Phương pháp chuyển vị cưỡng bức trong phân tích bà- 123docz.net

CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP CHUYỂN VỊ CƯỠNG BỨC ĐỐI VỚI BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH ĐÀN HỒI CỦA THANH

2.2 Phương pháp chuyển vị cưỡng bức trong phân tích bài toán ổn định của

2.2.1 Ổn định thanh chịu nén Để hiểu được ổn định của thanh chịu nén, ta có thể nghiên cứu bài toán thanh theo lý thuyết dầm cột (Beam –Columns

Theory) của Timoshenko. Hình 2.9 Thanh chịu nén uốn

Xét dầm đơn giản chiều dài l chịu tác dụng đồng thời của tải trọng ngang Q và tải dọc trục P như hình 2.9. Ta có thể xác định được mômen ở phía bên trái và phía phải của dầm trên hình 2.9 lần lượt là:

  

Q l c

M Qcx Py, M l x Py

l l

      (2.43) trong đó y là hàm độ võng của dầm.

Lời giải của Timoshenko cho ta hai hàm độ võng tương ứng với hai đoạn bên trái và bên phải Q.

Qsin(kc) Qc

y sin(kx) x 0 x (l c)

Pk sin(kl) Pl

     (2.44a)

Qsin(k(l c)) Q(l c)

y sin(k(l x)) (l x) (l c) x l

Pk sin(kl) Pl

 

       (2.44b)

A B

P Q P x

 

A B

Trường hợp riêng khi tải trọng đặt chính giữa của dầm, trục võng sẽ đối xứng và ta chỉ cần xét đoạn dầm ở phía trái tải trọng. Lúc này muốn tìm độ võng lớn nhất, chỉ việc thay x c l / 2  vào phương trình (2.44) ta được:

x l/2

Q kl kl

y tg

2Pk 2 2



   

        (2.45) Để thấy rõ ảnh hưởng của lực dọc P tới độ võng của dầm ta dùng biến đổi sau:

kl l P

u 2  2 EI (2.46) Khi đó công thức (2.45) trở thành

   

3 3

x l/2 3

3 tg u u

Ql Ql

y (u)

48EI u 48EI



      (2.47)

Thừa số thứ nhất Ql3

48EI ở vế phải của phương trình trên biểu thị độ võng của dầm khi chỉ có lực ngang Q tác động. Thừa số thứ hai

   

3 tg u u

(u) u

   biểu thị ảnh hưởng của lực dọc P tới độ võng .

- Khi P nhỏ giá trị u theo phương trình (2.47) là nhỏ và thừa số (u) xấp xỉ bằng đơn vị.

- Khi u / 2 thì (u) tiến tới vô hạn, chuyển vị  của dầm cũng tăng lên vô hạn, ta nói dầm bị mất ổn định. Trong trường hợp này từ phương trình (2.46) ta tìm ra:

2 2

P EI l

  (2.48) Đây chính là trị số lực nén làm cho độ võng của dầm tăng lên vô hạn.

Như vậy, có thể kết luận rằng, khi lực nén P tiến dần tới trị số tới hạn (2.48) thì dù lực ngang có nhỏ đến mấy cũng vẫn gây lên chuyển vị rất lớn. Ta gọi trạng thái này là mất ổn định, trị số tới hạn của lực nén là tải trọng tới hạn với

ký hiệu là Pth.Timoshenko cũng dùng lý thuyết dầm-cột để nghiên cứu ổn định của thanh chịu nén có các điều kiện biên khác nhau.

2.2.2 Phương pháp chuyển vị cưỡng bức Phương pháp chung để đánh giá sự mất ổn định của cơ hệ là đưa hệ ra khỏi vị trí cân bằng ban đầu của nó và kiểm tra xem nó có tồn tại trạng thái cân bằng mới không. Nếu như tìm được trạng thái cân bằng mới khác với trạng thái cân bằng ban đầu thì có thể xem là mất ổn định và lực giữ cho hệ ở trạng thái cân bằng mới này gọi là lực tới hạn, trường hợp ngược lại hệ là ổn định.

Hình 2.10 Thanh chịu nén

Nội dung phương pháp: Để đơn giản trong trình bày nội dung phương pháp không làm mất đi tính tổng quá của bài toán, ta xét thanh chịu nén một đầu ngàm một đầu tự do chịu lực như (hình 2.10). Thanh có trạng thái cân bằng ban đầu là trạng thái chịu nén thẳng đứng. Ở trạng thái cân bằng này thanh bị co ngắn một đoạn là  Pl / EA, EA là độ cứng chịu kéo nén của thanh, E là mô đun đàn hồi của vật liệu, l là chiều dài ban đầu của thanh, P là lực tác dụng.

Để xét cân bằng này của thanh có ổn định hay không ta chọn cho một điểm bất kỳ trên thanh lệch ra khỏi vị trí cân bằng ban đầu một đoạn y0 nào đó. Khi đó thanh sẽ chuyển vị theo đường đàn hồi y(x) và lực P ngoài tác dụng nén còn gây ra mô men uốn:

P 0

M P(yy ) (2.49) P

A l EJ

y0 P

y x

Bây giờ trong thanh có nội lực mô men uốn M và khác với trạng thái ban đầu. Độ co ngắn của thanh thường nhỏ hơn so với chiều dài thanh cho nên để đơn giản ta xem chiều dài thanh sau biến dạng vẫn là l.

Biến dạng uốn của thanh: d y22

  dx (2.50) Lượng cưỡng bức theo phương pháp nguyên lý cực trị Gauss của bài toán này được viết như sau:

 P

Z= MM  dx min (2.51) Chú ý mô men nội lực và mô men ngoại lực luôn khác dấu. Điều kiện cần và đủ để thanh ở trạng thái cân bằng là:

 P

Z= M M dx 0

     (2.52)

hay:  P 22

Z= M M d y dx 0

 

     

 

 (2.53) Sử dụng phép tính biến phân đối với phương trình (2.53) nhận được phương trình cân bằng sau:

 

P 2

d M M

dx 0

   (2.54)

Ta có:

2 2

M EI EId y

    dx (2.55) Thay M (2.55) và MP(2.49) vào phương trình (2.54) ta có:

4 2

d y d y

EI P 0

dx  dx  (2.56) Đây là phương trình vi phân cân bằng của thanh chịu uốn dọc bởi lực P tác dụng ở đầu thanh. Đó là phương trình vi phân thuần nhất không có vế phải. Để giải phương trình vi phân này có nhiều cách giải nhưng trong phần này luận văn trình bày phương pháp chuyển vị cưỡng bức để giải phương trình (2.56).

Phương pháp chuyển vị cưỡng bức nhằm đưa phương trình (2.56) về phương trình có vế phải bằng cách cho một điểm nào đó trong thanh, ví dụ điểm x=x1, một chuyển vị yo:

x x1 0

gy  y 0 (2.57) Đưa bài toán tìm cực trị của phương trình (2.51) với điều kiện ràng buộc (2.57) về bài toán cực trị không ràng buộc bằng cách xây dựng phiếm hàm Lagrange F như sau:

F Z     g min (2.58)

 p  x x1 0

F MM dx  y  y min (2.59) Trong đó  là thừa số Largrange và cũng là ẩn số của bài toán. Từ điều kiện:  p  

F M M dx g 0

       

(2.60) Dùng phép tính biến phân phương trình (2.60) nhận được phương trình sau:

4 2

khi x x

d y d y

EI P

0 khi x x

dx dx

 

    (2.61)

Phương trình (2.61) là phương trình có vế phải. Để nó trở thành phương trình uốn dọc (2.56) của thanh thì:

 0 (2.62) Về mặt toán học phương trình (2.62) là phương trình đa thức xác định các trị riêng của (2.60) bởi vì nghiệm của nó cũng là nghiệm của (2.56).Về mặt cơ học  có thứ nguyên là lực. Đó là lực giữ để cho thanh có chuyển vị y0 tại điểm xx1. Lực giữ phải bằng không, suy ra phương trình (2.62).Trị riêng của (2.59) phụ thuộc vào thông số P và EI, suy ra  cũng là hàm của P và EI. Cho nên giải phương trình (2.62) theo P, sẽ nhận được các lực tới hạn của thanh uốn dọc.