3.2 Sai lƯm do khổng phƠn biằt ữủc iãu kiằn cƯn, iãu kiằn ừ
3.2.2 CĂc vẵ dử minh hồa
B i 1. Cho h m số y = x4 +mx. Tẳm m º h m số Ôt cỹc tiºu tÔi x = 0.
Lới giÊi sai lƯm khi tẳm cỹc trà.
TX: D = R y0 = 4x3 +m;y00 = 12x2.
H m sè ¤t cüc tiºu t¤i x = 0 khi v ch¿ khi
y0(0) = 0 y00(0) > 0
(*) Khi õ ta tẵnh ữủc:
1. y0(0) = 0 khi v ch¿ khi 4.0 +m = 0 hay m = 0. 2. y00(0) = 0.
Ta cõ y00(0) = 0 trong khi yảu cƯu cừa hằ l y00(0) > 0. Vêy h m số trản khổng cõ cỹc tiºu tÔi x = 0.
Nhên x²t 3.4. Những thỹc chĐt khi m = 0 thẳ h m số trản văn cõ cüc tiºu t¤i x = 0
PhƠn tẵch sai lƯm.
Trong lới giÊi trản bÔn hồc sinh õ Â sỷ dửng tẵnh chĐt n y: x = 0 l iºm cüc tiºu suy ra
y0(0) = 0 y00(0) > 0
v coi nõ l úng. (Ơy chẵnh l hằ (*) m bÔn õ lêp ð trản).
TĂc giÊ Â thứa nhên mằnh ã: "H m số cõ iºm cỹc tiºu tÔix = x0 khi v ch¿ khi
y0(x0) = 0 y00(x0) > 0
" l óng.
iãu gẳ khián tĂc giÊ dạ mưc sai lƯm trản? Nguyản nhƠn l nơm ð hai iãu kiằn cƯn v ừ Â nảu trong phƯn lỵ thuyát. iãu kiằn ừ
Khõa luên tốt nghiằp Ôi hồc TO THÀ NH T M
khổng sỷ dửng "khi v ch¿ khi" m ch¿ sỷ dửng "náu...thẳ" trong mằnh
ã. Tực l mằnh ã trản ch¿ úng vợi chiãu thuên, cỏn ngữủc lÔi tực l
"mằnh ã Êo" cừa nõ thẳ khổng kh¯ng ành ữủc l nõ úng. Theo nhữ vêy thẳ bÔn hồc sinh trản  hiºn nhiản coi mằnh ã Êo cừa mằnh
ã trản l úng v Ăp dửng bẳnh thữớng. Chẵnh vẳ vêy m  dăn án sai lƯm Ăng tiác khi tẳm iãu kiằn cừa tham số m trong b i toĂn cỹc trà.
Vêy chúng ta cõ thº ữa ra mởt kh¯ng ành nhữ sau: Khổng ữủc sỷ dửng mằnh ã sau (mằnh ã Êo) cừa iãu kiằn ừ º h m số Ôt cỹc trà v o tẳm cỹc trà:
Náu x0 l iºm cỹc Ôi thẳ
y0(x0) = 0 y00(x0) < 0
.
Náu x0 l iºm cỹc tiºu thẳ
y0(x0) = 0 y00(x0) > 0
. Líi gi£i óng.
Ta câ hai c¡ch º gi£i b i to¡n d¤ng nh÷ n y:
CĂch 1. Sỷ dửng bÊng bián thiản.
CĂch 2. Tẳm tham số m thọa mÂn hai iãu kiằn nõi trản.
Sau Ơy, chúng ta s³ trẳnh b y cĂch sỷ dửng bÊng bián thiản.
Bữợc 1. Tẵnh y0 = 4x3 +m.
Bữợc 2. H m số Ôt cỹc tiºu tÔi x = 0 suy ra y0(0) = 0 khi v ch¿
khi 4.0 +m = 0 hay m = 0.
Bữợc 3. Vợi m = 0 ta cõ y0 = 4x3;y0 = 0 khi v ch¿ khi x = 0. Vợi x = 0 suy ra y = 0 Ta cõ bÊng bián thiản
x
y0
y
−∞ 0 +∞
− 0 +
+∞
+∞
0 0
+∞
+∞
Düa v o BBT ta th§y h m sè ¤t cüc tiºu t¤i x = 0;yCT = 0 Vêy vợi m = 0 thẳ h m số Ôt cỹc tiºu tÔi x = 0.
B i 2. Tẳm m º h m số y = x2 + 2x+ m
x+ 2 (C) ¤t cüc tiºu t¤i x = 2 Líi gi£i sai l¦m.
TX: D = R\{-2}
y0 = 1− m
(x+ 2)2;y00 = 2m (x+ 2)3 º h m số Ôt cỹc tiºu tÔi x = 2 thẳ
y0(2) = 0 y00(2) > 0
⇒
1− m 16 = 0 2m
64 > 0
⇒m = 16
Khi m = 16, ta câ: y = x+ 16
x+ 2, suy ra y0 = 1− 16
(x+ 2)2 y0 = 0 khi v ch¿ khi x = 2 ho°c x = −6
BBT
x
y0
y
−∞ −6 2 +∞
+ 0 − 0 +
−∞
−∞
C C
CT CT
+∞
+∞
Vêy m = 16 l giĂ trà cƯn tẳm.
Khõa luên tốt nghiằp Ôi hồc TO THÀ NH T M
PhƠn tẵch sai lƯm.
Lới giÊi trản gỗm hai bữợc nhữ sau:
1. Gi£ sû h m sè ¤t cüc tiºu t¤i x = 2 suy ra y0(2) = 0;y00(2) > 0, suy ra m = 16.
2. Vợi m = 16, kiºm tra ữủc h m số Ôt cỹc tiºu tÔi x = 2 (nhớ bÊng bián thiản).
CÊ hai bữợc n y ãu cõ nhỳng sai lƯm. Dạ thĐy rơng, ð bữợc 2, tĂc giÊ Â v³ bÊng bián thiản sai. Tuy nhiản sai lƯm trƯm trồng nhĐt nơm trong bữợc 1.
º thĐy ró sai lƯm n y, ta "l m tữỡng tỹ" vợi b i toĂn sau:
Tẳm m º h m số y = mx4 + 1 (C) Ôt cỹc tiºu tÔi x = 0. T÷ìng tü líi gi£i cõa b i to¡n ¦u, ta l m nh÷ sau:
Ta cõ y0 = 4mx3;y00 = 12mx2. H m số Ôt cỹc tiºu tÔi x = 0 nản y0(0) = 0;y00(0) > 0, iãu n y dăn án khổng cõ giĂ trà n o cừa mthọa mÂn. (Do õ khổng cƯn l m bữợc 2)
Tuy nhiản, dạ thĐy rơng, h m số trản s³ Ôt cỹc tiºu tÔi x = 0 vợi mội số dữỡng m. Nhữ vêy lới giÊi cừa b i toĂn ban Ưu sai ð chộ n o?
º trÊ lới cƠu họi n y, trữợc hát ta xem lÔi hai iãu kiằn cƯn v ừ º h m số Ôt cỹc trà ð phƯn lỵ thuyát.
Tứ õ cõ thº thĐy, sai lƯm cừa lới giÊi trản nơm ð chộ: tĂc giÊ khổng phƠn biằt ữủc Ơu l iãu kiằn cƯn, Ơu l iãu kiằn ừ. Ơy l sai lƯm m nhiãu hồc sinh thữớng mưc phÊi khi giÊi b i toĂn " tẳm m º h m số Ôt cỹc Ôi (cỹc tiºu) tÔi mởt iºm".
Líi gi£i óng.
GiÊ sỷ h m số Ôt cỹc tiºu tÔi x = 2. Khi õ, theo iãu kiằn cƯn
cõa cüc trà, ta câ y0(2) = 0, suy ra m = 16.
Vợi m = 16, ta kiºm tra ữủc h m số Ôt cỹc tiºu tÔi x = 2 (cõ thº dũng bÊng bián thiản ho°c iãu kiằn ừ cừa cỹc trà, tuy nhiản nản dũng "iãu kiằn ừ" cho nhanh).
Vêy m = 16 l giĂ trà duy nhĐt thọa mÂn yảu cƯu b i toĂn.
Khõa luên tốt nghiằp Ôi hồc TO THÀ NH T M
Kát luên
Khõa luên "B i toĂn cỹc trà cừa h m số" gỗm cĂc nởi dung chẵnh sau:
- ữa ra mởt số phữỡng phĂp cỡ bÊn tẳm cỹc trà cừa h m số, cử thº l : phữỡng phĂp Ôo h m, sỷ dửng bĐt ¯ng thực, phữỡng phĂp miãn giĂ trà cừa h m số, phữỡng phĂp sỷ dửng h m lỗi, h m lóm, phữỡng phĂp tồa ở, vectỡ.
- Nảu mởt số sai lƯm dạ g°p phÊi khi giÊi b i toĂn tẳm cỹc trà cừa h m số. PhƠn tẵch v ữa ra cĂch khưc phửc º trĂnh nhỳng sai lƯm õ. ỗng thới ữa ra lới giÊi úng.
Vẳ thới gian cõ hÔn nản nhiãu phữỡng phĂp tẳm cỹc trà cừa h m số chữa ữủc ã cêp án. Kẵnh mong ữủc sỹ õng gõp cừa thƯy cổ, bÔn b± º khõa luên ữủc ho n ch¿nh hỡn.