho 3. Chọn 3 số này thì tổng của chúng chia hết cho 3.

Do đó trong 5 số nguyên dương ta luôn chọn được 3 số có tổng chia hết cho 3 và tổng này lớn hơn 3 nên nó không phải là số nguyên tố. Từ đó suy ra n 5 thì không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy giá trị lớn nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán là n=4.

Bài 8. Xét 20 số nguyên dương đầu tiên 1, 2, 3,, 20. Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ nhất có tính chất: Với mỗi cách lấy ra k số phân biệt từ 20 số trên, đều lấy được hai số phân biệt a và b sao cho a b+ là một số nguyên tố.

Lời giải

Xét tập hợp 2; 4; 6; 8;10;12;14;16;18; 20, ta thấy tổng của hai phần tử bất kì của tập hợp này đều không phải là số nguyên tố. Do đó k 11 , ta sẽ chứng minh k 11= là số nhỏ nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Thật vậy, ta chia tập hợp A=1; 2; 3;...; 20 thành 10 cặp số sau:

( ) (1, 2 , 3,16 , 4,19 , 5,6 , 7,10 , 8,9 , 11, 20 , 12,17 , 13,18 , 14,15) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Tổng của hai số trong mỗi cặp số trên là số nguyên tố. Khi đó mỗi tập con của A có 11 phần tử thì tồn tại ít nhất hai phần tử thuộc cùng vào một trong 10 cặp số trên. Suy ra trong A luôn có hai phần tử phân biệt có tổng là một số nguyên tố.

Ví dụ 9. a) Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên tố a, m, n thỏa mãn điều kiện a2=m2+n . 2

b) Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên tố a, b, m, n, p thỏa mãn điều kiện a2+b2 =m2 +n2+p . 2

Lời giải

a) Giả sử tồn tại các số nguyên tố a, b, m thỏa mãn a2 =m2+n . Khi đó dễ thấy a là 2 số lẻ, như vậy trong hai số m và n có một số lẻ và một số chẵn. Không mất tính tổng quát ta giả sử m là số chẵn, do m là số nguyên tố nên ta suy ra được m=2. Từ đó ta được a2 = +4 n2 a2−n2 = 4 (a n a n− )( + )=4

Chú ý rằng a và n là các số nguyên tố và a n nên từ trên ta được   − =

 + =



a n 1 a n 4 Do đó ta được = 5

a 2, không phải là số nguyên tố,

Vậy không tồn tại các số nguyên tố a, m, n thỏa mãn yêu cầu bài toán.

b) Giả sử tồn tại các số nguyên tố a, b, m, n, p thỏa mãn a2+b2 =m2+n2+p . Nhận 2 thấy mỗi số ở vế trái khác mỗi số ở vế phải vid giả sử nếu p b , khi đó ta có =

= +

2 2 2

a m n . Tuy nhiên không tồn tại các số nguyên tố thỏa mãn a2 =m2+n . 2 Ta xét các trường hợp sau:

• Trong hai số a và b có một số chẵn và một số lẻ, không mất tính tổng quát ta giả sử a là số lẻ. Khi đó do a là số nguyên tố nên ta được a 2= . Do b là số nguyên tố lẻ nên b chia 4 dư 1. Từ đó ta được 2 a2+b chia 4 dư 1. Mặt khác do 2 a2+b là số lẻ 2 nên m2 +n2 +p là số lẻ nên m, n, p đồng thời là số lẻ. 2

Khi đó m ; n ; p chia 4 cùng có số dư là 1 nên 2 2 2 m2 +n2 +p chia 4 có số dư là 3. 2 Do đó trong trường hợp này không tồn tại các số nguyên tố thỏa mãn.

• Cả hai số nguyên tố a và b đều là số lẻ, khi đó đặt a 2m 1; b 2n 1 với m và = + = + n là số nguyên dương. Khi đó ta có

( ) ( ) ( ) ( )

+ = + 2+ + 2 = + + + +

2 2

a b 2m 1 2n 1 4m m 1 4n n 1 2

Suy ra a2+b chia 8 có số dư là 2. 2

Lại có a2+b là số chẵn nên 2 m2 +n2 +p là số chẵn, do đó trong ba số m, n, p có 2 một số chẵn và hai số lẻ hoặc cả ba số m, n, p đều là số chẵn.

+ Nếu trong ba số m, n , p có một số chẵn và hai số lẻ, ta giả sử p là số chẵn nên p 2= . Khi đó m và n là số nguyên tố lẻ, suy ra m2+n2 chia 8 có số dư là 1, suy ra

+ +

2 2 2

m n p chia 8 có số dư là 6.

+ Nếu cả ba số m, n, p đều là số chẵn, khi đó m n p 2, suy ra = = = m2+n2+p2 =12 nên chia 8 có số dư là 4. Như vậy a2+b chia 8 có số dư là 2 còn 2 m2+n2+p chia 8 2 có số dư là 4 hoặc 6. Do đó trong trường hợp này không tồn tại các số nguyên tố thỏa mãn.

Vậy không tồn tại các số nguyên tố a, b, m, n, p thỏa mãn a2+b2 =m2+n2+p . 2 MỘT SỐ BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Bài 1. Chứng minh các số sau là hợp số

a) 1211+1317+1719 b) 1 23+ 23+2929+25125

c) 4525+3715 d) 95354+5125 Bài 2. Chứng minh các số sau là hợp số

a) A 21= 123+23124+25125+27126 b) C 10= 8+107+7 c) C 17= 5+244−1321 d) D 425= 25−3715

Bài 3. Các số sau đây là số nguyên tố hai hợp số

a) A 1 2= + 7+311+513+717+1119+1323 b) B 195= 354−15125 c) C 2= 22 n 1+ +3 với n N d) D 2= 24 n 1+ +7 với n N Bài 4. Chứng minh các số sau là hợp số.

a) abcabc 7+ b) abcabc 22+ c) abcabc 39+ Bài 5. Chứng minh rằng các số sau trong dãy số dưới đây là hợp số:

2019 c/s 1 2019 c/s 1

121;121;112111;...;111...12111...1

Bài 6. Với mỗi số tự nhiên n các số sau là số nguyên tố hai hợp số

a) A=(n 1 n+ ) ( 2+ +n 7) b) B=n2−1 Bài 7. Nếu p là số nguyên tố thì

a) A p= 2+ +p 2 là số nguyên tố hay hợp số.

b) B p= 2 +2000 là số nguyên tố hay hợp số

Bài 8. Tìm số nguyên tố p sao cho các số sau cũng đồng thời là số nguyên tố a) p 2+ và p 10+ b) p 4+ và p 8+ c) p 10+ và p 20+ d) p 8+ và p 10+ Bài 9. Tìm số nguyên tố p, sao cho các số sau đồng thời là số nguyên tố a) p 6; p 8; p 24; p 32+ + + +

b) p 6; p 8; p 12; p 24+ + + +

Bài 10. Tìm số nguyên tố p sao cho p2−4 và p2 +4 đều là các số nguyên tố.

Bài 11. Chứng minh rằng 200p2−1 và 200p2+1 không thể đồng thời là số nguyên tố với p là một số nguyên tố.

Bài 12. Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố a, b, c sao cho abc ab bc ca + + . Bài 13. Tìm tất cả các số nguyên tố x, y thỏa mãn:

a) 3x2 + =1 19y2 b) 5x2 −11y2 =1 c) x2−12y2 =1 Bài 14. Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, chữ số hàng nghìn bằng chữ số hàng đơn vị, chữ số hàng trăm bằng chữ số hàng chục và số đó viết được dưới dạng tích của ba số nguyên tố liên tiếp

Bài 15.

a) Tìm các số nguyên số p để 2p 1+ là lập phương của một số tự nhiên.

b) Tìm các số nguyên tố p để 13p 1+ là lập phương của một số tự nhiên.

Bài 16. Tìm tất cả các số có hai chữ số ab với a b sao cho ab

a b− là số nguyên tố.

Bài 17. Tìm các số tự nhiên m và n sao cho m2+2 là số nguyên tố và 2m2 =n2 −2. Bài 18. Tìm tất cả các số nguyên tố p và q thỏa mãn p3+q3+ =1 p q2 2.

Bài 19. Tìm tất cả các số nguyên tố p để 4p2 +1 và 6p2+1 cũng là số nguyên tố.

Bài 20. Tìm số nguyên tố p, q thỏa mãn điều kiện p2 =8q 1 . +

Bài 21. Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho 2p+7p2 cũng là số nguyên tố.

Bài 22. Tìm dãy số tự nhiên nhiều số hạng nhất mà mỗi số hạng là tổng của hai số nguyên tố.

Bài 23. Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho trong dãy n 1; n 2;...; n 10+ + + có nhiều số nguyên tố nhất.

Bài 24. Tìm số nguyên dương n sao cho tất cả các số sau đây đều là nguyên tố:

n 1; n 5; n 7; n 13; n 17; n 25; n 37+ + + + + + + Bài 25. Tìm các số nguyên tố x, y thỏa mãn x2−2y2 =1

Bài 26. Tìm các số tự nhiên m và n để P 3= 3m2+6n 61− +4 là số nguyên tố.

Bài 27. Tìm các số nguyên tố a, b, c, d, e thỏa mãn a4+b4+ +c4 d4+e4 =abcde. Bài 28. Tìm năm số khác nhau trong dãy tính (* * * * * * : * *+ + ) =* *. Biết rằng năm số đó thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:

+ Trong ba số hạng trong ngoặc thì có một số là bội chung nhỏ nhất của hai số còn lại.

+ Số chia là một số nguyên tố và là ước chung lớn nhất của hai số còn lại nói trên.

Bài 29. Tìm các số tự nhiên lớn nhất có hai chữ số biết rằng:

a) Số đó có ít ước số nhất.

b) Số đó có đúng 12 ước.

Bài 30. Tìm số tự nhiên A nhỏ nhất biết rằng:

a) Số A có đúng 7 ước số.

b) Số A có đúng 15 ước số.

Bài 31. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khi phân tích ra thừa số nguyên tố chỉ chứa các thừa số 2 và 5, biết rằng khi chia số đó cho 2 ta được một số chính phương.

Bài 32. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khác 0 sao cho khi chia nó cho 2 thì được một số chính phương và khi chia nó cho 3 thì được lập phương của một số tự nhiên.

Bài 33. Cho số tự nhiên N có dạng p .q .r trong đó p, q, r là các số nguyên tố khác x y z nhau và x, y, z là các số tự nhiên khác 0 thỏa mãn pq r 3− = và pr q 9− = . Biết rằng

N N N

; ;

p q r tương ứng có số ước ít hơn số ước của N là 20, 12, 15. Tìm số tự nhiên N.

Bài 34. Cho số tự nhiên N p .q= x y trong đó p, q là các số nguyên tố khác nhau và x, y là các số tự nhiên khác 0. Biết rằng N có 15 ước số. Hỏi 2 N có bao nhiêu ước số. 3 Bài 35. Một số tự nhiên N khi phân tích ra thừa số nguyên tố chỉ chứa hai thừa số.

Biết rằng N 2 có 21 ước số. Hỏi N 3 có bao nhiêu ước số.

Bài 36. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có bốn chữ số sao cho nó có đúng 14 ước tự nhiên thỏa mãn chữ số tận cùng của một trong các ước nguyên tố của số ban đầu là 3.

Bài 37. Tìm tất cả các số tự nhiên n lớn hơn 1 biết rằng n có đúng 4 ước tự nhiên và n 1+ gấp 4 lần tổng hai được khác 1 và n.

Bài 38. Tồn tại hay không các số nguyên tố p và q thỏa mãn p3+q3 =2019. Bài 39. Gọi n là số nguyên dương thỏa mãn 2n có 8 ước dương, 3n có 12 ước dương. Hãy xác định số ước dương của 12n.

Bài 40. Tìm các số nguyên tố p sao cho số A 1010n= 2 +2010 n p( + )+10101954 với n là

số tự nhiên có thể viết được dưới dạng hiệu của hai số chính phương.

Bài 41. Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3, sao cho 14p + 1 cũng là số nguyên tố thì 7p + 1 là bội số của 6.

Bài 43. Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 thỏa mãn 10p 1+ cũng là số nguyên tố.

Chứng minh rằng 5p 1+ chia hết cho 6.

Bài 44. Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thỏa mãn ab cd= . Chứng minh rằng + + +

n n n n

a b c d là một hợp số.

Bài 45. Cho số tự nhiên k 1 . Chứng minh rằng tồn tại một dãy số gồm k số tự nhiên liên tiếp luôn là hợp số.

Bài 46. Cho dãy số tự nhiên 1, 2, 3, 4, ..., 37. Có bao nhiêu cách sắp xếp 37 số tự nhiên của dãy số đó thành các nhóm mà tổng các số của các nhóm bằng nhau.

Bài 47. Có bao nhiêu bộ số tự nhiên (x; y; z) thỏa mãn điều kiện xyz 3= 2016 với x   +y z x y.

Bài 48. Có 6 số tự nhiên phân biệt a, b, c, d, e, f khác 0. Ta tính tổng mỗi cặp trong sáu số đó. Hỏi trong các tổng được tạo thành có nhiều nhất bao nhiêu số nguyên tố khác nhau.

Bài 49. Sắp xếp các số tự nhiên từ 1 đến 20 lên một đường tròn sao cho hai số liền kề có tổng là một số nguyên tố.

Bài 50. Cho a, b, c là các số nguyên dương nguyên nguyên tố cùng nhau thỏa mãn 1+ =1 1

a b c. Chứng minh a b là số chính phương. +

Bài 51. Tìm tất cả các số tự nhiên n thỏa mãn 2n 1; 3n 1 là các số chính phương + + và 2n 9 là số nguyên tố. +

Bài 52. Cho số tự nhiên a nguyên tố cùng nhau với 210. Biết rằng khi chia a cho 210 thì ta được số dư r thỏa mãn 1 r 120  . Chứng minh rằng r là số nguyên tố.

Bài 53. Tìm các số tự nhiên n khác 0 thỏa mãn điều kiện với mội số tự nhiên a là ước của n thì a 2+ cũng là ước của n 2+ .

Bài 54. Tìm tất cả các chữ số a, b, c sao cho abc; acb; bac; bca; cab; cba đều là số nguyên tố.

Bài 55. Tìm tất cả các cặp số nguyên tố ( )p; q thỏa mãn pq−qp=79.